連續(xù)時(shí)間傅立葉變換講義

1、本本章的主要內(nèi)容章的主要內(nèi)容: :1. 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換;2. 傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系;3. 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì);4. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析；系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求得，就變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問(wèn)題。是這一章要解決的問(wèn)題。4.0

2、 引言引言 Introduction 在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周期性延拓，就一定能形如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。成一個(gè)周期信號(hào)。 我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮大我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在 T趨于無(wú)趨于無(wú)窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對(duì)非周期信號(hào)的窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得

3、到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。頻域表示方法。4.1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換 我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時(shí)，頻譜的幅度隨增大時(shí)，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線的增大而下降；譜線間隔隨間隔隨 的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。的增大而減?。坏l譜的包絡(luò)不變。0T0T0T再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖

4、：再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 0T （a）（b）(a)014TT(b) 0ka0202ka14140018TT012 由于由于 也隨也隨 增大而減小，并最增大而減小，并最終趨于終趨于0 0，考查，考查 的變化，它在的變化，它在 時(shí)應(yīng)該時(shí)應(yīng)該是有限的。是有限的。0 1100 1sin2kkTTaTkT0T0kT a0T 于是，我們推斷出于是，我們推斷出: :當(dāng)當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。0T 000/20/2( )Tjktk

5、TT ax t edt由由當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0T 002,dT0,k()( )j tX jx t edt00lim()kTTaX j如果令如果令則有則有001()kaX jkT與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有：與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有： 這表明這表明: :周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示：根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示： 000000011( )()()2jktjktjktkkkkx ta eX jkeX jkeT連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換當(dāng)當(dāng)0T 時(shí)，時(shí)，( )( ),x tx t002,dT0k于是有：于是有

6、：1( )()2j tx tX jed傅立葉反變換傅立葉反變換 此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布、振幅為連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于由于 具有頻譜隨頻率分具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱布的物理含義，因而稱 為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。1()2X jd 0000,00()limlimkkTTfaX jTaf()X j1( )()2j tx tX jed()( )j tX jx t edt于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描述方法于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描述方法這一對(duì)關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅

7、立葉變換對(duì)。這一對(duì)關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換對(duì)。 可見(jiàn)，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜可見(jiàn)，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本；而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)頻的樣本；而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得來(lái)的，傅表示出發(fā)，討論周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得來(lái)的，傅立葉變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂相一立葉變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂相一致。致。二二. 傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一

8、定存在。這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件條件( )x t dt a. 絕對(duì)可積條件絕對(duì)可積條件1. 若若2( )x tdt 則則 存在。存在。()X j也有相應(yīng)的兩組條件：也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)，只有有限個(gè)極值點(diǎn)， 且極值有限。且極值有限。( )x tc. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。斷點(diǎn)。( )x t 應(yīng)該指出應(yīng)該指出: :這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。( )x t( )x t 和周期信號(hào)的情況一樣

9、，當(dāng)和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存的傅立葉變換存在時(shí)，其傅立葉變換在在時(shí)，其傅立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號(hào)本的連續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生Gibbs 現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 sin tt 這兩組條件并不等價(jià)。例如：這兩組條件并不等價(jià)。例如： 是平方可積是平方可積的，但是并不絕對(duì)可積。的，但是并不絕對(duì)可積。三三. .常用信號(hào)的傅立葉變換：常用信號(hào)的傅立葉變換：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja-1()tgX ja ( )x tt01a

10、a01/a()X j12a/2/2aa()X j/4/42.( ),0atx tea 結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是實(shí)偶函數(shù)。此時(shí)可以用一幅圖是實(shí)偶函數(shù)。此時(shí)可以用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。表示信號(hào)的頻譜。對(duì)此例有對(duì)此例有()()X jX j()0X j()X j2a1aaa( )xtt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt0( ) tt 這表明這表明 中包括了所有的頻率成分，且所有頻中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖率分量的幅度、相位都相

