最全的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

1、J與質(zhì)量大小、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)與質(zhì)量大小、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)演示程序：演示程序： 影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素2iirmJmrJd2 質(zhì)量離散分布的剛體質(zhì)量離散分布的剛體 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 dm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：lmdd質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布smdd質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布Vmdd質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布5.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題例題1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；轉(zhuǎn)軸通

2、過棒的中心并和棒垂直；(2) 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。OAdxxlmrJd212dd322220lxxmrJll有有ml 將將代入上式，得：代入上式，得：20121mlJ 解：解：(1) 在棒上離軸在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元處，取一長(zhǎng)度元dx（如圖所（如圖所示），如果棒的質(zhì)量線密度為示），如果棒的質(zhì)量線密度為 ，則長(zhǎng)度元的質(zhì)，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為量為dm= dx，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時(shí)并與棒垂直時(shí)OAldxx222001dd3lJrmxxml例題例題2）半徑為）半徑為R的質(zhì)量均勻分布的

3、細(xì)圓環(huán)，質(zhì)的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量均為量均為m，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面垂，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Rdl例題例題3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為h的均質(zhì)圓盤的均質(zhì)圓盤對(duì)通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。mrJdd2dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以 表示圓盤的質(zhì)量體密度表示圓盤的質(zhì)量體密度rrhVmd2dd解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為任一半徑為r，寬度為，寬度為dr的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)

4、動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為hRrhrJJR40321d2dhRm2代入得代入得221mRJ J與與h無關(guān)無關(guān)rhrJd2d3一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的實(shí)心圓柱體對(duì)其中的實(shí)心圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。例例4）求一質(zhì)量為）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其體積：其體積：其

5、質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRR 334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21（2 2）薄板的正交軸定理）薄板的正交軸定理 yxzJJJyxzo（1 1）平行軸定理）平行軸定理2mdJJCDdJCJDC常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2mrJ 2/2mrJ 2/ )(2221rrmJ2/2mrJ 2/2mrJ 12/2mlJ 5/22mrJ 3/22mrJ 取任一狀態(tài)取任一狀態(tài), ,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律JmglMsin21外231mlJ sin23lg例題例題1 1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)

6、桿豎直放置的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置, ,其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈o o相連相連, ,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng). .當(dāng)其當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)受到微小擾動(dòng)時(shí), ,細(xì)桿將在重力的作用下由靜止細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈開始繞鉸鏈o o轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng). .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時(shí)的角加速度和角速度角時(shí)的角加速度和角速度. . Po)cos1 (23lg00dsin23dlgsin23 dddd ddlgttdsin23dlg初始條件為：初始條件為： =0， =0 例題例題2 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。

7、繩的一端固定在滑輪邊勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度?；喌慕撬俣?。 MmgahROT2T1221MRJRT對(duì)物體對(duì)物體m，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律，maTmg滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為Ra 解：對(duì)定滑輪解：對(duì)定滑輪M，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)于軸對(duì)于軸O，有，有物體下落高度物體下落高度h時(shí)的速度時(shí)的速度Mmmghahv242這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度RMmmg

8、hRv24gMmma2以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為CmafF圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：CJRflF純滾動(dòng)條件為：純滾動(dòng)條件為：RaC圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：221mRJC例題例題3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均質(zhì)圓柱，在水的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFac f解

9、：設(shè)靜摩擦力解：設(shè)靜摩擦力f的方向如的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立以上四式，解得：聯(lián)立以上四式，解得：mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可見由此可見，靜摩擦力向前。，靜摩擦力向前。時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)02 fRl，靜摩擦力向后；，靜摩擦力向后；時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)02 fRl例一靜止剛體受到一等于例一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不變力矩的的不變力矩的作用作用, ,同時(shí)又引起一阻力矩同時(shí)又引起一阻力矩M M1 1， M1M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數(shù)

10、為常數(shù)) )。又。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,J,試求剛體角速度試求剛體角速度變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a J |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以剛體為研究對(duì)象；）以剛體為研究對(duì)象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4）列方程：）列方程：JMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00分離變量：分離變量：例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為

11、L，一端支以，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：求：1 1 ）當(dāng)桿與鉛直方向成）當(dāng)桿與鉛直方向成 角時(shí)的角加速度：角時(shí)的角加速度：2 2 ）當(dāng)桿過鉛直位置）當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度：時(shí)的角速度： 3 ) 3 ) 當(dāng)桿過鉛直位置當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)，軸作用于桿上的力。時(shí)，軸作用于桿上的力。已知已知：m，L求求： ， ，N解解：1） 以桿為研究對(duì)以桿為研究對(duì)象象 受力：受力： mg，N（不產(chǎn)生（不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩）對(duì)軸的力矩）建立建立OXYZ坐標(biāo)系坐標(biāo)系 ZNmgYX OLM建立建立OXYZOXYZ坐標(biāo)系（并以坐標(biāo)系（并以Z Z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向

12、）軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (故取正值。故取正值。Fr沿沿Z軸正向，軸正向，rLg 2/32/00則則 L2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23兩邊積分：兩邊積分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？3）求）求N=？軸對(duì)桿的力，不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，但影響質(zhì)軸對(duì)桿的力，不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，但影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來解。心的運(yùn)動(dòng)，故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來解。ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg

13、3ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求）求N=？CamgmNCXXmaNCYYmamgN寫成分量式：寫成分量式：CYXONCYaCCa求求N，就得求，就得求，即，即C點(diǎn)的點(diǎn)的加速度，現(xiàn)在加速度，現(xiàn)在C點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，可分為切向加速度和法向加速可分為切向加速度和法向加速度但對(duì)一點(diǎn)來說，只有一個(gè)加度但對(duì)一點(diǎn)來說，只有一個(gè)加速度。故這時(shí)：速度。故這時(shí)：CXaCYa. .實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度. .實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的法向加速度實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的法向加速度RaCX2RaCYLg300sin232LgL232LgL23gZNmgCXaYXONCYaC由角量和線量的關(guān)系由角量和線量的關(guān)系:CXXmaNCYYmamgNsin23Lg)1(CXXmaN)2(CYYmamgN0CXa23gaCY代入代入(1)(1)、（、（2 2）式中：）式中：0C