拓撲優(yōu)化算法及其實現(xiàn)111

1、拓撲優(yōu)化簡介拓撲優(yōu)化設計流程算例拓撲優(yōu)化：拓撲優(yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種。結(jié)構(gòu)優(yōu)化可分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化、形貌優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。尺寸優(yōu)化以參數(shù)為優(yōu)化對象，比如板厚、梁的截面寬、長和厚等；形狀優(yōu)化以結(jié)構(gòu)件外形或者孔洞形狀為優(yōu)化對象，比如凸臺過渡倒角的形狀等；形貌優(yōu)化是在已有薄板上尋找新的凸臺分布，提高局部剛度；拓撲優(yōu)化以材料分布為優(yōu)化對象，通過拓撲優(yōu)化，可以在均勻分布材料的設計空間中找到最佳的分布方案。拓撲優(yōu)化相對于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，具有更多的設計自由度，能夠獲得更大的設計空間，是結(jié)構(gòu)優(yōu)化最具發(fā)展前景的一個方面。 優(yōu)化設計過程：將區(qū)域離散成足夠多的子區(qū)域，對這些子區(qū)域進行結(jié)構(gòu)分析，再按某種優(yōu)化策略和

2、準則從這些子區(qū)域中刪除某些單元，用保留下來的單元描述結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲。變密度法Level Set法 (水平集法)ICM(獨立映射法)ESO(進化法) 拓撲優(yōu)化建模方法SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ）(固體各向同性懲罰函數(shù)法）RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ）（材料屬性的理性近似模型）OC法(優(yōu)化準則法)MMA法(移動漸進線法)SLP(序列線性規(guī)劃法）SQP(序列二次規(guī)劃法)優(yōu)化求解方法拓撲優(yōu)化簡介算例基于99行拓撲優(yōu)化程序代碼top(nelx,

3、nely,volfrac,penal,rmin)312SIMP法+OC法4節(jié)點矩形單元TeeeKB DB tdA e e1234目的：求整體位移矩陣B、D、t分別代表什么？eKK單元剛度矩陣整體剛度矩陣KUFUF和 為整體位移與載荷 e ee劃分網(wǎng)格數(shù)(nelx,nely)整體節(jié)點編排：縱向1nely+1nely+22(nely+1)12875643局部整體 e e(1)(2)(3)(4)KUF(有限元基本方程)U 各節(jié)點位移矩陣建立優(yōu)化模型(min&max)目標函數(shù)約束函數(shù)設計變量10minmin(). .( )01nTepTeoeeCU Fu k uKUFst VV( )()epx

4、設計變量e 本質(zhì)上，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是個（ 0,10,1）整數(shù)規(guī)劃問題，屬于組合優(yōu)化的范疇。 2 2n n次計算有限元分析才能求得全局最優(yōu)解，是個指數(shù)時間算法，非多項式時間算法，隨著單元數(shù)量n n的增加，計算量會激增，也即是困擾組合優(yōu) 化 領 域 的 N PN P 難 題 。10minmin(). .( )01nTepTeoeeCU Fu k uKUFst VV( )()epx設計變量e密度變量的引入： 在工程中，材料的剛度線性依賴材料的密度，即剛度大的材料，密度也大。比如，鋼的密度比鋁的密度大，因此鋼的剛度比鋁的剛度大。按照這個樸素的邏輯，就可用單元的密度來代替材料的有無，如下式 peeKKeK

5、 為懲罰的單元剛度矩陣；eK 為真實的單元剛度矩陣；0,1為每個單元的密度，是 到 之間的連續(xù)變量；01()p為總大于 的罰因子，一般取 ，大的罰因子可使密度快速的趨于 或者 。1Penalization301(0,1)整數(shù)規(guī)劃問題0,1區(qū)間內(nèi)的單元密度的連續(xù)變量優(yōu)化問題OC法優(yōu)化求解優(yōu)化求解變量約束優(yōu)化的變量約束優(yōu)化的KTKT條件：條件：定義在閉區(qū)間上的一元函數(shù)的優(yōu)化（僅有變量上下限約束）對應于目標函數(shù)的拉格朗日函數(shù)為：對應于目標函數(shù)的拉格朗日函數(shù)為：u優(yōu)化設計準則優(yōu)化設計準則優(yōu)化設計準則優(yōu)化設計準則 上式即為設計變量的迭代準則。由該式可以看出當柔度取得極值時,在整個設計區(qū)域內(nèi)單元的應變能密