11、同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)激響應(yīng) 才能完全描述一個(gè)才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性， 才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。( ) t( )h t( ) t()X j0111111111112sin2sin()2Sa()2Sinc()Tj tTTTTX jedtTTTTT 顯然，將顯然，將 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜()X j0k01T011101000sin22Sa()kkTTTakTTTkT4. 矩形脈沖矩形脈沖: :( )x t 1,1tT0,1tT1T1Tt( )x t1

12、( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12T()X j14T0 0不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響可見(jiàn)，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系?？梢?jiàn)，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。( (稱為理想低通濾波器稱為理想低通濾波器) ) 與矩形脈沖情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻域之間與矩形脈沖情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻域之間存在一種對(duì)偶關(guān)系。存在一種對(duì)偶關(guān)系。5.1，0，()X jWW1sin( )Sa()sinc()2Wj tWWtWWWtx tedWtt()X jWW1 10 0( )x tt(/)W0 0W

13、對(duì)偶關(guān)系可表示如下對(duì)偶關(guān)系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W 同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。瓣越寬，反之亦然。 對(duì)例對(duì)例5. 我們可以想到，如果我們可以想到，如果 ，則，則 將趨于將趨于一個(gè)沖激。一個(gè)沖激。W ( )x t6. 若若 則有則有( )1x t ()2( )X j 因?yàn)橐驗(yàn)?1()22Wj tWed 所以所以( )12( )Fx t

14、 四四. 信號(hào)的帶寬信號(hào)的帶寬( Bandwidth of Signals ): 由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有自己的頻低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒(méi)有必要一定要率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒(méi)有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對(duì)信號(hào)定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法

15、要對(duì)信號(hào)定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對(duì)包絡(luò)是對(duì)包絡(luò)是 形狀的頻譜，通常定義主瓣寬形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度度(即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號(hào)帶寬。為信號(hào)帶寬。Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍, ,此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的分量占有信號(hào)總能量的1/2。1.()X j12 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域。這清楚地反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。和時(shí)域的相反關(guān)系。

16、 4.2 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換 到此為止，我們對(duì)周期信號(hào)用傅立葉級(jí)數(shù)表示，到此為止，我們對(duì)周期信號(hào)用傅立葉級(jí)數(shù)表示，非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法的不一致，在某些情況下的不一致，在某些情況下, , 會(huì)給我們帶來(lái)不便。但會(huì)給我們帶來(lái)不便。但由于周期信號(hào)不滿足由于周期信號(hào)不滿足 Dirichlet 條件，因而不能直接從條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 001( )()()2jtj tj tx tX jedede The Fourier Transformation of

17、 Periodic Signals所對(duì)應(yīng)的信號(hào)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)0()2()X j 考查考查 這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激。這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激。于是當(dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，因?yàn)橛谑钱?dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，因?yàn)?( )jktkkx ta e就有就有0()2()kkX jak 周期信號(hào)的傅立葉變換表示周期信號(hào)的傅立葉變換表示0( )jktx te0()2()X jk 若若 則則 這表明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組這表明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，其沖激

18、強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)其沖激強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()X jj ()X j00jj000() ()()Xj 22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()X j0000001( )cos2jtjtx ttee例例2： ( )()nx ttnT例例3： 均勻沖激串均勻沖激串TT2T2T0( )x tt1()X j02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脈沖周期性矩形脈沖10022sin()2()()

19、kkTTXjkkT 1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()X j02T1T1T01( )x tt0T0T4.3 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過(guò)這些性質(zhì)揭示信號(hào)討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過(guò)這些性質(zhì)揭示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì)的求取。性質(zhì)可以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì)的求取。1. 線性線性: Linearity則則( )( )()()ax tby taX jbY jProperties of the Continuous-T

20、ime Fourier Transform( )(),( )()x tX jy tY j若若2. 時(shí)移時(shí)移: Time Shifting這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性會(huì)增加一個(gè)線性相移。會(huì)增加一個(gè)線性相移。( )()x tX j則則00()()j tx ttX je若若3. 共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j則則*( )()x tXj*()( )j tXjx t edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()x tXj 若若 是實(shí)信號(hào)，則是實(shí)信號(hào)，則

21、( )x t*( )( )x tx t于是有于是有:*()()X jXj由由()( )j tX jx t edt可得可得Re()Re()X jXj即實(shí)部是偶函數(shù)即實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù)虛部是奇函數(shù) 若若()()()j X jX jX je則可得出則可得出()()X jXj()()X jXj 即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 若若則可得則可得()Re()Im()X jX jjX jIm()Im()X jXj 如果如果( )()x txt即信號(hào)是偶函數(shù)。則即信號(hào)是偶函數(shù)。則()( )j tX jx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 實(shí)偶

22、信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。表明表明 是實(shí)函數(shù)。是實(shí)函數(shù)。()X j 若若 即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出:( )()x txt *()()XjXj所以所以*()()X jXj又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)()X jXj 表明表明 是奇函數(shù)是奇函數(shù)()X j*()()X jXj ()X j表明表明 是虛函數(shù)是虛函數(shù) 若若( )( )( )eox tx tx t則有則有:()()()eoX jXjjXj( )()eex tXj()Re()eXjX j( )()oox tjXj()Im()oXjX j例例: 的頻譜的頻譜:( )u t( )( )( )eou

23、 tu tu t1( )2eu t 10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt將將 分解為偶部和奇部有分解為偶部和奇部有( )u t1( )Sgn( )2ou ttSgn( ) t 1,1,0t 0t ( )( )eu t 22022limajaj1( )()u tj 0Sgn( )lim( )()atatate u te ut011limaajajSgn( )tF1j1( )Sgn( )2ou tt11tSgn( ) tateate4.時(shí)域微分與積分時(shí)域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算可將

24、微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(將將1( )()2j tx tX jed兩邊對(duì)兩邊對(duì) 微分即得該性質(zhì)微分即得該性質(zhì))t由時(shí)域積分特性從由時(shí)域積分特性從( )1t也可得到也可得到:1( )( )u tj 1( )()(0) ( )txdX jXj （時(shí)域積分特性）（時(shí)域積分特性）( )()x tX j則則( )()dx tjX jdt若若5.時(shí)域和頻域的尺度變換時(shí)域和頻域的尺度變換: Scaling當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有1a ()()xtXj 尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，則其帶倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。這就從理論上證明了時(shí)域與頻

25、倍，反之亦然。這就從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。( )()x tX j則則1()()x atX jaa若若時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）對(duì)應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）對(duì)應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）6.對(duì)偶性對(duì)偶性: Duality若若( )()x tX j則則()2()X jtx2()()j txXjt edt2()()j txXjt edt()2()X jtx1( )()2j tx tXjed證明：證明：也可由也可由()( )j tX jx t edt得到證明。得到證明。1()()2()2j t

26、j tXjtxedxed根據(jù)根據(jù)()()xtXj得得00( ) ()jtx t eX j這就是移頻特性這就是移頻特性例如例如: : 由由 有對(duì)偶關(guān)系有對(duì)偶關(guān)系利用時(shí)移特性有利用時(shí)移特性有再次對(duì)偶有再次對(duì)偶有( )()x tX j( )2()X jtx00 ()2()jtXj ttxe002()2 ()jtxt eX j由對(duì)偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對(duì)偶到頻域由對(duì)偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對(duì)偶到頻域由由()( )j tXjx t edt得得()( )j tdX jjtx t edtd所以所以( )()djtx tXjd頻域微分特性頻域微分特性該特性也可由對(duì)偶性從時(shí)域微分特性得出該特性也可

