第17講周期信號(hào)的傅里葉變換

1、第17講周期信號(hào)的傅里葉變換第3章 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析本章介紹系統(tǒng)的頻域分析方法。首先給出系統(tǒng)頻率特性的概念和物理意義，從系統(tǒng)頻率特性對(duì)輸入信號(hào)頻譜為達(dá)到特定功能而進(jìn)行調(diào)整的角度，討論輸出信號(hào)的頻譜，進(jìn)而求系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)的響應(yīng)。通過(guò)學(xué)習(xí)采樣定理，進(jìn)一步理解時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本章還結(jié)合系統(tǒng)頻域分析方法，介紹一些工程應(yīng)用中非常重要的概念，例如，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)、理想低通濾波器、信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)等等。本章主要內(nèi)容n3.1 周期信號(hào)的分解與合成n3.2 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)n3.3 非周期信號(hào)的頻譜n3.4 傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（1）n3.5 傅氏變換的性質(zhì)與應(yīng)用（2）本章主要內(nèi)容n3.6 周期信

2、號(hào)的頻譜n3.7 系統(tǒng)的頻域分析n3.8 無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想低通濾波器n3.9 取樣定理及其應(yīng)用n3.10 頻域分析用于通信系統(tǒng)第第 17 講講周期信號(hào)的的頻譜周期信號(hào)的的頻譜周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換的目的將周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)得到周期信號(hào)的離散頻譜，令周期信號(hào)的周期趨近無(wú)窮大引出非周期信號(hào)，從而由傅里葉級(jí)數(shù)在周期趨于無(wú)窮大的極限導(dǎo)出傅里葉變換，由周期信號(hào)的離散譜過(guò)渡到連續(xù)譜，引出頻譜密度函數(shù)的概念。盡管周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件，但引入沖激函數(shù)后，可以對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，從頻譜密度的角度觀察周期信號(hào)的離散頻譜。同時(shí)將周期信號(hào)和非周期信號(hào)的分析方法用傅里葉變換工具統(tǒng)一起來(lái)。周期信號(hào)

3、的傅立葉變換復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換正余弦信號(hào)的傅立葉變換正余弦信號(hào)的傅立葉變換一般周期信號(hào)的傅立葉變換一般周期信號(hào)的傅立葉變換周期單位沖激序列的周期單位沖激序列的FSFS和和FTFT周期信號(hào)的周期信號(hào)的FSFS與其單周期信號(hào)的與其單周期信號(hào)的FTFT的關(guān)系的關(guān)系周期矩形脈沖的周期矩形脈沖的FSFS和單脈沖信號(hào)和單脈沖信號(hào)FTFT單脈沖和周期信號(hào)的傅立葉變換的比較單脈沖和周期信號(hào)的傅立葉變換的比較周期信號(hào)的傅立葉變換存在條件周期信號(hào)的傅立葉變換存在條件 周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件。 引入沖激信號(hào)后，沖激的積分是有意義的 在以上意義下，周期信號(hào)的傅立葉變換是存在的。 周期信號(hào)

4、的頻譜是離散的頻譜密度， 即傅立葉變換是一系列沖激。1.復(fù)指數(shù)、余弦和正弦信號(hào)信號(hào)的傅里葉變換復(fù)指數(shù)、余弦和正弦信號(hào)信號(hào)的傅里葉變換 0( )jtf te)(210012()jte 00( )sin,( )cosf tt f tt000cos ()()t 000sin ()()tj 因?yàn)?由頻移特性，可知 而對(duì)于正弦和余弦信號(hào) 根據(jù)線性性質(zhì)并利用復(fù)指數(shù)信號(hào)頻譜，得到其頻譜函數(shù)分別為 對(duì)于復(fù)指數(shù) 余弦信號(hào)和正弦信號(hào)的波形及其頻譜 正余弦信號(hào)的傅立葉變換正余弦信號(hào)的傅立葉變換:利用頻移特性利用頻移特性)().(1001 FetfFTtj)(21)(0 FTF)()()(cos1121111tjtj

5、eeFTtFT)()()(sin1121111jeeFTtFTtjtjj正余弦信號(hào)的傅立葉變換:用極限方法 有限長(zhǎng)余弦 看成矩形 乘 對(duì)有限長(zhǎng)余弦的頻譜求極限，得到無(wú)限長(zhǎng)余弦頻譜1101( )( )cos( )() / 2jtjtftg ttg teet1cos( )g t)(0tf)(2)(2)()(21)(2121110SaSaGGF2.一般的周期信號(hào)的傅立葉變換ntjnneFtf1.)()(2)(1nFtfFTnn( )f t的指數(shù)形式的傅里級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 周期信號(hào)111/2/211( )TjntnTFf t edtT系數(shù)：根據(jù)傅里葉變換的線性和頻移特性 周期信號(hào)的頻譜是離散的，而傅里葉變

6、換反映的是頻譜密度的概念，因此周期信號(hào)的傅里葉變換不同于其傅里葉系數(shù)，它不是有限值，而是沖激函數(shù)，這表明在無(wú)窮小的頻帶范圍(即諧波頻率點(diǎn))取得了無(wú)窮大的頻譜值。2.一般的周期信號(hào)的傅立葉變換一般的周期信號(hào)的傅立葉變換11()2()2()nnnnF jFnFn 1nnF2周期信號(hào)的傅里葉變換是由無(wú)窮多個(gè)頻域上的沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率 處，其強(qiáng)度為相應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的 倍。3、周期單位沖激序列的傅里葉變換ntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11nTtfFTn)()()(11nTntFTF)(t0t)(0F1)1(0)(tT1TtnF00)(

7、F1112121112111TFSFT3.周期沖激序列的波形、傅里葉系數(shù)、頻譜函數(shù) 由FS 取f(t)的一個(gè)周期 ，其FT為 所以221111).(1TTtjnndtetfTF2121).()(00TTdtetfFtj1)(101nnFTF)(0tf)(0F4.周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)與其單周期信號(hào)的傅立葉變換的關(guān)系4.周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)與其單周期信號(hào)的傅立葉變換的關(guān)系1)(101nnFTF)(0F)0(101FTnF)(tf)(0tf單脈沖和周期信號(hào)的傅立葉變換的比較單脈沖和周期信號(hào)的傅立葉變換的比較 單脈沖的頻譜 是連續(xù)譜，它的大小是有限值； 周期信號(hào)的頻譜 是離散譜，是頻譜密度的概念，它的

8、大小用沖激表示； 是 的包絡(luò)的 。)(0F)(F)(F)(0F115 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關(guān)系的關(guān)系1T112T例1：已知周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的幅度為A，脈寬為，周期為。求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換。角頻率解：周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)是1( )jntnnf tF e其傅里葉系數(shù)為 111/2/211( )TjntnTFf t edtT（1）（2）5 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關(guān)系的關(guān)系解：?jiǎn)蝹€(gè)矩形脈沖的傅里葉變換為11202()( )Sa()2Tj tTFjf t edtA110111()Sa()2nnnAFFjTT比較（2）和（3），可得（3）（4）111/2/211( )TjntnTFf t edtT（2）5 5、周期矩形脈沖的、周期矩形脈沖的FSFS和和FTFT的關(guān)系的關(guān)系解：將（4）帶回（1）式，得到111( )Sa()2jntnnAf teT所以，周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換為1111()2()Sa() ()2nnnnF jFnAn 周期信號(hào)時(shí)域表示周期信號(hào)雙邊頻譜周期信號(hào)頻譜密度5、周期矩形脈沖的FS和FT的關(guān)系A(chǔ))(0tf022tA)(0F2201T1TA)(tf1AT1A)(FnFtFTFSFT周期重復(fù)5.周期矩形脈沖與單矩形脈沖的關(guān)系周期矩形脈沖與單矩形脈沖的