空間直線與直線的位置關(guān)系(教案)

1、課題： 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 桓臺(tái)一中數(shù)學(xué)組 尹朔教材版本： 新課標(biāo)：人教版A版?數(shù)學(xué)必修2?設(shè)計(jì)思想：空間中直線與直線的位置關(guān)系是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面的根本概念的根底上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。在立體幾何初步的內(nèi)容中，位置關(guān)系主要包括直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系。而空間中直線與直線的位置關(guān)系是以上各種位置關(guān)系中最重要、最根本的一種，是我們研究的重點(diǎn)。其中，等角定理解決了角在空間中的平移問題，在平移變換下角的大小不變，它是兩條異面直線所成角的依據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)研究二面角幾角有關(guān)內(nèi)容的理論依據(jù)，它提供了一個(gè)研究角之間關(guān)系的重要方法。教材在編寫時(shí)注意從平

2、面到空間的變化，通過(guò)觀察實(shí)物，直觀感知，抽象概括出定義及定理培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析問題的能力，通過(guò)聯(lián)系和比擬，理解定義、定理，以利于正確的進(jìn)行運(yùn)用。教材分析：直線與直線問題是高考考查的重點(diǎn)之一，求解的關(guān)鍵是根據(jù)線與面之間的互化關(guān)系，借助創(chuàng)設(shè)輔助線與面，找出符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言之間的關(guān)系把問題解決。通過(guò)對(duì)有關(guān)概念和定理的概括、證明和應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，提高學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力。教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能1.掌握異面直線的定義，會(huì)用異面直線的定義判斷兩直線的位置關(guān)系。2.會(huì)用平面襯托來(lái)畫異面直線。3.掌握并會(huì)應(yīng)用平行公理和等角定理。4.會(huì)用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線

3、所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡(jiǎn)單異面直線所成的角。2、過(guò)程與方法1自主合作探究、師生的共同討論與講授法相結(jié)合；2讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程不斷探究歸納整理所學(xué)知識(shí)。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(1).讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。(2).增強(qiáng)動(dòng)態(tài)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比照、分析的思維，通過(guò)平移轉(zhuǎn)化滲透數(shù)學(xué)中的化歸及辯證唯物主義思想。(3).通過(guò)探究增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)、動(dòng)腦意識(shí)和動(dòng)手能力。教學(xué)重點(diǎn)：異面直線的定義；異面直線所成的角的定義。教學(xué)難點(diǎn)：異面直線所成角的推證與求解。教具準(zhǔn)備:學(xué)生學(xué)案一份、多媒體、合作探究配套教學(xué)模型正方體教學(xué)模式問題自主、合作探究教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入1師：

4、平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有？生：相交直線、平行直線相交直線有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線無(wú)公共點(diǎn)2師：平面內(nèi)不平行的兩直線必相交，問：空間內(nèi)還成立否？通過(guò)實(shí)例展示。十字路口-立交橋立交橋中, 兩條路線AB, CD既不平行，又不相交非平面問題六角螺母 ABCD二、新課講解1.異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。練習(xí)：在教室里找出幾對(duì)異面直線的例子學(xué)生就教室中的燈管、黑板、墻棱、暖氣管、課桌等等找出許多異面直線2異面直線的畫法說(shuō)明: 畫異面直線時(shí) , 為了表達(dá)它們不共面的特點(diǎn)。常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托.合作探究：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？答：不一定：它們可能異面，可

5、能相交，也可能平行。 學(xué)生自告奮勇的在黑板上畫出上述三種情況，即穩(wěn)固異面直線的定義，又訓(xùn)練了異面直線的畫法3.空間兩直線的位置關(guān)系按平面根本性質(zhì)分 1同在一個(gè)平面內(nèi)：相交直線、平行直線2不同在任何一個(gè)平面內(nèi)：異面直線HCBEDGA按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分 1有一個(gè)公共點(diǎn): 相交直線2無(wú)公共點(diǎn)：平行直線、異面直線注1：兩直線異面的判別一 : 兩條直線 既不相交、又不平行.兩直線異面的判別二 : 兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).合作探究：如圖是一個(gè)正方體的展開圖,如果將它復(fù)原為正方體, 那么 AB , CD , EF , GH 這四條線段所在直線是異面直線的有 對(duì)?學(xué)生以小組為單位，對(duì)照課前準(zhǔn)備好的正方體模型