27、由對(duì)偶性從時(shí)域微分特性得出:( )()x tX j( )2()X jtx( )()djtx tX jd由由()()xtXj有有()2()dX jtj xdt 利用時(shí)域微分特性有利用時(shí)域微分特性有()2()X jtx對(duì)對(duì)2()2()()djtxtXjd再次對(duì)偶得再次對(duì)偶得頻域微分特性頻域微分特性由時(shí)域積分特性，可對(duì)偶出頻域積分特性由時(shí)域積分特性，可對(duì)偶出頻域積分特性( )()x tX j()2()X jtx22()()2(0) ()txX jdxj 利用時(shí)域積分特性利用時(shí)域積分特性()2 (0) ( )2()xtxtX jdjt再次對(duì)偶再次對(duì)偶( )(0) ( )()x txtXjdjt()()

28、xtXj由由有有頻域積分特性頻域積分特性7. Parseval定理定理:若若( )()x tX j則則221( )()2x tdtX jd 這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于以在頻域求得。由于 表示了信號(hào)能量在表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度能量譜密度”函數(shù)。函數(shù)。2()X j4.4 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) The Convolution Property一一. .卷積特性：卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對(duì)由于卷積特性的存在，使對(duì)LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積

29、特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)成為可能。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是一切信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。( )()x tX j( )()h tH j則則( )( )()()x th tX jH j若若1( )()2jtx tXjed由由表明：表明：()( )j tH jh t edt故有故有可將可將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè)分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè) 通過(guò)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)與與 對(duì)應(yīng)的特征值對(duì)應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個(gè)特征值就是的加權(quán)。這個(gè)特征值就是( )x tj tej te1( )( )* ( )()()2j ty tx th

30、tX jH jed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏變換的傅氏變換 就是頻率為就是頻率為 的復(fù)指的復(fù)指數(shù)信號(hào)數(shù)信號(hào) 通過(guò)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。( )h t()H jjte 鑒于鑒于 與與 是一一對(duì)應(yīng)的，因而是一一對(duì)應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，一般都限于對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了時(shí)，一般

31、都限于對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了( )h t()H j()H jdtth| )(|二二. . LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : 根據(jù)卷積特性根據(jù)卷積特性, ,可以對(duì)可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析, , 其其過(guò)程為過(guò)程為: :1. 1. 由由2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.5 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) The Multiplication Property利用對(duì)偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)利用對(duì)偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)11( )()x

32、 tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx若若11( )()x tXj22( )()x tXj則則12121( )( )()()2x tx tXjXj212124( )( )2()()xt xtXjXj 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個(gè)信號(hào)另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個(gè)信號(hào)稱為載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)。稱為載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)。例例1:( )()x tX j002()jte 00( ) ()jtx t eX

33、j12121( )( )()()2x tx tXjXj移頻性質(zhì)移頻性質(zhì)例例2. 正弦幅度調(diào)制正弦幅度調(diào)制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s t00() ()()P j 0( )00()P j001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j 1/200()R j 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。頻位置。例例3. 同步解調(diào)同步解調(diào):0001( )cos() ()()2r

34、 ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0202 此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為的系統(tǒng)即可從的系統(tǒng)即可從 恢復(fù)出恢復(fù)出 。()H j( )r t( )s t()H j20cc只要只要02McM即可。即可。具有此頻率特性的具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。例例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：中心頻率可變的帶通濾波器：( )x t( )y t( )r t( )w t0jte0jtec()X j()W jcc()F jA00c0c()Y jc10c()Y j理想低通的頻率響應(yīng)理想低通的頻率響應(yīng)02c1

35、()H j等效帶通濾波器等效帶通濾波器 相當(dāng)于從相當(dāng)于從 中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為 的的帶通濾波器，改變帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。()X j004.6 傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表(自學(xué)自學(xué)) 工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的LCCDE是是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征

36、的系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于由于 是一切是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此 ，當(dāng)，當(dāng) 系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的輸入為 時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就是是 。表明在。表明在 的情況下，的情況下，求解求解LCCDE即即可得到可得到 。但是這種方法太麻。但是這種方法太麻煩，很少使用。煩，很少使用。 ( )()j ty tH je()H jjte( )j tx te( )j tx te對(duì)對(duì)LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：00()()