試驗(yàn)誤差的分析及數(shù)據(jù)處理

1、材料制備與工藝實(shí)踐材料制備與工藝實(shí)踐 朱洪波朱洪波 2014.09. 試驗(yàn)誤差分析及數(shù)據(jù)處理試驗(yàn)誤差分析及數(shù)據(jù)處理試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理 作者:鄭少華 姜奉華編著 出版日期:2004年03月第1版試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理 作者:何少華 文竹青 婁濤編著 出版日期:2002年10月第1版參考書(shū)目：參考書(shū)目： 一項(xiàng)科學(xué)合理的試驗(yàn)安排方法應(yīng)能做列以下三點(diǎn)：一項(xiàng)科學(xué)合理的試驗(yàn)安排方法應(yīng)能做列以下三點(diǎn)： (1)試驗(yàn)次數(shù)盡可能的少；例：某試驗(yàn)研究了3個(gè)影響因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面試驗(yàn)：27次 正交試驗(yàn)：9次(2)便于分析和處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)；(3)能得到滿(mǎn)意的結(jié)果。試

2、驗(yàn)步驟試驗(yàn)步驟 （1）指標(biāo)、因素和水平的確定； （2）研究技術(shù)路線(xiàn)的建立 （3）進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì) 單因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì) （4）誤差分析和數(shù)據(jù)處理第四章第四章 試驗(yàn)誤差分析及數(shù)據(jù)處理試驗(yàn)誤差分析及數(shù)據(jù)處理n概述概述n真值與誤差n有效數(shù)字及運(yùn)算法則n可疑值的取舍n試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理n試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理和歸納 由于受方法、儀器、試劑、實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)者的主觀因素等方面的限制，使測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)含量不可能完全一致。這就造成誤差。誤差是客觀上難以避免的。 在一定條件下，測(cè)量結(jié)果只能接近于真實(shí)值，而不能達(dá)到真實(shí)值。 為了提高分析結(jié)果測(cè)量的準(zhǔn)確度，將誤差減小到最低限度，必須了解誤差產(chǎn)生的原因，采

3、取減小誤差的有效措施，提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。下面具體介紹誤差的種類(lèi)、來(lái)源及產(chǎn)生的原因。n一、誤差的基本概念一、誤差的基本概念 1真值與平均值真值與平均值 真值真值(true value)：任何一個(gè)物理量客觀存在的大?。ㄕ嫒魏我粋€(gè)物理量客觀存在的大?。ㄕ鎸?shí)值、實(shí)際值）實(shí)值、實(shí)際值） 真值是指觀察次數(shù)真值是指觀察次數(shù)無(wú)限無(wú)限多時(shí)，求得的平均值。多時(shí)，求得的平均值。 平常我們觀察的次數(shù)都是有限的，故用平常我們觀察的次數(shù)都是有限的，故用有限有限觀察次數(shù)觀察次數(shù)求出的平均值，只能是求出的平均值，只能是近似真值近似真值，或稱(chēng)為最佳值。，或稱(chēng)為最佳值。 平均值平均值(mean)：是用來(lái)描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取值的水平

4、位置的是用來(lái)描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取值的水平位置的位置特征參數(shù)位置特征參數(shù)，常用的平均值有以下幾種：（，常用的平均值有以下幾種：（1）算術(shù)平）算術(shù)平均值；（均值；（2）均方根平均值；（）均方根平均值；（3）加權(quán)平均值；（）加權(quán)平均值；（4）中）中位值（或中位數(shù)）；（位值（或中位數(shù)）；（5）幾何平均值。）幾何平均值。vc2 2直接測(cè)量值與間接測(cè)量值直接測(cè)量值與間接測(cè)量值n直接測(cè)量值直接測(cè)量值就是通過(guò)儀器直接測(cè)試讀數(shù)得到的數(shù)據(jù)。就是通過(guò)儀器直接測(cè)試讀數(shù)得到的數(shù)據(jù)。 如：如： 用壓力表測(cè)量容器中的壓力值。用壓力表測(cè)量容器中的壓力值。 用電流表測(cè)量電路中的電流值。用電流表測(cè)量電路中的電流值。 過(guò)濾實(shí)驗(yàn)中，測(cè)壓管

5、的讀數(shù)。過(guò)濾實(shí)驗(yàn)中，測(cè)壓管的讀數(shù)。 如混凝實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)光電式濁度儀測(cè)出的剩余濁度值。如混凝實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)光電式濁度儀測(cè)出的剩余濁度值。n間接測(cè)量值間接測(cè)量值就是直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)公式計(jì)算后所得的另外一就是直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)公式計(jì)算后所得的另外一些測(cè)量值。些測(cè)量值。 n所謂數(shù)據(jù)分析就是要對(duì)這些直接測(cè)量值或間接測(cè)量值進(jìn)行所謂數(shù)據(jù)分析就是要對(duì)這些直接測(cè)量值或間接測(cè)量值進(jìn)行分析整理，得出結(jié)論。分析整理，得出結(jié)論。 3 3誤差與誤差的分類(lèi)誤差與誤差的分類(lèi)誤差誤差( (error) )：測(cè)量值與真實(shí)值的差值。 例： 用分析天平稱(chēng)量?jī)蓚€(gè)樣品，質(zhì)量分別是1.4380克和0.1437克，假定兩個(gè)真值分別為1.4381克和

6、0.1438克。其兩者測(cè)量值的絕對(duì)誤差都是-0.0001克，但相對(duì)誤差卻差別很大。一個(gè)是-0.00007，一個(gè)是-0.0007。 可見(jiàn)，絕對(duì)誤差相等，相對(duì)誤差不一定相等。因可見(jiàn)，絕對(duì)誤差相等，相對(duì)誤差不一定相等。因此，用相對(duì)誤差來(lái)表示結(jié)果的準(zhǔn)確度更為確切些。此，用相對(duì)誤差來(lái)表示結(jié)果的準(zhǔn)確度更為確切些。2 2）系統(tǒng)誤差、）系統(tǒng)誤差、 偶然誤差與過(guò)失誤差偶然誤差與過(guò)失誤差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差(systematic error) ：由于某種經(jīng)常性的原因造：由于某種經(jīng)常性的原因造成的比較恒定的誤差。成的比較恒定的誤差。l分類(lèi)：分類(lèi)： 方法誤差方法誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 儀器或試劑誤差儀器或試劑誤差 操作誤

7、差操作誤差a. 方法誤差方法誤差：是由于不適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)或所選的分析方法不恰當(dāng)不恰當(dāng)造成的。如重量分析中，沉淀的溶解，會(huì)使分析結(jié)果偏低，而沉淀吸附雜質(zhì)，又使結(jié)果偏高。b. 儀器或試劑誤差儀器或試劑誤差：是由于儀器未經(jīng)校準(zhǔn)或試劑不儀器未經(jīng)校準(zhǔn)或試劑不合格合格的原因造成的。如稱(chēng)重時(shí)，天平砝碼不夠準(zhǔn)確；配標(biāo)液時(shí)，容量瓶刻度不準(zhǔn)確；對(duì)試劑而言，雜質(zhì)與水的純度，也會(huì)造成誤差。c. 操作誤差操作誤差：是由于分析操作不規(guī)范操作不規(guī)范造成。如標(biāo)準(zhǔn)物干燥不完全進(jìn)行稱(chēng)量；l 特點(diǎn)特點(diǎn) (1)重現(xiàn)性：同一樣品進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)定可重復(fù)出現(xiàn)。(2)單向性；產(chǎn)生誤差,要么是正，要么是負(fù)。(3)恒定性；影響的大小總是相同。l