6、，進(jìn)行合作討論，找出異面直線。老師通過(guò)幾何畫板展示此圖復(fù)原的過(guò)程，與學(xué)生一起訂正他們的答案答:共有三對(duì)3.異面直線所成的角(1)復(fù)習(xí)回憶ABGFHEDC在平面內(nèi),兩條直線相交成四個(gè)角, 其中不大于90度的角稱為它們的夾角, 用以刻畫兩直線的錯(cuò)開程度, 如圖.O(2)問題提出在空間,如下圖, 正方體ABCDEFGH中, 異面直線AB與HF的錯(cuò)開程度可以怎樣來(lái)刻畫(3)問題猜測(cè)思想方法 : 平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考 : 這個(gè)角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎 ? 即O點(diǎn)位置不同時(shí), 這一角的大小 是否改變? 答 : 這個(gè)角的大小與O點(diǎn)的位置無(wú)關(guān). (4)理論支持：我們

7、知道,在同一平面內(nèi), 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察 : 將一張紙如圖進(jìn)行折疊 , 那么各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間有何關(guān)系？abced ab c d e 公理：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條直線的所有直線都互相平行：在平面內(nèi), 我們可以證明 “ 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？D1C1B1A1CABD觀察：如下圖,底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,321 =100o，1與2 , 1與3兩邊

8、分別對(duì)應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何? 1答:從圖中可看出, 2=1, 3+1=180定理等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)證: 這個(gè)角的大小與O點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).5解決問題異面直線所成角的定義: 如圖,兩條異面直線 a , b , 經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作 直線 aa , b b 那么把 a 與 b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).aOb異面直線所成的角的范圍( 0O , 90O 注2：如果兩條異面直線 a , b 所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直 , 記為a b注3：在求作異面直線所成的角時(shí),O點(diǎn)常選在其中的一條直線上(如線段的端點(diǎn),

9、線段的中點(diǎn)等)4例題選講GFHEBCDA1.下列圖長(zhǎng)方體中(1)說(shuō)出以下各對(duì)線段的位置關(guān)系?EC和BH是 相交 直線BD和FH是 平行 直線 BH和DC是 異面 直線 (2)與棱 A B 所在直線異面的棱共有 4 條?課后思考：長(zhǎng)方體的棱中共有多少對(duì)異面直線？ABGFHEDC例2如圖，正方體ABCD-EFGH中如圖，正方體ABCD-EFGH中O為側(cè)面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？解：(1)如圖：CGBF，EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又 D BEF中EBF =450 ，所以BE與CG所成的角為4502連接FH，HDEAFB HDFB 四

10、邊形HFBD為平行四邊形，HFBD，HFO或其補(bǔ)角為異面直線FO與BD所成的角。連接HA、AF，易得FH=HA=AF，AFH為等邊，又依題意知O為AH中點(diǎn), HFO=300 即FO與BD所成的夾角是300注4：求異面直線的步驟是:“一作(找)二證三求5課堂練習(xí)1.a，b，c是三條直線，且a/b，a與c的夾角為， 那么b與c夾角為 _ 答案：2判斷：兩條直線和第三條直線所成的角相等，那么這兩條直線互相平行.兩條直線和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行.兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.答案： × × 3. 如圖，空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是

11、邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明你的結(jié)論。用課件給出例2證明：連結(jié)BDE、H分別是AB、AD的中點(diǎn)EH是ABD的中位線EHBD，且EH=BD同理，F(xiàn)GBD，且FG=BDEHFG，且EH=FG四邊形EFGH是平行四邊形小組合作探究：在例2中，假設(shè)加上條件AC=BD，那么這 個(gè)四邊形是什么四邊形？菱形GFHEBCDA4如圖,長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中, AB =, AD =, AE = 2求BC 和EG 所成的角是多少度?求AE 和BG 所成的角是多少度?答案： 450 ； 600 6課堂小結(jié)異面直線的定義: 不同在 任何 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線?？臻g兩直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線異面直線的畫法：用平面來(lái)襯托異面直線所成的角：平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角公理平行公理：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)異面直線所成角的求法: 一作(找)二證三求7、課后作業(yè)：1必做：復(fù)查并修改?課前預(yù)習(xí)?，補(bǔ)充完善聽課案2分層達(dá)標(biāo)：雙基自診 ：穩(wěn)固提高思考：EABFDC“ 假設(shè)直線 a 與直線 b 異面，直線 b 與直線 c 異面。 那么a與c 也異面。這一命題對(duì)嗎？為什么？ ( 即:異面直線是否具有傳遞性答：不一定。注：異面直線不具有