推理與證明解讀

1、推理與證明推理與證明永康一中永康一中姚波浪姚波浪“推理與證明推理與證明”講什么？為什么要講“推理與證明推理與證明”？如何講“推理與證明推理與證明”？三個問題生活的需要生活的需要一、為什么要講一、為什么要講“推理與證推理與證明明”？科學研究的需要科學研究的需要數(shù)學自身的需要數(shù)學自身的需要“長頭發(fā)長頭發(fā)”進男廁所進男廁所為什么要講“推理與證明推理與證明”？守株待兔、刻舟求劍守株待兔、刻舟求劍我是否要我是否要“炒股炒股”“守株待兔守株待兔”者者的的推理過程推理過程 前天有一只野兔撞死在這棵樹上； 昨天又有一只野兔撞死在這棵樹上； 今天也會有一只野兔撞死在這棵樹上。生活中充滿著“推理與證明推理與證明”

2、 “總結(jié)經(jīng)驗教訓”， 抗菌素的濫用現(xiàn)象 在生活中常說的“可能是（猜測）”、“可以想象（聯(lián)想）”、“綜上所述（歸納）”、“可見”、“可以斷言”等話語，都包含著合情推理與證明的成分。火星上是否存在生命？火星上是否存在生命？為什么要講“推理與證明推理與證明”？鋸齒的發(fā)明鋸齒的發(fā)明數(shù)學探究數(shù)學探究 表示任意一個自然數(shù)至少要用多少個平方數(shù)？任一自然數(shù)都可以表示成一個、兩個、三任一自然數(shù)都可以表示成一個、兩個、三個或四個平方數(shù)的和？個或四個平方數(shù)的和？ 由實際計算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4 9=9 10=9+1 11=

3、9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36解讀一 “推理與證明推理與證明”是數(shù)學的基本思維是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理演繹推理，證明通常包括演繹證明和實，證明通常包括演繹證明和實驗、實踐的證明。驗、實踐的證明?！皹藴蕵藴省睂ⅰ巴评砼c推理與證明證明”專設一章，這在我國高中數(shù)學課專設一章，這在我國高中數(shù)學課程中還是首次。通過本章的教學，不僅程中還是首次。通過本章的教學，不僅可以幫助學生進一步把握以前學過的證

4、可以幫助學生進一步把握以前學過的證明方法，也可以讓他們了解猜測的一般明方法，也可以讓他們了解猜測的一般方法方法。解讀一 教科書的編寫意圖是把過去滲教科書的編寫意圖是把過去滲透在具體數(shù)學內(nèi)容中的推理和證明透在具體數(shù)學內(nèi)容中的推理和證明的思維方法，以集中的、顯性的形的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，既教猜想，又教證明。式呈現(xiàn)出來，既教猜想，又教證明。使學生更加明確這些方法，并能在使學生更加明確這些方法，并能在今后的學習中有意識地使用它們，今后的學習中有意識地使用它們，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。二、二、“推理與證明推理與證明”講什么？ 推理與證明貫穿于高中數(shù)

5、學的整個推理與證明貫穿于高中數(shù)學的整個體系，它的學習是新課標教材的一個亮體系，它的學習是新課標教材的一個亮點，是對以前所學知識與方法的總結(jié)、點，是對以前所學知識與方法的總結(jié)、歸納，并對后繼學習起到引領的作用。歸納，并對后繼學習起到引領的作用。內(nèi)容結(jié)構 推理與證明推理與證明 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 類比類比 直接證明直接證明 間接證明間接證明 綜合法綜合法 分析法分析法 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法 反證法反證法 課標要求（1）合情推理與演繹推理）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合類比等進行簡單的推

6、理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用. 體會演繹推理的重要性，掌握演繹推體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理簡單的推理. 了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別系與差別. （2）直接證明與間接證明）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點。了解分析法與綜合法的思考過程與特點。 了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反反證法；了解反證法