8、 消除系統(tǒng)誤差的方法消除系統(tǒng)誤差的方法：加校正值的方法（利用對(duì)照實(shí)驗(yàn)、空白實(shí)驗(yàn)、校準(zhǔn)儀器的方法進(jìn)行） 偶然誤差偶然誤差n偶然誤差偶然誤差(random error)也稱(chēng)為隨機(jī)誤差。它是由不確定不確定的原因的原因或某些難以控制原因某些難以控制原因造成的。n偶然誤差產(chǎn)生原因偶然誤差產(chǎn)生原因：主要由環(huán)境因素所造成（如：環(huán)境溫度、濕度和氣壓的微小波動(dòng)）n偶然誤差特點(diǎn)偶然誤差特點(diǎn) (1) 雙向性 （時(shí)正時(shí)負(fù)） (2) 不可測(cè)性（忽大忽小）n減免方法減免方法：增加平行測(cè)定次數(shù)，取算術(shù)平均值。n除系統(tǒng)誤差外，還有一種不按規(guī)程操作而引起的分析結(jié)果的差異，這種差異我們稱(chēng)為“過(guò)失”。它不屬于誤差范圍，而屬于工作中

9、的錯(cuò)誤。例如：加錯(cuò)試劑、讀錯(cuò)讀數(shù)、試液濺失、和計(jì)算錯(cuò)誤等。n因此在實(shí)際工作中，當(dāng)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，應(yīng)認(rèn)真尋找原因，如果確定是過(guò)失引起的，其測(cè)定結(jié)果必須舍去，并重新測(cè)定。只要我們加強(qiáng)責(zé)任心，嚴(yán)格按照規(guī)程操作，過(guò)失是完全可以避免的。 過(guò)失誤差過(guò)失誤差( (mistake) )4.4.精度精度1 1）精度精度：反映觀測(cè)結(jié)果與真實(shí)結(jié)果接近程度的量。精度在數(shù) 值上可用相對(duì)誤差的倒數(shù)來(lái)表示。 例：例：如觀測(cè)的相對(duì)誤差為0.01%，則其精度為1：10-4=104； 如觀測(cè)的相對(duì)誤差為1ppm=10-6， 則精度為1：10-6=1062 2）精度又分精密度精度又分精密度( (precision) 、正確度、正確度(

10、 (correctness)與精確度與精確度( (accuracy)l精密度反映偶然誤差大小的程度精密度反映偶然誤差大小的程度。如觀測(cè)的偶然誤差小，則稱(chēng)觀測(cè)的精密度高，可以增加觀測(cè)次數(shù)，取其平均值來(lái)提高觀測(cè)的精密度。 l 正確度反映系統(tǒng)誤差的大小的程度正確度反映系統(tǒng)誤差的大小的程度。如觀測(cè)的系統(tǒng)誤差小，則稱(chēng)觀測(cè)的正確度高?？梢允褂酶_的儀器來(lái)提高觀測(cè)的精密度。精確度反映偶然誤差與系統(tǒng)誤差合成的綜合誤差大小精確度反映偶然誤差與系統(tǒng)誤差合成的綜合誤差大小的程度。的程度。 對(duì)于測(cè)量來(lái)說(shuō)，精密度高，正確度不一定高；同樣，正確度高，精密度也不一定高；精確度高，則精密度和正確度都高。n例如：甲、乙、丙、

11、丁四個(gè)人同時(shí)用碘量法測(cè)定某銅礦中例如：甲、乙、丙、丁四個(gè)人同時(shí)用碘量法測(cè)定某銅礦中CuO含含量（真實(shí)含量為量（真實(shí)含量為37.40）測(cè)定）測(cè)定4次，其結(jié)果如下圖所示：分析此次，其結(jié)果如下圖所示：分析此結(jié)果精密度與正確度的關(guān)系結(jié)果精密度與正確度的關(guān)系。n由圖可知：甲所得結(jié)果的正確度和精密度都好，結(jié)果可靠；乙的結(jié)果精密度高，但正確度較低；丙的精密度和正確度都很差；丁的分析結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，精密度太差，其平均值雖然也接近真值，但這是由于正負(fù)誤差相互抵消所致。如果只取2次或3次來(lái)平均，結(jié)果會(huì)與真實(shí)值相差很大。因此這個(gè)結(jié)果是湊巧的，不可靠。n綜上所述，可得到以下結(jié)論（1）精密度是保證正確度的先決條件，精密度

12、差，所得結(jié)果不可靠，就失去衡量準(zhǔn)確度的前提。（2）精密度高不一定能保證有高的正確度。（3）精確度高一定伴隨著高的精密度和正確度。n例如：甲乙兩人用同一方法測(cè)定同一鹽垢樣品中時(shí)，測(cè)定例如：甲乙兩人用同一方法測(cè)定同一鹽垢樣品中時(shí)，測(cè)定三次結(jié)果如下：三次結(jié)果如下： 甲：甲：2.16% 2.20% 2.18% 平均值平均值2.18% 乙：乙：3.24% 3.46% 3.38% 平均值平均值3.36%n在一組測(cè)量中，盡管精密度高，偶然誤差小，但可能由于在一組測(cè)量中，盡管精密度高，偶然誤差小，但可能由于存在系統(tǒng)誤差，使正確度不高；反之，正確度高時(shí)，由于存在系統(tǒng)誤差，使正確度不高；反之，正確度高時(shí)，由于儀器

13、靈敏度低或其他原因，使精密度不夠。儀器靈敏度低或其他原因，使精密度不夠。n所以，在消除系統(tǒng)誤差之后，通過(guò)精細(xì)操作才能得出它的所以，在消除系統(tǒng)誤差之后，通過(guò)精細(xì)操作才能得出它的精密度和正確度都高的結(jié)論。精密度和正確度都高的結(jié)論。 3 3）提高精度的方法）提高精度的方法l減小系統(tǒng)誤差減小系統(tǒng)誤差 辦法：則應(yīng)從分析方法、儀器和試劑、實(shí)驗(yàn)操作等方面，減少或消除可能出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差,具體有:u方法選擇方法選擇 常量常量組分的分析，常采用化學(xué)分析，而微量和痕量分析微量和痕量分析常采用靈敏度較高的儀器分析方法；u取樣量要適當(dāng)取樣量要適當(dāng) 過(guò)小過(guò)小的取樣量將影響測(cè)定的準(zhǔn)確度。如用分析天平稱(chēng)量，一般要求稱(chēng)量至少為

14、至少為0.2g0.2g，滴定管用于滴定，一般要求滴定液體積至少20ml20ml。 u需檢查并校正系統(tǒng)誤差需檢查并校正系統(tǒng)誤差 如分析天平及各種儀器的定期校正，滴定管、移液管等容量?jī)x器，應(yīng)注意其質(zhì)量等級(jí)，必要時(shí)可進(jìn)行體積的校正。l減小隨機(jī)誤差減小隨機(jī)誤差 辦法：多次測(cè)定取其平均值可以減小隨機(jī)誤差的的多次測(cè)定取其平均值可以減小隨機(jī)誤差的的 影響，因此，在消除系統(tǒng)誤差的前提下，平行測(cè)定的次數(shù)越多，影響，因此，在消除系統(tǒng)誤差的前提下，平行測(cè)定的次數(shù)越多，平均值越接近真值。對(duì)同一試樣，一般要求平行測(cè)定平均值越接近真值。對(duì)同一試樣，一般要求平行測(cè)定2 24 4次。次。4 4）精密度與偏差）精密度與偏差 精

15、密度精密度(precision)是平行測(cè)量的各測(cè)量值(實(shí)驗(yàn)值)之間互相接近的程度。 用偏差表示,偏差為測(cè)定值測(cè)定值與平均值平均值之差，偏差可分為：絕對(duì)偏差(d)與相對(duì)偏差（dr）平均偏差、相對(duì)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差等： （1）絕對(duì)偏差(d)：（2）相對(duì)偏差（dr）為絕對(duì)偏差與平均值之比，常用百分率表示：XXdi%100Xddr（3）平均偏差與相對(duì)平均偏差）平均偏差與相對(duì)平均偏差n 平均偏差平均偏差 為各次測(cè)定值的偏差的絕對(duì)值的平均值， 式中n為測(cè)量次數(shù)。由于各測(cè)量值的絕對(duì)偏差有正有負(fù)，取平均值時(shí)會(huì)相互抵消。只有取偏差的絕對(duì)值的平均值才能正確反映一組重復(fù)測(cè)定值間的符合程度。dnXXdn

16、ii1n相對(duì)平均偏差：為平均偏差與平均值之比，常用百分率表示：（4） 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差(standard deviation) 使用標(biāo)準(zhǔn)偏差是為了突出較大偏差的影響。標(biāo)準(zhǔn)偏差分為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差和樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。A、總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，用符號(hào)表示，此偏差也稱(chēng)為均方根偏差：它是指測(cè)量值對(duì)總體平均值的偏差，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：%100Xddrn從上式可以看出，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，對(duì)單次測(cè)量偏差加以平方，這樣做可以避免單次測(cè)量偏差相加時(shí)正負(fù)抵消，更重要的是大偏差更能顯著地反映出來(lái)，能更好地反映數(shù)據(jù)的離散程度以及結(jié)果的精確度。()nXnii12msnB、樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差（S）n在總體平均值不知道的情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)衡

17、量一組數(shù)據(jù)的離散程度。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：n上式主要是校正以 代替 所引起的誤差。1)(12nxxsniixmn式中的n為測(cè)定次數(shù)， n-1稱(chēng)為自由度，是指獨(dú)立偏差的個(gè)數(shù)，通常以f表示。如果測(cè)量次數(shù)越多， n-1就越接近n，此時(shí)的n所以上式可變?yōu)椋簃X()()nxnxxsxniinii12121msm（5）相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差）相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差(Sr)或稱(chēng)變異系數(shù)或稱(chēng)變異系數(shù)(CV) 實(shí)際工作中都用RSD表示分析結(jié)果的精密度，更能說(shuō)明一組數(shù)據(jù)的離散程度。()RSDXnXXXSSniir%1001%10012_n（6）相差（D）和相對(duì)相差（Dr）n對(duì)測(cè)定次數(shù)只有兩次平行測(cè)定的結(jié)果，精密度通常用相差或相對(duì)相差表示

18、：nA：相差： D=x1-x2nB：相對(duì)相差：n（7）極差(range)（R）-是衡量精密度最簡(jiǎn)單的一種方法，是指一組測(cè)定數(shù)據(jù)中最大值和最小值之差：n下面舉例說(shuō)明： %10021xxxDrminmaxxxR例：一組重復(fù)測(cè)定值為15.67, 15.69, 16.03, 15.89。求15.67這次測(cè)量值的絕對(duì)偏差和相對(duì)偏差，這組測(cè)量值的平均偏差、相對(duì)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差及相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。解： =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82 =15.82-15.67=0.15 =0.15/15.82100%=0.95% =(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14X

19、XXdi%100XddrnXXdnii1()17. 0307. 021. 013. 015. 01222212nXXSnii%1.1%10082.1517.0%100XSRSD0089.00010082.1514.000100 xddr(8)方差（方差（variance） 標(biāo)準(zhǔn)差的平方：標(biāo)準(zhǔn)差的平方：n樣本方差（樣本方差（ s2 ）n總體方差（總體方差（2 ）n方差方差，精密度，精密度5. 直接測(cè)量值誤差分析直接測(cè)量值誤差分析a. a. 單次測(cè)量值誤差分析單次測(cè)量值誤差分析 實(shí)驗(yàn)中有些量都是一次測(cè)量讀數(shù)的，其誤差分析有兩種方法：實(shí)驗(yàn)中有些量都是一次測(cè)量讀數(shù)的，其誤差分析有兩種方法：n儀器上沒(méi)有

20、說(shuō)明誤差范圍，則按其最小刻度的儀器上沒(méi)有說(shuō)明誤差范圍，則按其最小刻度的1/2作為誤差。作為誤差。n例：某天平的最小刻度為例：某天平的最小刻度為0.1mg，則表明該天平有把握的最小稱(chēng)量，則表明該天平有把握的最小稱(chēng)量質(zhì)量是質(zhì)量是0.1mg，所以其絕對(duì)誤差為，所以其絕對(duì)誤差為0.1/2=0.05。n儀器上有誤差范圍，則按給定的誤差范圍分析計(jì)算。儀器上有誤差范圍，則按給定的誤差范圍分析計(jì)算。 例：例：SJG-203A型型DO分析儀，儀器精度為分析儀，儀器精度為0.5級(jí)（級(jí)（0.5%）（相對(duì)）（相對(duì)誤差）誤差） 當(dāng)測(cè)得當(dāng)測(cè)得DO=3.2mg/L時(shí)，其絕對(duì)誤差值為時(shí)，其絕對(duì)誤差值為 3.20.005 0.

21、016mg/L 實(shí)際測(cè)量值：實(shí)際測(cè)量值：3.20.016（mg/L）b. b. 重復(fù)多次測(cè)量值誤差分析重復(fù)多次測(cè)量值誤差分析2）標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差（standard error)自由度自由度 算術(shù)平均值的簡(jiǎn)便計(jì)算法算術(shù)平均值的簡(jiǎn)便計(jì)算法 標(biāo)準(zhǔn)誤差的簡(jiǎn)便計(jì)算法標(biāo)準(zhǔn)誤差的簡(jiǎn)便計(jì)算法6. 間接測(cè)量值誤差分析間接測(cè)量值誤差分析n由誤差傳遞理論可知，間接測(cè)量值一定也存在誤差。由誤差傳遞理論可知，間接測(cè)量值一定也存在誤差。n誤差大小取決于兩點(diǎn)：誤差大小取決于兩點(diǎn)： 1.1.各直接測(cè)量值誤差大小各直接測(cè)量值誤差大小 2.2.公式形式公式形式a. a. 間接測(cè)量值算術(shù)平均誤差計(jì)算間接測(cè)量值算術(shù)平均誤差計(jì)算1）加

22、減運(yùn)算中間接測(cè)量值誤差）加減運(yùn)算中間接測(cè)量值誤差 N=A+B N=A-B即加減運(yùn)算的絕對(duì)誤差等于各直接測(cè)得值的即加減運(yùn)算的絕對(duì)誤差等于各直接測(cè)得值的絕對(duì)絕對(duì)誤差之和。誤差之和。2）乘除運(yùn)算中間接測(cè)量值誤差）乘除運(yùn)算中間接測(cè)量值誤差 N=AB NA/B即乘除運(yùn)算的相對(duì)誤差等于各直接測(cè)量值即乘除運(yùn)算的相對(duì)誤差等于各直接測(cè)量值相對(duì)相對(duì)誤差之和。誤差之和。3）方次與根）方次與根設(shè)設(shè)N= ，則，則 ，故方次的相對(duì)誤差等于故方次的相對(duì)誤差等于m倍的相對(duì)誤差。倍的相對(duì)誤差。結(jié)論：當(dāng)間接測(cè)量值計(jì)算式只含加、減運(yùn)算時(shí)，以先計(jì)算絕對(duì)誤差后結(jié)論：當(dāng)間接測(cè)量值計(jì)算式只含加、減運(yùn)算時(shí)，以先計(jì)算絕對(duì)誤差后計(jì)算相對(duì)誤差為宜

23、；當(dāng)式中只含乘、除、乘方、開(kāi)方時(shí)，以先計(jì)算相計(jì)算相對(duì)誤差為宜；當(dāng)式中只含乘、除、乘方、開(kāi)方時(shí)，以先計(jì)算相對(duì)誤差，后計(jì)算絕對(duì)誤差為宜。對(duì)誤差，后計(jì)算絕對(duì)誤差為宜。BANBBAANNmmmm mErb b間接測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算間接測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算3.3.誤差傳遞公式的應(yīng)用誤差傳遞公式的應(yīng)用測(cè)量?jī)x器精度的選擇測(cè)量?jī)x器精度的選擇n在任何試驗(yàn)中，雖然誤差是不可避免的，但希望將間接在任何試驗(yàn)中，雖然誤差是不可避免的，但希望將間接測(cè)量值或函數(shù)的誤差控制在某一范圍內(nèi)，為此也可根據(jù)測(cè)量值或函數(shù)的誤差控制在某一范圍內(nèi)，為此也可根據(jù)誤差傳遞的基本公式，反過(guò)來(lái)計(jì)算出直接測(cè)量值的誤差誤差傳遞的基本公式，反過(guò)來(lái)計(jì)算出直

24、接測(cè)量值的誤差限，然后根據(jù)這個(gè)誤差限來(lái)選擇合適的測(cè)量?jī)x器或方法，限，然后根據(jù)這個(gè)誤差限來(lái)選擇合適的測(cè)量?jī)x器或方法，以保證試驗(yàn)完成后，試驗(yàn)結(jié)果的誤差能滿(mǎn)足實(shí)際任務(wù)的以保證試驗(yàn)完成后，試驗(yàn)結(jié)果的誤差能滿(mǎn)足實(shí)際任務(wù)的要求。要求。n工程中，當(dāng)要求間接測(cè)量值的相對(duì)誤差為工程中，當(dāng)要求間接測(cè)量值的相對(duì)誤差為 時(shí)，時(shí)，通常采用等分配方案將其誤差分配給各直接測(cè)量值通常采用等分配方案將其誤差分配給各直接測(cè)量值 ，即即NNANsix1ixiAxns 式中式中 某待測(cè)量的直接測(cè)量值；某待測(cè)量的直接測(cè)量值； 某直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差值；某直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差值； n 待測(cè)量值的數(shù)目待測(cè)量值的數(shù)目 則根據(jù)則根據(jù) 的大小就

25、可以選定測(cè)量時(shí)所用儀器的精的大小就可以選定測(cè)量時(shí)所用儀器的精度。度。在儀器精度能滿(mǎn)足測(cè)試要求的前提下，盡量使用精度低在儀器精度能滿(mǎn)足測(cè)試要求的前提下，盡量使用精度低的儀器，否則由于儀器對(duì)周?chē)h(huán)境、操作等要求過(guò)高，的儀器，否則由于儀器對(duì)周?chē)h(huán)境、操作等要求過(guò)高，使用不當(dāng)，反而加速儀器的損壞。使用不當(dāng)，反而加速儀器的損壞。ixs1Anix3 3 有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)則一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字(significant figure)概念概念：分析工作中實(shí)際上能測(cè)量到的數(shù)字能測(cè)量到的數(shù)字，除最后一位為可疑數(shù)字，其余的數(shù)字都是有效數(shù)字。如：分析天平稱(chēng)量：1.21 23 (g)（萬(wàn)分之一）

26、滴定管讀數(shù)：23.26 (ml) 在測(cè)量過(guò)程中，對(duì)一次測(cè)量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)，在測(cè)量過(guò)程中，對(duì)一次測(cè)量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)，應(yīng)與所用儀器的精度相一致。應(yīng)與所用儀器的精度相一致。二二. 位數(shù)確定位數(shù)確定(1) 記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，只允許保留一位可疑數(shù)字只允許保留一位可疑數(shù)字。(2) 有效數(shù)字的位數(shù)反映了測(cè)量的相對(duì)誤差，不能隨意不能隨意舍去或保留舍去或保留最后一位數(shù)字(3) 若第一位數(shù)字大于或等于大于或等于8，其有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)多其有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)多算一位算一位,如如9.13，可算作，可算作4位有效數(shù)字，因其相對(duì)誤差約位有效數(shù)字，因其相對(duì)誤差約為為0.1% %，與，與10.1510.15，10.2510.2

27、5等這些具有等這些具有4 4位的有效數(shù)字的位的有效數(shù)字的數(shù)據(jù)相對(duì)誤差相近。數(shù)據(jù)相對(duì)誤差相近。(4) 數(shù)據(jù)中的“0”作具體分析，如1.2007g， 0.0012007kg均為五位有效數(shù)值，(5) 常數(shù)等非測(cè)量所得數(shù)據(jù)，視為無(wú)限多位有效數(shù)字；(6) pH、pM等對(duì)數(shù)值，有效數(shù)字位數(shù)僅取決于小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)。如pH=10.20,應(yīng)為兩位有效數(shù)值看看下面各數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù):1.0008 43181 五位有效數(shù)字0.1000 10.98% 四位有效數(shù)字0.0382 1.9810-10 三位有效數(shù)字54 0.0040 二位有效數(shù)字0.05 2105 一位有效數(shù)字3600 100 位數(shù)

28、模糊PH=11.20對(duì)應(yīng)于H+=6.310-12 二位有效數(shù)字三、有效數(shù)字的計(jì)算規(guī)則三、有效數(shù)字的計(jì)算規(guī)則1.數(shù)值相加減時(shí)，結(jié)果有效數(shù)字保留應(yīng)與小數(shù)小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后位數(shù)最少者后位數(shù)最少者相同（絕對(duì)絕對(duì)誤差最大誤差最大） 0.0121+12.56+7.8432=0.01+12.56+7.84=20.41 總絕對(duì)誤差取決于絕對(duì)誤差大的在有效數(shù)字的運(yùn)算過(guò)程中，必須遵循在有效數(shù)字的運(yùn)算過(guò)程中，必須遵循“先進(jìn)舍，后運(yùn)算先進(jìn)舍，后運(yùn)算”的原則的原則2. 數(shù)值相乘除時(shí)，結(jié)果保留位數(shù)應(yīng)與有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù)最少者最少者相同。（相對(duì)相對(duì)誤差最大誤差最大）， (0.014224.43305.84)/28.7=(0.

29、014224.4306) /28.7=3.69 總相對(duì)誤差取決于相對(duì)誤差大的。3. 乘方或開(kāi)方乘方或開(kāi)方時(shí)，結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)不變有效數(shù)字位數(shù)不變。 如8 .4254. 6275. 256. 74. 對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，對(duì)數(shù)尾數(shù)對(duì)數(shù)尾數(shù)的位數(shù)應(yīng)與真數(shù)真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同；如尾數(shù)0.20與真數(shù)都為二位有效數(shù)字,而不是四位有效數(shù)字。 20.10,/103 . 6)(11pHLmolHc四、數(shù)字修約規(guī)則四、數(shù)字修約規(guī)則1.四舍六入五成雙。如測(cè)量值為4.135、4.125、4.105、4.1251；修約為4.14、4.12、4.10和4.13。2.只允許對(duì)原測(cè)量值一次修約至所需位數(shù)，不能分次修約。如4.1349

30、修約為三位數(shù)。不能先修約成4.135，再修約為4.14，只能修約成4.13。3.大量數(shù)據(jù)運(yùn)算時(shí)，可先多保留一位有效數(shù)字，運(yùn)算后，再修約。4. 修約標(biāo)準(zhǔn)偏差。修約的結(jié)果應(yīng)使準(zhǔn)確度變得更差些。如S=0.213，取兩位有效數(shù)字，修約為0.22，取一位為0.3。4 4 可疑值的取舍可疑值的取舍 在整理分析數(shù)據(jù)時(shí)，常出現(xiàn)個(gè)別與其它數(shù)據(jù)相差很大的可疑值可疑值。如果確定知道此數(shù)據(jù)由實(shí)驗(yàn)差錯(cuò)引起，可以舍去，否則，應(yīng)根據(jù)一定的統(tǒng)計(jì)一定的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法決定其取舍學(xué)方法決定其取舍。統(tǒng)計(jì)學(xué)處理取舍的方法有多種，下面僅介紹三種常用的方法。 1. Q1. Q檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法步驟如下：(1) 將測(cè)定值按大小順序排列，(2) 由可疑

