微分方程自測(cè)題答案

1、.微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與提高 第八章 微分方程與差分方程提示：差分方程內(nèi)容不用看微分方程自測(cè)題A答案與提示一、單項(xiàng)選擇題1. 答案：A提示： 原方程可化為.2. 答案：D提示：原方程可化為（伯努利方程）.3. 答案：A提示：特征方程為，.故特解為.4. 答案：C提示：特征方程為,.故特解為.5. 答案：B提示：所求齊次微分方程的特征方程的根應(yīng)為，而選項(xiàng)B的特征方程為，滿足條件.6. 答案：B提示：由已知條件，特征方程有根.故，則.7. 答案：B提示：按照差分及差分方程的定義驗(yàn)證即可.8. 答案：C提示：差分方程的定義驗(yàn)證即可.二、填空題1答案：提示：原方程可化為變量可分離方程，解得.由，得，從而.2

2、. 答案：提示：原方程可化為變量可分離方程，解得.3. 答案：提示：原方程可化為齊次方程.令，則，解得，即.由，得，故.4. 答案：提示：特征方程為，特征根為.則齊次方程的通解為.由于是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為.把它代入原方程，可得.5. 答案：提示：設(shè)曲線方程為.過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程為.因切線被切點(diǎn)平分，則.由此得微分方程，解得，又曲線通過(guò)點(diǎn)，則.6. 答案： 提示：函數(shù)連續(xù)，則可導(dǎo)，從而可導(dǎo).對(duì)其求導(dǎo)，得，解得.由,得.故.7. 答案： 提示：，代入函數(shù)并化簡(jiǎn)得8. 答案： 提示：特征方程為，特征根為，按照齊次差分方程的求解公式得通解為.三、計(jì)算題1.解： (1）(2）(3）(4）(5

3、）(6）(7）(8）2解：原方程化為，令 u = x y , 得(分離變量方程)3解：代入原方程整理得令得4.解: 將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得，得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解: ，由于原方程通解為5解：用對(duì)等式左邊的積分進(jìn)行替換，然后再兩邊求導(dǎo)數(shù)，得出需滿足的微分方程便能解出.6解：7解：驗(yàn)證及都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解.用齊次線性方程解的性質(zhì)即可得出證明.8. 解：由兩種不同類型的自由項(xiàng)，分別設(shè)定試解得.微分方程自測(cè)題B答案與提示一、單項(xiàng)選擇題1. 答案：A提示：.2. 答案：C提示：解方程可得.由，知.由此可得.3. 答案：D提示：原方程可化為.4. 答案：B提示：方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，

4、故原方程的通解為.5. 答案：A提示：代換將微分方程化為,為一階齊次方程，則有，從而.6. 答案：C提示：特征方程為，得.則通解為.7. 答案：A提示：方程的通解是方程的特解形式為待定），代入方程得到，所以選擇A.8. 答案：B提示：的特征根是1是特征單根，所以特解形式是.二、填空題 1答案：通解是 提示：原方程化為可分離變量方程，可得通解為.2. 答案：特解提示：特征方程為，.非齊次項(xiàng)屬于型，其中是特征方程的單根，故非齊次方程的特解可設(shè)為，代入原方程可得.3. 答案：通解是提示：由已知條件，可證和是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.故原方程的通解是.4. 答案：通解是 提示：特征方程為

5、，特征根為(二重),(二重). 故原方程的通解可表示為.5. 答案：通解是 提示：作變量替換，則原方程可化為.則通解為，即.6. 答案：需求函數(shù)提示：由題意，知需求價(jià)格彈性函數(shù),解得.當(dāng)時(shí)，需求量為，則.從而需求函數(shù)為.7. 答案：通解是 提示：方程是一階線性非齊次方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，非齊次的特解形式為,代入方程求得，所以通解是.8. 答案：通解是 提示：方程的特征方程為，特征根是所以通解是.三、計(jì)算題1解：將代入微分方程，所以-=，方程成立，因此是方程特解。2解：時(shí)，；，時(shí)，令，有方程，。3（1）解：，為一階齊次微分方程，令，則，原方程化為，解得即或 （2）解：，當(dāng)時(shí)，為一階線性非齊

6、次方程，代入其通解公式=，當(dāng)時(shí)，C=1,因此（3）解：，是一階線性非齊次方程，代入通解公式， 或 （4）提示：令解：令，是一階線性非齊次方程，因此4 解：，得到，代入一階線性非齊次方程通解公式，又，因此5（1）解: 二階常系數(shù)齊次微分方程的特征根， 因?yàn)椋A常系數(shù)非齊次微分方程特解應(yīng)為 （2）解: 二階常系數(shù)齊次微分方程的特征根（二重根），因?yàn)?，二階常系數(shù)非齊次微分方程特解應(yīng)為（3）解: 二階常系數(shù)齊次微分方程的特征根因?yàn)椋A常系數(shù)非齊次微分方程特解應(yīng)為 （4）解: 二階常系數(shù)齊次微分方程的特征根因?yàn)?，二階常系數(shù)非齊次微分方程特解應(yīng)為6解: 的特征方程：，的特解設(shè)為，代入解出，的特解設(shè)為，