7、的思考過程與特點。證法的思考過程與特點。（3）數(shù)學歸納法）數(shù)學歸納法 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。單的數(shù)學命題。（4）數(shù)學文化）數(shù)學文化 通過對實例的介紹（如歐幾里得通過對實例的介紹（如歐幾里得幾何原本幾何原本、馬克、馬克思思資本論資本論、杰弗遜、杰弗遜獨立宣言獨立宣言、牛頓三定律），、牛頓三定律），體會公理化思想。體會公理化思想。 介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用。介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用。基本基本要求要求1了解合情推理的含義、結(jié)構、和基本本類型。了解合情推理的含義、結(jié)構、和基本本類型。

8、2結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。3結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；些簡單推理；4通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。差異。發(fā)展要

9、求1、了解不完全歸納法，并根據(jù)不完全歸納法猜想一些結(jié)論、了解不完全歸納法，并根據(jù)不完全歸納法猜想一些結(jié)論2、了解一般意義下的類比、了解一般意義下的類比說 明類比推理注意避免類比推理注意避免“機械類比機械類比”，即僅從表面相似或偶然相，即僅從表面相似或偶然相似的情況進行類比。導致錯誤。似的情況進行類比。導致錯誤。省教學指導意見解讀省教學指導意見解讀合情推理與演繹推理基基本本要要求求1了解直接證明的兩種基了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思了解分析法與綜合法的思考過程與特點?？歼^程與特點。2了解間接證明的一種基了解間接證明的一種基本方法本方法反

10、證法；了解反證法；了解反證法的思考過程與特點反證法的思考過程與特點。發(fā)發(fā)展展要要求求了解比較法、放縮法。了解比較法、放縮法。說說 明明直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2 23 3數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法基本基本要求要求1了解數(shù)學歸納法的原理，了解數(shù)學歸納法的原理，2能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題數(shù)學命題發(fā)展發(fā)展要求要求1了解其它數(shù)學歸納法的原理了解其它數(shù)學歸納法的原理2靈活掌握數(shù)學歸納法在解決較復靈活掌握數(shù)學歸納法在解決較復雜的與自然數(shù)雜的與自然數(shù)n有關命題中的應用。有關命題中的應用。說說 明明 教學定位：教學定位：通過對已學知識的回顧，通過對已學知識的回顧

11、，進一步體會合情推理、演繹推理以進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學證明的特點，了解數(shù)學證明的基學證明的特點，了解數(shù)學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學歸納法）和分析法、綜合法、數(shù)學歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學以及生活中的作受邏輯證明在數(shù)學以及生活中的作用，養(yǎng)成嚴謹習慣。用，養(yǎng)成嚴謹習慣。三、如何講三、如何講“推理與證明推理與證明”？1、課時分配（、課時分配（理科理科8課時、課時、文科文科13課時）課時）2.1.1 合情推理合情

12、推理1課時（課時（2）2.1.2 演繹推理演繹推理2課時（課時（3）2.2.11綜合法綜合法1課時（課時（2）2.2.12分析法分析法1課時（課時（1）2.2.2 反證法反證法1課時（課時（2）2.2.3 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法1課時（課時（0）小結(jié)小結(jié)1課時（課時（3）2、重難點確立2.1節(jié)重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類節(jié)重點是了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用比進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論三段論”進行簡單的推理。進行簡單的推理。 難點是用歸納和類比難點是用歸納和類比進行推理，作出猜想，用三段論作出簡單的推理。進行推理

13、，作出猜想，用三段論作出簡單的推理。2.2節(jié)重點是結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證節(jié)重點是結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法明的兩種基本方法綜合法、分析法，了解間接證綜合法、分析法，了解間接證明的一種方法明的一種方法反證法；了解綜合法、分析法和反反證法；了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點。難點是根據(jù)問題特點，結(jié)合證法的思考過程、特點。難點是根據(jù)問題特點，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把各種證明方法結(jié)合使用。當?shù)淖C明方法或把各種證明方法結(jié)合使用。歸納推理 歸納推理是針對一類事物歸納推理是針對