31、值與其相鄰值之差的絕對(duì)值除以極差，求得Q值： Q值愈大，表明可疑值離群愈遠(yuǎn)，當(dāng)Q值超過(guò)一定界限時(shí)應(yīng)舍去。 (3) 查表得Q值，比較Q表與Q計(jì) 判斷，當(dāng)Q計(jì)Q表，該可疑值應(yīng)舍去，否則應(yīng)保留。最小最大鄰疑XXXXQ例如，平行測(cè)定鹽酸濃度(mol/l)，結(jié)果為0.1014，0.1021，0.1016，0.1013。試問(wèn)0.1021在置信度為90%時(shí)是否應(yīng)舍去。解: (1)排序：0.1013, 0.1014, 0.1016, 0.1021 (2)Q=(0.1021-0.1016)/(0.1021-0.1013)=0.63 (3)查表3-3,當(dāng)n=4, Q0.90=0.76 因Q G0.05,6, 故測(cè)

32、定值0.2188應(yīng)舍去。XXSXXG疑4.肖維涅準(zhǔn)則（2）根據(jù)觀測(cè)次數(shù)n查肖維涅數(shù)值取舍標(biāo)準(zhǔn)表，得系數(shù)k；以上面例子為例以上面例子為例：(1)求出 和S。 =0.2176 S=0.00059XX5 5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理 n 隨機(jī)誤差是由一些偶然的或不確定偶然的或不確定的因素引起的誤差。在消除了系統(tǒng)誤差后，多次重復(fù)測(cè)定仍然會(huì)有所不同，具有分散的特性。測(cè)定值的分布符合正態(tài)分布。n一、正態(tài)分布一、正態(tài)分布n若以概率密度(或誤差頻率)Y為縱坐標(biāo)，測(cè)定值X與總體平均值的差值(或誤差)為橫坐標(biāo)作圖，可得到隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線(xiàn)，也稱(chēng)為高斯分布曲線(xiàn)，如圖1所示n由圖可以看出隨機(jī)誤差的分布規(guī)律性：

33、n1、單峰性：當(dāng) n時(shí)，Y值最大，呈現(xiàn)一個(gè)峰值。故稱(chēng)單峰性n2、對(duì)稱(chēng)性（相消性）n 這一點(diǎn)的垂直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，說(shuō)明正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等，故稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)性。n3、有界性：隨機(jī)誤差的分布具有有限的范圍。mxmx圖圖1 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線(xiàn)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線(xiàn) 二、精密度與分布曲線(xiàn)的關(guān)系二、精密度與分布曲線(xiàn)的關(guān)系 由圖2可以看出，反映了測(cè)定值的分散程度，愈大，曲線(xiàn)愈平坦，測(cè)定值愈分散； 精密度越差。愈小，曲線(xiàn)愈尖銳，測(cè)定值愈集中。精密度越好。三、置信區(qū)間三、置信區(qū)間從前面討論可知，正態(tài)分布曲線(xiàn)的“高、矮、胖、瘦”取決于分布曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小， 小，分布曲線(xiàn)是“瘦高”的，精密度高； 大，分布曲線(xiàn)是“矮

34、胖”的，精密度低；如圖2所示。2如果在正態(tài)分布圖中，把曲線(xiàn)上各點(diǎn)代表某個(gè)誤差出現(xiàn)的概率密度，曲線(xiàn)與橫軸之間的面積代表各種大小誤差出現(xiàn)概率的總和，如圖所示：圖圖3 n由圖3可知：在符合正態(tài)分布的情況下，當(dāng)n為原點(diǎn)（即消除系統(tǒng)誤差），總體標(biāo)準(zhǔn)偏差為，由統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，測(cè)得的結(jié)果落在范圍內(nèi)的概率為68.3%，落在范圍內(nèi)的概率為95.5%，落在范圍內(nèi)的概率為99.7%，測(cè)定結(jié)果超出的概率只有0.3%。n換句話(huà)說(shuō)：在1000次測(cè)定中，測(cè)定結(jié)果落在n范圍內(nèi)683次，落在范圍內(nèi)955次，落在n范圍內(nèi)997次，落在范圍之外的結(jié)果只有3次。所以，通常認(rèn)為大于3的誤差已不屬于隨機(jī)誤差了，這樣的分析結(jié)果應(yīng)該舍去。sxm

35、xs2xs3xs3sxs2xs3xs3xn上述誤差出現(xiàn)的概率68.3%，95.5%,99.7%，n稱(chēng)為置信概率或置信度。n在一定置信度下，以測(cè)定結(jié)果為中心的包含總體平均值在內(nèi)的可信范圍，稱(chēng)為置信區(qū)間，可用下式表示：n式中：t為校正系數(shù)，也稱(chēng)為置信因子，它隨置信度和自由度的大小而變化。n對(duì)于測(cè)定次數(shù)n20時(shí)， t已與n時(shí)的t值相差不大了，若再增加測(cè)定次數(shù)，不但費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且對(duì)提高分析的準(zhǔn)確度已沒(méi)有多大意義了。例5 用8-羥基喹啉法測(cè)定Al含量，9次測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.042%，平均值為10.79%。估計(jì)真實(shí)值在95%和99%置信水平時(shí)應(yīng)是多大？解：1.P=0.95； (稱(chēng)為顯著性水準(zhǔn))=1-P

36、=0.05； f=n-1=9-1=8 t0.05,8=2.306 %032. 079.109/042. 0306. 279.108 ,05. 0mmnStX2.P=0.99； =0.01； t0.01,8=3.355 結(jié)論：總體平均值在10.7610.82%間的概率為95%；在10.7410.84%間的概率為99%。%047. 079.109/042. 0355. 379.108 ,01. 0mmnStX例如，測(cè)定試樣中氯的含量W(Cl), 四次重復(fù)測(cè)定值為0.4764, 0.4769, 0.4752, 0.4755。求置信度為95%時(shí), 氯平均含量的置信區(qū)間。解：可算出 =0.4760，S=

37、0.008 查表2-2 t0.05,3=3.18 =0.47603.18 =0.47600.0013X4008. 0n四、顯著性檢驗(yàn)四、顯著性檢驗(yàn) 顯著性檢驗(yàn)就是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，來(lái)檢驗(yàn)分析結(jié)果之間是否存在顯著性誤差。其最常用、最重要的方法是t檢驗(yàn)法和F檢驗(yàn)法：（一）、t檢驗(yàn)法1. 平均值平均值與標(biāo)準(zhǔn)值標(biāo)準(zhǔn)值的比較準(zhǔn)確度顯著性檢驗(yàn)首先由下式計(jì)算t 值若t計(jì)t表，則平均值與標(biāo)準(zhǔn)值存在顯著性差異，為系統(tǒng)誤差引起，應(yīng)查找原因，消除系統(tǒng)誤差引起，應(yīng)查找原因，消除。 ntSx |例1：用分光光度法測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)中的鋁的含量。五次測(cè)定結(jié)果的平均值 (Al)為0.1080, 標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0005。已知鋁含

38、量的標(biāo)準(zhǔn)值 (Al)為0.1075。問(wèn)置信度為95%時(shí)，測(cè)定是否可靠？解： =查表雙邊t值檢驗(yàn)表， t0.05，4=2.776。因t t0.05，4, 故平均值與標(biāo)準(zhǔn)值之間無(wú)顯著性差異,測(cè)定不存在系統(tǒng)誤差。wwntSx |24. 250005. 01075. 01080. 0例2：為了檢驗(yàn)一種新的測(cè)定微量二價(jià)銅的原子吸收方法，取一銅樣，已知其含量是11.7ppm。測(cè)量5次，得標(biāo)準(zhǔn)品含量平均值為10.8ppm；其標(biāo)準(zhǔn)偏差S為0.7ppm。試問(wèn)該新方法在95%的置信水平上，是否可靠？解：查表雙測(cè)檢驗(yàn)，得t0.05，4=2.78。因t t0.05,4, 故平均值與標(biāo)準(zhǔn)值之間有顯著性差異,測(cè)定存在系統(tǒng)