6、度是恒定的常數(shù) 。由此建立更新設計變量迭代格式：minmin1minmax(,)max(,)max(,)min(1,)min(1,)min(1,)nnneeennnnneeeennneeemifBmBifmBmmifBm101(),pTneeeneepu k uBBvminmin1minmax(,)max(,)max(,)min(1,)min(1,)min(1,)nnneeennnnneeeennneeemifBmBifmBmmifBm1()nTepTeeeeCU Fu k uImagesc(-x)xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.

7、*sqrt(-dc./lmid)優(yōu)化結(jié)果：各單元密度組成的矩陣X目的：消除棋盤格效應及網(wǎng)格依賴性目的：消除棋盤格效應及網(wǎng)格依賴性方法：方法：1、高階單元法（計算量大） 2、周長約束法（周長約束的上限值需要依靠經(jīng)驗來確定，因為局部尺寸和周長邊界間沒有直接的關系。如果周長約束邊界定得太緊，則可能導致沒有計算結(jié)果，如果定的太松又達不到預期的效果。因此約束邊界很難確定，這種情況在三維問題下特別明顯） 3、局部梯度約束方法（局部斜率約束屬于局部約束，可防止局部細條的形成，從而降低結(jié)構(gòu)拓撲的幾何復雜性，但優(yōu)化結(jié)果難以滿足全局最佳，并且，這種方法在優(yōu)化問題中引入了2N(二維)或3N(三維)個額外約束，使計算

8、效率大大降低） 4、網(wǎng)格過濾法（網(wǎng)格過濾方法只需定義一個局部長度尺寸，相對、網(wǎng)格過濾法（網(wǎng)格過濾方法只需定義一個局部長度尺寸，相對較為容易，在約束尺度下的結(jié)構(gòu)變量都被過濾掉。網(wǎng)格過濾方法的優(yōu)點是較為容易，在約束尺度下的結(jié)構(gòu)變量都被過濾掉。網(wǎng)格過濾方法的優(yōu)點是不需要在優(yōu)化問題中加入額外約束，且容易實施。缺點是過濾方法為一種不需要在優(yōu)化問題中加入額外約束，且容易實施。缺點是過濾方法為一種基于啟發(fā)式求解規(guī)則的方法）基于啟發(fā)式求解規(guī)則的方法）網(wǎng)格過濾法原理：數(shù)字圖像處理中的降噪技術網(wǎng)格過濾法原理：數(shù)字圖像處理中的降噪技術 一張圖片被離散成有限個像素點，一個像素點代表一個灰度值（256個灰度水平）。假設

9、灰度值是連續(xù)變化的。 圖像處理的一個常見問題是噪音來自電氣傳感器噪聲,噪聲傳輸錯誤等。主要表現(xiàn)為離散孤立的像素變化,這些地方與其周圍通常出現(xiàn)顯著的不同。 解決方法：線性和非線性解決方法：線性和非線性 Pratt,(1991) 證明了非線性技術優(yōu)于線性技術。但是非線性技術不能應用于拓撲優(yōu)化，因為非線性方法常會造成拓撲優(yōu)化問題的不光滑。 線性技術又分為兩種：基于傅里葉變換對的方法（頻率）和基于卷積的方法。但是傅里葉變換法只能用于常規(guī)的矩形網(wǎng)格。 目前 SIMP 方法常用的過濾技術是Sigmund提出的過濾方案，用于修改目標函數(shù)的敏度信息：拓撲優(yōu)化簡介OC法拓撲優(yōu)化設計流程左邊界各節(jié)點受橫向約束右下角節(jié)點受縱向約束F(2,1) = -1;fixeddofs = union(1:2:2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1);top(60,20,0.5,3,3)6020在Matlab中