14、一類事物S而言的，而言的，如圖所示：如圖所示： S 的部分事物的部分事物A和和B共同具共同具有的某種特性，是否可以推廣到整個有的某種特性，是否可以推廣到整個S？這就是一個從局部到整體的推理過程。這就是一個從局部到整體的推理過程。3 3、概念關系認識、概念關系認識類比推理 類比推理是針對的兩類事物，如類比推理是針對的兩類事物，如圖所示，在圖所示，在A和和B兩類事物中，兩類事物中，A類中類中有性質(zhì)有性質(zhì)P成立，成立，B類中也有性質(zhì)類中也有性質(zhì)P成立，成立，A類中還有性質(zhì)類中還有性質(zhì)Q成立，那么成立，那么B類中是類中是否也具有性質(zhì)否也具有性質(zhì)Q成立呢？通過兩類事成立呢？通過兩類事物的類比可以對事物的

15、性質(zhì)有更深刻物的類比可以對事物的性質(zhì)有更深刻的理解，并且可以幫助進行邏輯推理。的理解，并且可以幫助進行邏輯推理。 合情推理合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。歸納、類比是合情推理常結(jié)果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的思維方法。用的思維方法。 演繹推理演繹推理 演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），的結(jié)論（包括定義、公理、定

16、理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。過程。例例 大前提大前提:馬有四條腿馬有四條腿;小前提小前提:白馬是馬白馬是馬;結(jié)論結(jié)論:白馬有四條腿白馬有四條腿.它是從一般到特殊的推理它是從一般到特殊的推理.演繹推理的主要形式就演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理. 合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問題的思路和方探索和提供解決問題的思路和方法的作用；演繹推理則具有證明法的作用；演繹推理則具有證明結(jié)論，整理和建構知識體系的作結(jié)論，整理和建構知識體系的作用，

17、是公理體系中的基本推理方用，是公理體系中的基本推理方法。法。合情推理與演繹推理的作用合情推理與演繹推理的作用 合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，數(shù)學結(jié)論的正和實驗、實踐證明，數(shù)學結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。用推理規(guī)則得出結(jié)論。合情推理與演繹推理的關系合情推理與演繹推理的關系類比的風險類比的風險直接證明綜合法所證結(jié)論所證結(jié)論直接證明分析法在已知條件下新結(jié)果是否成立直接證明

18、數(shù)學歸納法 要證明的結(jié)論要證明的結(jié)論否定要證明的結(jié)論否定要證明的結(jié)論把把“否定要證明的結(jié)論否定要證明的結(jié)論”作為條件作為條件結(jié)合相關公理、定理或已得的結(jié)論結(jié)合相關公理、定理或已得的結(jié)論得出新的結(jié)論得出新的結(jié)論結(jié)束結(jié)束是否與已知條件、是否與已知條件、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是間接證明反證法 4 4、整體把握、整體把握l演繹推理與合情推理并重演繹推理與合情推理并重l以實際問題與已學問題為主以實際問題與已學問題為主要素材開展教學要素材開展教學l長期滲透、控制難度長期滲透、控制難度在在“合情推理合情推理”和和“演繹推理演繹推理”教學中，要通過具體實例理解合情教學中，要通過具體實例理解合情推理與演

19、繹推理，不追求對概念的推理與演繹推理，不追求對概念的抽象表述。抽象表述。補充的實例也應以補充的實例也應以“已經(jīng)學過已經(jīng)學過的數(shù)學實例和生活中的實例的數(shù)學實例和生活中的實例”為準，為準，對證明的問題的難度也要加以控制。對證明的問題的難度也要加以控制。 一點說明 本章的教學屬于思想方法的教學范疇，對于思想方法的教學，一般都應采取先讓學生自己獨立思考、實踐，再討論、歸納、概括的方式進行，這是因為思想方法不能靠講解、灌輸、記憶而學會，只能通過在實踐基礎上的領悟而掌握。 重視過程、理清思路猶為重要。四、關于復數(shù)四、關于復數(shù) 與以往教科書不同的是，本章在引入復數(shù)之前，首先在具體問題情境（即方程x210在實

20、數(shù)集中無解，如何通過數(shù)系的擴充使該方程有解）中，展現(xiàn)了實數(shù)系的擴充過程，然后引入了復數(shù)的相關概念，并類比實數(shù)的幾何意義說明了復數(shù)的幾何意義 對復數(shù)教學的二個建議 1.加強復數(shù)引入過程的教學，體現(xiàn)實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用 2.加強復數(shù)與實數(shù)、有理數(shù)、平面向量及其加減運算、多項式及其加減運算之間的聯(lián)系 發(fā)展要求：發(fā)展要求：總結(jié)一些重要的數(shù)學方法在解決數(shù)學問題中的流程。 說明：說明：本節(jié)學習要緊扣增強學生應用流程圖解決實際問題的能力來安排。 發(fā)展要求：發(fā)展要求：選擇必修各冊教材中的某些數(shù)知識（如不等式、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等），運用結(jié)構圖按數(shù)學知識

21、體系進行梳理，并與他人做交流，體會各知識塊的內(nèi)涵與外延。 說明：說明：本節(jié)學習要緊扣增強學生應用結(jié)構圖解決實際問題的能力來安排，并注意揭示其與流程圖的聯(lián)系與區(qū)別。 ：（共6課時） 4.1流程圖 約3課時 4.2結(jié)構圖 約2課時 小結(jié) 約1課時框圖教學建議框圖教學建議： 4.1的重點和難點都是構造流程圖的方法。 4.1流程圖的教學可分為兩步實現(xiàn)： 一是通過讀圖，認識流程圖; 二是結(jié)合簡單的具體問題學會繪制流程圖， 同時，滲透流程圖作用及優(yōu)越性的體驗?？驁D教學建議框圖教學建議： 第一課時，認識流程圖。 對例1的教學要把握兩點：一是聯(lián)系必修3算法，回憶已經(jīng)學過的框圖知識，二是由此引出流程圖的概念。接

22、著的“圖書借閱流程圖”和“診病流程圖”意在讓學生讀圖，并體會流程圖的優(yōu)越性，揭示流程圖的特征。本節(jié)課教學目標應該是：讓學生讀懂流程圖，體會流程圖的優(yōu)越性，初步認識其特征。框圖教學建議框圖教學建議： 第二節(jié)課，學習繪制流程圖。 要在復習的基礎上引出例2，由此出發(fā)，學習用流程圖表示解決問題的過程，例2后的思考要安排較充分的時間，讓學生嘗試運用流程圖解決問題，并組織交流，促進學生通過思維活動認識流程圖的繪制方法。例3既是學習繪制流程圖的過程，也是運用流程圖的過程，因此，例3后的思考，也要加以重視，這里安排的思考既可以體會流程圖的作用，也可以概括出流程圖的特征，同時，在思考的小結(jié)中，還可以聯(lián)系前面例題

23、表明繪制流程圖的重要方法“先粗后細”?？驁D教學建議框圖教學建議： 第三節(jié)課，可以由本節(jié)的探究開始，設計學生活動的情境，繼續(xù)學習流程圖的繪制，體會流程圖的作用。 這里“兒童之家”活動設計的探究問題，相比前面流程圖的設計有所不同，它有兩條主線，需要學生在原有經(jīng)驗基礎之上，經(jīng)過思維活動，動手嘗試才能解決，而解決后對理解流程圖的繪制會大有幫助。 探究問題的小結(jié)中，又引入了綜合法和分析法的解題過程的流程圖，由此突出一個觀點“數(shù)學問題是不勝枚舉的，解決問題的方法也千差萬別，但解決問題的過程是類似的”，并用流程圖做了直觀的表示，教學中，要突出流程圖運用的作用，突出以上觀點?？驁D教學建議框圖教學建議： 4.2的重點和難點都是構造結(jié)構圖的方法。 4.2結(jié)構圖的教學也可分兩步完成， 一是通過讀圖認