39、誤差。9 . 25/7 . 07 .118 .10|ntSx 例3：測(cè)定某一制劑中某組分的含量，熟練分析工作人員測(cè)得含量均值為6.75%。一個(gè)剛從事分析工作的人員，用相同的分析方法，對(duì)該試樣平行測(cè)定6次，含量均值為6.94%，S為0.28%。問(wèn)后者的分析結(jié)果是否顯著高于前者。解：題意為單測(cè)檢驗(yàn)。查單測(cè)檢驗(yàn)表=0.05, f=6-1=5; 1.7t0.05,5,說(shuō)明新手的準(zhǔn)確度合乎要求，但精密度不佳。7 . 1628. 075. 694. 6t2. 兩組平均值兩組平均值的比較 當(dāng)t檢驗(yàn)用于兩組測(cè)定值的比較時(shí)，用下式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量tSR為合并的標(biāo)準(zhǔn)偏差(pooled standard deviatio

40、n) 若t計(jì)t表，則兩組平均值間存在顯著性差異，反之無(wú)顯著性差異。2)1()1(|21222112121212nnSnSnSnnnnSxxtRR例4：用同一方法分析樣品中的鎂含量。樣品1的分析結(jié)果：1.23%、1.25%及1.26%；樣品2：1.31%、1.34%、1.35%。試問(wèn)這兩個(gè)樣品的鎂含量是否有顯著性差別？解：可算得 =1.25， =1.33 S1=0.015， S2=0.021f=3+3-2=4，查表2-2， t0.05,4=2.776。 t計(jì) t0.05,4故兩個(gè)樣品的鎂含量有顯著差別。1X2X4 . 53333018. 033. 125. 1018. 0233021. 0) 1

41、3(015. 0) 13(22tSR（二）、F檢驗(yàn)法 F檢驗(yàn)法是比較兩組數(shù)據(jù)的方差兩組數(shù)據(jù)的方差，以確定精密度之間有無(wú)顯著性差異，用統(tǒng)計(jì)量F表示 F計(jì)F表，則兩組數(shù)據(jù)的精密度存在顯著性差異 F計(jì)F表，則兩組數(shù)據(jù)的精密度不存在顯著性差異22小大SSF 例5：用兩種方法測(cè)定同一樣品中某組分。第1法，共測(cè)6次，S1=0.055；第2法，共測(cè)4次，S2=0.022。試問(wèn)這兩種方法的精密度有無(wú)顯著性差別。解：f1=6-1=5；f2=4-1=3。由表查得F=9.01。FF0.05,5,3因此， S1與S2無(wú)顯著性差別，即兩種方法的精密度相當(dāng)。2 . 6022. 0055. 02222小大SSF（三）、使用

42、顯著性檢驗(yàn)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)1.兩組數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)順序是先進(jìn)行F檢驗(yàn)而后進(jìn)行t檢驗(yàn)。2.單側(cè)與雙側(cè)檢驗(yàn)3.置信水平P或顯著性水平的選擇數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理的步驟： 1.求統(tǒng)計(jì)量 2.可疑值的取舍檢驗(yàn) 3.F檢驗(yàn) 4.t檢驗(yàn) 總總 結(jié)結(jié)5.1 5.1 列表法列表法 n將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對(duì)應(yīng)起來(lái)順序一一對(duì)應(yīng)起來(lái) （1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)表）試驗(yàn)數(shù)據(jù)表記錄表記錄表n試驗(yàn)記錄和試驗(yàn)數(shù)據(jù)初步整理的表格試驗(yàn)記錄和試驗(yàn)數(shù)據(jù)初步整理的表格 n表中數(shù)據(jù)可分為三類(lèi)：表中數(shù)據(jù)可分為三類(lèi)： 原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù) 中間數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)最終計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)最終計(jì)算

43、結(jié)果數(shù)據(jù)6 6 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理和歸納試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理和歸納 結(jié)果表示表結(jié)果表示表n表達(dá)試驗(yàn)結(jié)論表達(dá)試驗(yàn)結(jié)論 n應(yīng)簡(jiǎn)明扼要應(yīng)簡(jiǎn)明扼要（2）說(shuō)明說(shuō)明：n三部分：三部分：表名、表頭、數(shù)據(jù)資料表名、表頭、數(shù)據(jù)資料 n必要時(shí)，在表格的下方加上必要時(shí)，在表格的下方加上表外附加表外附加 n表名表名應(yīng)放在表的上方，主要用于說(shuō)明表的主要內(nèi)容，為了應(yīng)放在表的上方，主要用于說(shuō)明表的主要內(nèi)容，為了引用的方便，還應(yīng)包含引用的方便，還應(yīng)包含表號(hào)表號(hào) n表頭表頭常放在第一行或第一列，也稱(chēng)為行標(biāo)題或列標(biāo)題，它常放在第一行或第一列，也稱(chēng)為行標(biāo)題或列標(biāo)題，它主要是表示所研究問(wèn)題的類(lèi)別名稱(chēng)和指標(biāo)名稱(chēng)主要是表示所研究問(wèn)題的類(lèi)別名稱(chēng)和指

44、標(biāo)名稱(chēng) n數(shù)據(jù)資料數(shù)據(jù)資料：表格的主要部分，應(yīng)根據(jù)表頭按一定的規(guī)律排表格的主要部分，應(yīng)根據(jù)表頭按一定的規(guī)律排列列 n表外附加表外附加通常放在表格的下方，主要是一些不便列在表內(nèi)通常放在表格的下方，主要是一些不便列在表內(nèi)的內(nèi)容，如指標(biāo)注釋、資料來(lái)源、不變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)等的內(nèi)容，如指標(biāo)注釋、資料來(lái)源、不變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)等 （3）注意注意 ：n表格設(shè)計(jì)應(yīng)簡(jiǎn)明合理、層次清晰，以便閱讀和使用；表格設(shè)計(jì)應(yīng)簡(jiǎn)明合理、層次清晰，以便閱讀和使用；n數(shù)據(jù)表的表頭要列出變量的名稱(chēng)、符號(hào)和單位；數(shù)據(jù)表的表頭要列出變量的名稱(chēng)、符號(hào)和單位；n要注意有效數(shù)字位數(shù)；要注意有效數(shù)字位數(shù)；n試驗(yàn)數(shù)據(jù)較大或較小時(shí)，要用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示，并記

45、入試驗(yàn)數(shù)據(jù)較大或較小時(shí)，要用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示，并記入表頭，注意表頭中的與表中的數(shù)據(jù)應(yīng)服從下式：數(shù)據(jù)的實(shí)表頭，注意表頭中的與表中的數(shù)據(jù)應(yīng)服從下式：數(shù)據(jù)的實(shí)際值際值10n 表中數(shù)據(jù)；表中數(shù)據(jù)；n數(shù)據(jù)表格記錄要正規(guī)，原始數(shù)據(jù)要書(shū)寫(xiě)得清楚整齊，要記數(shù)據(jù)表格記錄要正規(guī)，原始數(shù)據(jù)要書(shū)寫(xiě)得清楚整齊，要記錄各種試驗(yàn)條件，并妥為保管。錄各種試驗(yàn)條件，并妥為保管。5.2.1 常用數(shù)據(jù)圖常用數(shù)據(jù)圖 （1）線(xiàn)圖（）線(xiàn)圖（line graph/chart） n表示因變量隨自變量的表示因變量隨自變量的變化情況變化情況 n線(xiàn)圖分類(lèi)：線(xiàn)圖分類(lèi)：?jiǎn)问骄€(xiàn)圖：表示某一種事物或現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)單式線(xiàn)圖：表示某一種事物或現(xiàn)象的動(dòng)態(tài) 復(fù)式線(xiàn)圖