7、代入解出，所以，方程的特解為7解: 通解為通解為通解為8解：化方程為令 , 則(齊次方程)令 ，得可分離變量方程解為，將變量回代得通解為9解：（）由題設(shè)可得解此方程組，得（）原方程為所以10. 解：由兩種不同類型自由項(xiàng)構(gòu)成，特解有兩種形式，與方程對(duì)應(yīng)的特解為，與方程對(duì)應(yīng)的特解為，分別代入方程求待定系數(shù)得，；所以方程通解為代入初始條件得到特解為。 11. 解：由于，把代入，方程可改寫(xiě)為這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.因?yàn)?不是特征方程的根，是零次多項(xiàng)式，故設(shè)特解，代入原方程，得. 所以該商品價(jià)格隨時(shí)間變化的規(guī)律為微分方程自測(cè)題C答案與提示一、單項(xiàng)選擇

8、題1答案：A提示：, 則. 令即可.2答案：C提示：，從而是的極小值點(diǎn).3答案：D提示：由題意，特征方程為，可知所求微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為.選項(xiàng)C、D可能正確. 選項(xiàng)C中的非齊次項(xiàng)，為型，（為特征方程的一單根），則對(duì)應(yīng)的方程的特解形式為，其與不符.故選項(xiàng)C錯(cuò). 選項(xiàng)D中的方程的特解形式為,與已知條件相符.4答案：B 提示：滿足方程，解得.5. 答案：B提示：由已知條件，可知特征方程為. 故所求的齊次線性微分方程為.6. 答案：A提示：由為方程的特解可知，特征方程的特征根為：,1是二重根，為一對(duì)單復(fù)根. 因此特征方程為,即，故所求方程為 則方程的通解為.7答案：C提示：這是二階常系數(shù)齊次線性方

9、程，其通解形式由特征方程的特征根決定.當(dāng)，為不等的實(shí)特征根，原方程的通解為，這時(shí)通解不可能是的周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，原方程的通解為，這時(shí)通解也不可能全是的周期函數(shù)；當(dāng)，原方程的通解為，當(dāng)時(shí)，它的通解才是的周期函數(shù)，這時(shí)，因此選C.8. 答案：B提示：由于右端函數(shù)，所以特解是兩個(gè)函數(shù)的和，與對(duì)應(yīng)的特解是，與，所以選擇B.二、填空題1答案： 提示：令，則，從而，即.方程兩邊同乘，得，解得，即.2. 答案： 提示：方程的通解為.把代入，得，從而.3. 答案： 提示：函數(shù)滿足微分方程，解得.把代入，則.所以.4. 答案：提示：.是二階齊次方程的通解，是非齊次方程的特解.特征方程為，可知齊次方程為.設(shè)非齊次項(xiàng)

10、為，則.故所求方程為.5. 答案： 提示：作極坐標(biāo)變換，得.則滿足微分方程，解得.由于當(dāng)時(shí)，得.從而.6. 答案：提示：令，對(duì)求導(dǎo)，得，則有.并且.由此，方程可化為.7. 答案：（萬(wàn)元） 提示：由動(dòng)態(tài)平衡法建立差分方程，定初值條件為（萬(wàn)元），（萬(wàn)元）.8. 答案：，提示：利用線性差分方程解的結(jié)構(gòu)，是齊次方程的特解，可以確定，又由是非齊次方程的解，可以確定.三、計(jì)算題1. 解: 特征方程特征根: 對(duì)應(yīng)齊次方程通解: 代入原方程得故原方程通解為時(shí)，代入原方程得故原方程通解為2. 解: 分項(xiàng)組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊 , 得即因此通解為即因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 為任意常數(shù) .

11、 3解：令，則，原方程化為 屬于貝努里方程再令 則有 通解： 4.解. 令 則， 得到  令 , 得到 為關(guān)于y的一階線性方程. 且 解得  所以, .于是 ,  , ,  ,  得到,  得解  5解: 注意 x, y 同號(hào),故方程可變形為這是以為因變量, y為自變量的一階線性方程由一階線性方程通解公式 , 得所求通解為6 解: (1) 因所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:(2) 由一階線性微分方程解的公式得，于是 7. 解:（1) 先解定解問(wèn)題利用通解公式, 得由條件得，故有（2) 再解定解問(wèn)題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得 因此有（3) 原問(wèn)題的解為8解: