微積分之求導(dǎo)

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 1 頁(yè)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式二、二、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、四、 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的 求導(dǎo)法數(shù)求導(dǎo)法數(shù)一、一、 函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則五、五、 高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則三、三、 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)預(yù)備知識(shí)本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 2 頁(yè)前言前言 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法叫微分法。 微分法是指運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)的基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。 因此我們將要建立最

2、基本的一組求導(dǎo)數(shù)的法則和公式。本節(jié)預(yù)備知識(shí)本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 3 頁(yè)一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的

3、與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 4 頁(yè)推論推論 )() 1 ();( )()2(xfCxCf 2)3(CC目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 5 頁(yè)注意：我們目前已知的求導(dǎo)公式是：注意：我們目前已知的求導(dǎo)公式是：1、2、3、4、5、0)(cxxcossinxxsincos1)(xxaaaxxln)(特別：特別：xxee)(axxaln1)(log目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 6 頁(yè)例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)

4、的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 7 頁(yè)例例3 3.3/coslogsin33的導(dǎo)數(shù)求 xxxy解解例例4 4.cosln2的導(dǎo)數(shù)求xxxy 解解)3ln/(1cos3)2/(1xxxy xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxysinlncoscosln2)(cosl

5、ncos)(lncosln)()cosln(22222 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 8 頁(yè)例例5 5.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 9 頁(yè)例例6 6.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)c

6、os1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例7 7.sinh的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 10 頁(yè)例例8 8設(shè)設(shè)xxxfsin1cos)( 求求)(4f)(2f解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閤xxfsin1cos)( 所以：所以：2)sin1 ()sin1 (cos

7、)sin1 ()(cos)(xxxxxxf 2)sin1 (coscos)sin1 (sinxxxxx xsin11 所以所以2211sin11)(2244 f21)(2 f目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 11 頁(yè)二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因

8、變量對(duì)中間變等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )它是微分法中最重要的一個(gè)法則。它是微分法中最重要的一個(gè)法則。目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 12 頁(yè)推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例1010.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 目錄目錄后退后

9、退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 13 頁(yè)例例1111.)3cos(22的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy解解例例1212解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?3cos(22 xy是由是由uycos2 32 xu復(fù)合而成，所以復(fù)合而成，所以)3sin(4)02(sin22 xxxudxdududydxdy設(shè)設(shè)221tanxy 求求dxdy221tanxy 所以所以u(píng)ytan vu 221xv 22221sec212xxxdxdvdvdududydxdy 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 1

10、4 頁(yè)例例1313.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1414.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 15 頁(yè)例例1515.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy

11、)2(3112 xxx例例1616.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 16 頁(yè)三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法

12、則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 17 頁(yè)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 的復(fù)合函數(shù)的函數(shù)看成的函數(shù)，看成將xyxy目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與

13、要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 18 頁(yè)例例2 2.,)23,23(,333線通過(guò)原點(diǎn)線通過(guò)原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過(guò)求過(guò)的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過(guò)原點(diǎn)顯然通過(guò)原點(diǎn).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回

14、第 19 頁(yè)例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 20 頁(yè)反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo) 反函數(shù)的

15、導(dǎo)數(shù)，亦可以用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出。 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 21 頁(yè)yxxysinarcsin可得由dxdyycos1ycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例1 1解解求導(dǎo)，得兩邊同時(shí)對(duì)x)(arcsinx同理可得同理可得目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)求) 11(arcsinxxy上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 22 頁(yè)例例2 2.的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xay axylnlnadxdyyln1dxdyax )(aylnaaxln解解,兩邊取對(duì)數(shù)，得隱

16、函數(shù)特別地特別地.)(xxee目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)得求導(dǎo)兩邊同時(shí)對(duì),x上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 23 頁(yè)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回

17、第 24 頁(yè)例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 25 頁(yè)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosx

18、xxxyy )sinln(cossinxxxxxx 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 26 頁(yè)一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 27 頁(yè)四、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)

19、()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?t目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 28 頁(yè)),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函

20、數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 29 頁(yè),)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 30 頁(yè)例例6 6

21、解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 31 頁(yè).),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 32 頁(yè)五、高階導(dǎo)數(shù)的概念五、高階導(dǎo)數(shù)的概念問(wèn)題問(wèn)題: :變速直線

22、運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的變化率的變化率對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 33 頁(yè)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)

23、函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 34

24、頁(yè)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 35 頁(yè)例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()

25、1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 36 頁(yè)例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫(xiě)出寫(xiě)出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸

26、納法證明)目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 37 頁(yè)例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 38 頁(yè)2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()

27、()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 39 頁(yè)例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222

28、022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 40 頁(yè)3.3.間接法間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過(guò)四則通過(guò)四則1)(!)1()1( nnnxnx

29、運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 41 頁(yè)例例7 7.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 42 頁(yè)小結(jié)小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取

30、對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義的定義及物理意義目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 43 頁(yè)總結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題總結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1

31、)(logln)( xxeexx1)(ln)( 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 44 頁(yè)2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本

32、節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 45 頁(yè)3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決決.注意注意: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 46 頁(yè)例例1 1.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)

33、211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 47 頁(yè)例例2、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：21xy32)sin(xxyxy1arctanlnnxy)ln(arcsin解：解：222221)2(121)1 (121)1(xxxxxxxy目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 48 頁(yè)其余：其余：)2sin1 ()sin(322xxxyxxy1arctan)1 (12xxxnyn21

34、ln11)ln(arcsin目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 49 頁(yè)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 50 頁(yè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過(guò)程（注意函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,合理分解正確使用鏈合理分解

35、正確使用鏈導(dǎo)法）導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 51 頁(yè)一、思考題一、思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方程的切線方程.32xxy x目錄

36、目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 52 頁(yè)思考題解答思考題解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點(diǎn)為切點(diǎn)為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 53 頁(yè)一一、 填填空空題題： 1 1、 設(shè)設(shè)xxysin ，則則y = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 設(shè)設(shè)xeayxx23 ，則則dxdy= =_ _ _ _ _ _ _

37、 _ _ _ _. . 3 3、 設(shè)設(shè))13(2 xxeyx, ,則則0 xdxdy= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 設(shè)設(shè)1sectan2 xxy, ,則則y = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、 設(shè)設(shè)553)(2xxxfy , ,則則)0(f = =_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、 曲曲線線xysin2 在在0 x處處的的切切線線軸軸與與 x正正向向的的夾夾角角為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí) 題題目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)

38、下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 54 頁(yè)二、二、 計(jì)算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：計(jì)算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求拋物線求拋物線cbxaxy 2上具有水平切線的點(diǎn)上具有水平切線的點(diǎn). .四、四、 寫(xiě)出曲線寫(xiě)出曲線xxy1 與與x軸交點(diǎn)處的切線方程軸交點(diǎn)處的切線方程. .目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 55 頁(yè)一、一、1 1、)cos2sin(xx

39、xx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案目錄目錄后退后退主主頁(yè)頁(yè)退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第 56 頁(yè)一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè))arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設(shè)設(shè))(x