46、：在同一圖中表示兩種或兩種以上事物或現(xiàn)象的復(fù)式線(xiàn)圖：在同一圖中表示兩種或兩種以上事物或現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)，可用于不同事物或現(xiàn)象的比較動(dòng)態(tài)，可用于不同事物或現(xiàn)象的比較5.2 5.2 圖示法圖示法 圖圖1 1 高吸水性樹(shù)脂保水率與時(shí)間和溫度的關(guān)系高吸水性樹(shù)脂保水率與時(shí)間和溫度的關(guān)系圖圖2 某離心泵特性曲線(xiàn)某離心泵特性曲線(xiàn)（2）XY散點(diǎn)圖（散點(diǎn)圖（scatter diagram） n表示兩個(gè)變量間的相互關(guān)系表示兩個(gè)變量間的相互關(guān)系 n散點(diǎn)圖可以看出變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律散點(diǎn)圖可以看出變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 圖圖3 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖（3）條形圖和柱形圖）條形圖和柱形圖n用等寬長(zhǎng)條的長(zhǎng)短或高低來(lái)表示數(shù)據(jù)的大小，以反映各數(shù)用

47、等寬長(zhǎng)條的長(zhǎng)短或高低來(lái)表示數(shù)據(jù)的大小，以反映各數(shù)據(jù)點(diǎn)的差異據(jù)點(diǎn)的差異 n兩個(gè)坐標(biāo)軸的性質(zhì)不同兩個(gè)坐標(biāo)軸的性質(zhì)不同 數(shù)值軸數(shù)值軸 ：表示數(shù)量性因素或變量：表示數(shù)量性因素或變量 分類(lèi)軸分類(lèi)軸 ：表示的是屬性因素或非數(shù)量性變量：表示的是屬性因素或非數(shù)量性變量 圖圖4 不同提取方法提取率比較不同提取方法提取率比較n分類(lèi)：分類(lèi)：?jiǎn)问剑褐簧婕耙粋€(gè)事物或現(xiàn)象單式：只涉及一個(gè)事物或現(xiàn)象 復(fù)式：涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物或現(xiàn)象復(fù)式：涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物或現(xiàn)象 圖圖5 不同提取方法對(duì)兩種原料有效成分提取率效果比較不同提取方法對(duì)兩種原料有效成分提取率效果比較（4）圓形圖和環(huán)形圖）圓形圖和環(huán)形圖圓形圖（圓形圖（

48、circle chart）n也稱(chēng)為餅圖（也稱(chēng)為餅圖（pie graph） n表示總體中各組成部分所占的表示總體中各組成部分所占的比例比例 n只適合于包含一個(gè)數(shù)據(jù)系列的只適合于包含一個(gè)數(shù)據(jù)系列的情況情況 n餅圖的總面積看成餅圖的總面積看成100% ，每，每3.6圓心角所對(duì)應(yīng)的面積為圓心角所對(duì)應(yīng)的面積為1% ，以扇形面積的大小來(lái)分，以扇形面積的大小來(lái)分別表示各項(xiàng)的比例別表示各項(xiàng)的比例 圖圖6 全球天然維生素全球天然維生素E消費(fèi)比例消費(fèi)比例 環(huán)形圖（環(huán)形圖（circular diagram）n每一部分的比例用環(huán)中的一段表示每一部分的比例用環(huán)中的一段表示 n可顯示多個(gè)總體各部分所占的相應(yīng)比例可顯示多個(gè)

49、總體各部分所占的相應(yīng)比例 ，有利于比較有利于比較圖圖7 全球合成、天然維生素全球合成、天然維生素E消費(fèi)比例比較消費(fèi)比例比較（5）三角形圖（）三角形圖（ternary） 常用于表示三元混合物各組分含量或濃度之間的關(guān)系常用于表示三元混合物各組分含量或濃度之間的關(guān)系 n三角形：等腰三角形：等腰Rt、等邊、不等腰、等邊、不等腰Rt等等n頂點(diǎn)：純物質(zhì)頂點(diǎn)：純物質(zhì)n邊：二元混合物邊：二元混合物n三角形內(nèi)：三元混合物三角形內(nèi)：三元混合物MABSxAxSxB1 xA xS圖圖8 等腰直角三角形坐標(biāo)圖等腰直角三角形坐標(biāo)圖0.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.000.

50、250.500.751.00ABCxCxBxAxAxAxCxCxBxBMEF圖圖9 等邊三角形坐標(biāo)圖等邊三角形坐標(biāo)圖（6）三維表面圖（）三維表面圖（3D surface graph） n三元函數(shù)三元函數(shù)Z=f(X,Y)對(duì)應(yīng)的曲面圖，根據(jù)曲面圖可以看出因?qū)?yīng)的曲面圖，根據(jù)曲面圖可以看出因變量變量Z值隨自變量值隨自變量X和和Y值的變化情況值的變化情況 圖圖10 三維表面圖三維表面圖 （7）三維等高線(xiàn)圖（）三維等高線(xiàn)圖（contour plot） n三維表面圖上三維表面圖上Z值相等的點(diǎn)連成的曲線(xiàn)在水平面上的投影值相等的點(diǎn)連成的曲線(xiàn)在水平面上的投影 圖圖11 三維等高線(xiàn)圖三維等高線(xiàn)圖 繪制圖形時(shí)應(yīng)注意

51、繪制圖形時(shí)應(yīng)注意 ：（1）在繪制線(xiàn)圖時(shí)，要求曲線(xiàn)光滑）在繪制線(xiàn)圖時(shí)，要求曲線(xiàn)光滑,并使曲線(xiàn)盡可能通過(guò)較多并使曲線(xiàn)盡可能通過(guò)較多的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，或者使曲線(xiàn)以外的點(diǎn)盡可能位于曲線(xiàn)附近，并使的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，或者使曲線(xiàn)以外的點(diǎn)盡可能位于曲線(xiàn)附近，并使曲線(xiàn)兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)大致相等；曲線(xiàn)兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)大致相等；（2）定量的坐標(biāo)軸，其分度不一定自零起；）定量的坐標(biāo)軸，其分度不一定自零起；（3）定量繪制的坐標(biāo)圖，其坐標(biāo)軸上必須標(biāo)明該坐標(biāo)所代表）定量繪制的坐標(biāo)圖，其坐標(biāo)軸上必須標(biāo)明該坐標(biāo)所代表的變量名稱(chēng)、符號(hào)及所用的單位，一般用縱軸代表因變量；的變量名稱(chēng)、符號(hào)及所用的單位，一般用縱軸代表因變量；（4）坐標(biāo)軸的分度應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)

52、字位數(shù)相匹配；）坐標(biāo)軸的分度應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相匹配；（5）圖必須有圖號(hào)和圖題（圖名），以便于引用，必要時(shí)還）圖必須有圖號(hào)和圖題（圖名），以便于引用，必要時(shí)還應(yīng)有圖注。應(yīng)有圖注。5.2.2 坐標(biāo)系的選擇坐標(biāo)系的選擇 n坐標(biāo)系（坐標(biāo)系（coordinate system） 笛卡爾坐標(biāo)系（又稱(chēng)普通直角坐標(biāo)系）、半對(duì)數(shù)坐笛卡爾坐標(biāo)系（又稱(chēng)普通直角坐標(biāo)系）、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系、對(duì)數(shù)坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、概率坐標(biāo)系、三角形標(biāo)系、對(duì)數(shù)坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、概率坐標(biāo)系、三角形坐標(biāo)系坐標(biāo)系 .n對(duì)數(shù)坐標(biāo)系（對(duì)數(shù)坐標(biāo)系（semi-logarithmic coordinate system） 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系

