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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上正交變換法和配方法化二次型標準形1配方法化二次型標準形用配方法化二次型為標準形的關鍵是消去交叉項，分如下兩種情形處理：情形1: 如果二次型含某文字例如的平方項，而,則集中二次型中含的所有交叉項，然后與配方，并作非退化線性替換（）則,其中是的二次型。對重復上述方法直到化二次型為標準形為止.情形2: 如果二次型不含平方項，及 ,但含某一個 ，則可先作非退化線性替換把化為一個含平方項的二次型，再用情形1的方法化為標準形.例1.1：用配方法化二次型=為標準形，并寫出所用的非退化線性替換.解：先對配方消去所有含有的項，： =+- =-+- =-再對配方消去所有含的項；： =-

2、=-作線性替換 把二次型化為標準形 =注：用配方法所化得的標準形不唯一，如若作非退化線性替換為 或 則二次型化得標準形是= 例1.2：用配方法化二次型=+- 為標準形，并寫出所用的非退化線性替換.解：作非退化線性替換 則 =+-=先對配方，=-+=-+-再對配方，=-=-+作線性替換 把二次型化為標準形：=2正交變換法化二次型標準形正交變換法化二次型標準形的一般步驟：(1)寫出的特征方程,求出的全部特征值.(2)對于各個不同的特征值，求出齊次線性方程組的基礎解系，即解空間的一個基底（但不一定是標準正交基），然后把它們施密特正交化.(3)把上述求得的n個兩兩正交的單位特征向量作為矩陣的列向量，就

3、是使二次型化為標準形的正交變換.例2.1：用正交變換化二次型=+為標準形，并求所作的正交變換.解: 二次型的矩陣, 求出的特征值: 由 = =得特征值 ，其次，求屬于-1的特征向量 把代入 （1）求得基礎解系 把它正交化，得 再單位化，得 再求屬于8的特征向量，把代入（1），求得基礎解系 把它單位化得 于是正交矩陣為 作非退化線性替換,二次型的標準形為=3 兩種方法的比較例3.1：用可逆線性變換化下列二次型為標準形.=解：方法1) 用配方法作非退化線性替換 =+ = =令 則二次型的標準形為=方法2) 用正交變換法二次型的矩陣 =由 = =得特征值 ，把代入 （1）求得基礎解系 正交化，得 再單位化，得 把代入（1），求得

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