振動力學第5章

1、1太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動1、桿的縱向振動、桿的縱向振動（1）均質(zhì)等直桿的縱向自由振動方程）均質(zhì)等直桿的縱向自由振動方程22222uuatx桿主振動的一般形式為：桿主振動的一般形式為： ,sinu x tUx bt相應于相應于 的剛體運動的剛體運動, u x tc atb02太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動簡單邊界條件簡單邊界條件(端點自由或固定端點自由或固定)(a) 兩端固定兩端固定(b) 一端固定一端自由一端固定一端自由(c) 兩端自由兩端自由 00 0UU l

2、00 0UUl 00 0UU l12,sincossin u x tBxBx btaa3太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(a) 兩端固定兩端固定210 sin0BBlasin0la頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率 1,2,ii ail主振型主振型 sin 1,2,iiiU xBxil 12sincosUxBxBxaa 00 0UU l（2）主振型或振型函數(shù)）主振型或振型函數(shù)U(x) 和和固有頻率固有頻率 4太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(b) 一端固定一端自由一端固定一端自

3、由210 co s0BBlaacos0la頻率方程頻率方程 12sincosU xBxBxaa 00 0UUl21 1,2,2iiail固有頻率固有頻率 21sin 1,2,2iiiU xBxil主振型主振型5太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(c) 兩端自由兩端自由120 sin0BBlaa 0,1,2,ii ail固有頻率固有頻率 cos 0,1,2,iiiU xBxil主振型主振型sin0laa頻率方程頻率方程 12sincosU xBxBxaa 00 0UUl6太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的

4、一維振動連續(xù)體的一維振動式式 a 即桿的即桿的主振型關于質(zhì)量的正交性主振型關于質(zhì)量的正交性.式式 b 和和 c 即即桿的主振型關于剛度的正交性桿的主振型關于剛度的正交性.0d0 (a)lijAU Uxij0d0 (b)lijEAU Uxij0d0 (c)ljiUEAUxij200ddllijjijEAU UxAU Ux 由由得得200 dd lljiiijUEAUxAU Ux 由得7太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動當當 i = j 時時Mi、Ki第第 i 階主質(zhì)量、主剛度階主質(zhì)量、主剛度主質(zhì)量歸一化主質(zhì)量歸一化此時的主振型稱為正則振型

5、此時的主振型稱為正則振型20dliiAUxM200 ddlliiiiEAUxUEAUxK 2iiiKM20d 1 1,2,liiAUxMi8太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動（3）端點帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿）端點帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿桿端帶有彈簧桿端帶有彈簧邊界條件邊界條件0lxk桿端帶有集中質(zhì)量桿端帶有集中質(zhì)量 200 UEAU lMU l0lxm邊界條件邊界條件 00 UEAUlkUl 9太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動2、梁的橫向振動梁的橫向振動（1）梁橫向自由振動方程）

6、梁橫向自由振動方程2222220yyEJAxxt設梁的主振動為設梁的主振動為 ,siny x tY x bt 1234cossinshY xCxCxC ch xCx10太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動簡單邊界條件簡單邊界條件(1) 固定端固定端(2) 簡支端簡支端(3) 自由端自由端 0 0 0Y xYxxl 或 0 0 0Y xEJYxxl 或 0 0 0EJYxEJYxxl或11太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動 確定兩端簡支等截面梁的固有頻率和主振型。確定兩端簡支等截面梁

7、的固有頻率和主振型。解：解： 00 00YY 0 0Y lYl邊界條件邊界條件 1234cossincoshsinh Y xCxCxCxCx將將代入代入上上式式,得得yxl（2）固有頻率和主振型）固有頻率和主振型12太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動固有頻率固有頻率2224 1,2,iiEJaiiAl主振型主振型 =sinsin 1,2,iiiiiYxCxCxil1313242400sinsinh0sinsinh0CCCCClClClCl1340sin0 1,2,iCCCliil頻率方程頻率方程13太原科技大學應用科學學院太原科技大學應

8、用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動求圖示梁的固有頻率和求圖示梁的固有頻率和 主振型。主振型。 00 00 ( )YYa 0 0 ( )YlYlby 1234cossincoshs inhY xCx Cx Cx Cx將將代入代入(a)式，得式，得解：解： 邊界條件邊界條件xlO14太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動12sinsinhcoscosh0ll Cll Ccoscosh sinsinh0sinsinh coscoshllllllllcoscosh1ll 12341.876 4.696 7.855 10.996l

9、lll12coscoshsinsinh0ll Cll C132400CCCC3142CCCC 1234cossincoshsinh Y xCxCxCxCx將將代入代入(b)式，得式，得15太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動在求出在求出i和和Yi(x)后后0,siniiiyx tYxbt143.515E JA l12coscoshsinsinh sinsinhcoscoshiiiiiiiiiillllCrCllll 令令 coscoshsinsinh 1,2iiiiiiiYxCllrlli13 3,42iilii時，224 1, 2iii

10、EJaliAl16太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動上兩式即梁的主振型關于剛度的正交性上兩式即梁的主振型關于剛度的正交性0 d0 lijEJY Yxij0 d0 ljiYEJYxij0d0 ljiAY Y xij上式上式即梁的主振型關于質(zhì)量的正交性即梁的主振型關于質(zhì)量的正交性17太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動（3）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形和軸向力對固有頻率的影響）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形和軸向力對固有頻率的影響（a）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對固有頻率的影響）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對固有頻率的影響簡

11、支梁的固有頻率簡支梁的固有頻率22021(1)2iiJEl Ak G式中式中 為不計為不計剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量時剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量時簡支梁的固簡支梁的固有頻率有頻率20()iEJlA424442224()0yyEJyIyEJAIxtk Gxtk Gt第三、四項表達了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的單獨影響第三、四項表達了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的單獨影響,第五項表第五項表示剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的共同影響。示剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的共同影響。18太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動 剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量使系統(tǒng)的有效質(zhì)量提高、有效剛度降剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量使系統(tǒng)的有效質(zhì)量

12、提高、有效剛度降低，從而引起固有頻率降低。低，從而引起固有頻率降低。只考慮只考慮轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的影響時，的影響時，220212iiIlA只考慮剪切變形的影響時，只考慮剪切變形的影響時，220212iiEJl k GA2(1), ,EIJGkk因因 當梁為矩形截面時當梁為矩形截面時( k=0.833 ),取取=0.333.2EJEGk IGk剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動慣量的影響的剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動慣量的影響的3.2倍。倍。19太原科技大學應用科學學院太原科技大學應用科學學院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(4)軸向力對梁振動的影響軸向力對梁振動的影響22222222()0yyyEJFAxxxt2222()1 1,2,3,i