53、雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系 （1）選用坐標(biāo)系的基本原則：）選用坐標(biāo)系的基本原則：根據(jù)數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系根據(jù)數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系n線(xiàn)性函數(shù)：普通直角坐標(biāo)系線(xiàn)性函數(shù)：普通直角坐標(biāo)系n冪函數(shù)：雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系冪函數(shù)：雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系n指數(shù)函數(shù)：半對(duì)數(shù)坐標(biāo)指數(shù)函數(shù)：半對(duì)數(shù)坐標(biāo)根據(jù)數(shù)據(jù)的變化情況根據(jù)數(shù)據(jù)的變化情況n兩個(gè)變量的變化幅度都不大，選用普通直角坐標(biāo)系；兩個(gè)變量的變化幅度都不大，選用普通直角坐標(biāo)系；n有一個(gè)變量的最小值與最大值之間數(shù)量級(jí)相差太大時(shí)，可以選用半對(duì)有一個(gè)變量的最小值與最大值之間數(shù)量級(jí)相差太大時(shí)，可以選用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)；數(shù)坐標(biāo)；n兩個(gè)變量在數(shù)值上均變化了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，可選用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)；兩個(gè)變量在數(shù)值上均變化了

54、幾個(gè)數(shù)量級(jí)，可選用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)；n在自變量由零開(kāi)始逐漸增大的初始階段，當(dāng)自變量的少許變化引起因在自變量由零開(kāi)始逐漸增大的初始階段，當(dāng)自變量的少許變化引起因變量極大變化時(shí)，此時(shí)采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系或雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系，可使圖形變量極大變化時(shí)，此時(shí)采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系或雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系，可使圖形輪廓清楚輪廓清楚例：x10204060801001000200030004000y24146080100177181188200圖圖12 普通直角坐標(biāo)系普通直角坐標(biāo)系圖圖13 對(duì)數(shù)坐標(biāo)系對(duì)數(shù)坐標(biāo)系（2） 坐標(biāo)比例尺的確定坐標(biāo)比例尺的確定 在變量在變量x和和y的誤差的誤差x，y已知時(shí)，比例尺的取法應(yīng)使試驗(yàn)已知時(shí)，比例尺的取法應(yīng)使

55、試驗(yàn)“點(diǎn)點(diǎn)”的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2x，2y，而且使，而且使2x2y12，若若2y2，則，則y軸的比例尺軸的比例尺M(jìn)y應(yīng)為：應(yīng)為：推薦坐標(biāo)軸的比例常數(shù)推薦坐標(biāo)軸的比例常數(shù)M（1、2、5）10 n （n為正為正整數(shù)），而整數(shù)），而3、6、7、8等的比例常數(shù)絕不可用；等的比例常數(shù)絕不可用；縱橫坐標(biāo)之間的比例不一定取得一致，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇，縱橫坐標(biāo)之間的比例不一定取得一致，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇，使曲線(xiàn)的坡度介于使曲線(xiàn)的坡度介于3060之間之間例例2： 研究研究pH值對(duì)某溶液吸光度值對(duì)某溶液吸光度A的影響，已知的影響，已知pH值的測(cè)值的測(cè)量誤差量誤差pH0.1，吸光度，吸光度A的測(cè)量誤差的測(cè)量誤差A(yù)0.0

56、1。在一定波。在一定波長(zhǎng)下，測(cè)得長(zhǎng)下，測(cè)得pH值與吸光度值與吸光度A的關(guān)系數(shù)據(jù)如表所示。試在普通的關(guān)系數(shù)據(jù)如表所示。試在普通直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩者間的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩者間的關(guān)系曲線(xiàn)關(guān)系曲線(xiàn)。pH8.09.010.011.0吸光度A1.341.361.451.36設(shè)設(shè)2pH2A2mm解：解： pH0.1，A0.01 橫軸的比例尺為橫軸的比例尺為 2210/20.2pHmmmmMmmpHpH（單位值）縱軸的比例尺為縱軸的比例尺為 22100/20.01AmmmmMmmA（單位吸光度）圖圖14 坐標(biāo)比例尺對(duì)圖形形狀的影響坐標(biāo)比例尺對(duì)圖形形狀的影響5.3 方程法方程法5.3.1 直線(xiàn)圖解法直線(xiàn)圖解法

57、凡是試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以直接繪成一條直線(xiàn)或經(jīng)變量變換后能改成為直線(xiàn)的，都可以用此種方法。 直線(xiàn)圖解法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便，但由于個(gè)人用直尺憑直覺(jué)畫(huà)出的直線(xiàn)可能不同，因此，精確度較差。當(dāng)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，或者精度要求低于0.2%0.5%，即有效數(shù)字位數(shù)為3時(shí)可以用此種方法。一、基本概念一、基本概念 （1） 相互關(guān)系相互關(guān)系 確定性關(guān)系確定性關(guān)系 ：n變量之間存在著嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系變量之間存在著嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 ：n變量之間近似存在某種函數(shù)關(guān)系變量之間近似存在某種函數(shù)關(guān)系（2） 回歸分析（回歸分析（regression analysis） 處理變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法處理變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法n確定

58、回歸方程確定回歸方程：變量之間近似的函數(shù)關(guān)系式變量之間近似的函數(shù)關(guān)系式n檢驗(yàn)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)回歸方程的顯著性 n試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)5.3.2 回歸分析法回歸分析法二、二、 一元線(xiàn)性回歸分析一元線(xiàn)性回歸分析 1. 一元線(xiàn)性回歸方程的建立一元線(xiàn)性回歸方程的建立 （1）最小二乘法原理）最小二乘法原理n設(shè)有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)設(shè)有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) （如表），若（如表），若x，y符合線(xiàn)性關(guān)系符合線(xiàn)性關(guān)系 xx1x2xnyy1y2yn 計(jì)算值計(jì)算值 與試驗(yàn)值與試驗(yàn)值yi不一定相等不一定相等 與與yi之間的偏差稱(chēng)為殘差：之間的偏差稱(chēng)為殘差：a，b回歸系數(shù)（回歸系數(shù)（regression coefficient

59、） iyiyiyiiieyy回歸值回歸值/擬合值，由擬合值，由xi代入回歸方程計(jì)算出的代入回歸方程計(jì)算出的y值。值。iiyabxn 一元線(xiàn)性回歸方程一元線(xiàn)性回歸方程 ：n殘差平方和殘差平方和 ：112()02()0niiiniiiiQyabxaQyabx xb n殘差平方和最小時(shí)，回歸方程與試驗(yàn)值的擬合程度最好殘差平方和最小時(shí)，回歸方程與試驗(yàn)值的擬合程度最好求殘差平方和極小值：求殘差平方和極小值：222111()()nnneiiiiiiiiSSQeyyyabxn正規(guī)方程組（正規(guī)方程組（normal equation） ：112111nniiiinnniiiiiiinabxyaxbxx y111

60、12222111()()()( )nnnniiiiiiiiiinnniiiiiinx yxyx ynxybnxxxn xaybxn 解正規(guī)方程組：解正規(guī)方程組：n簡(jiǎn)算法：簡(jiǎn)算法：22211()( )nnxxiiiiLxxxn x11()()nnxyiiiiiiLxxyyx ynxyxyxxLbLaybx三、三、 一元線(xiàn)性回歸效果的檢驗(yàn)一元線(xiàn)性回歸效果的檢驗(yàn) （1）相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法）相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法 相關(guān)系數(shù)（相關(guān)系數(shù)（correlation coefficient） ：n描述變量描述變量x與與y的線(xiàn)性相關(guān)程度的線(xiàn)性相關(guān)程度n定義式：定義式： xyxxyyLrLL相關(guān)系數(shù)特點(diǎn)：相關(guān)系數(shù)特點(diǎn)：n1r1