插值與數(shù)值積分與matlab

1、實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法插值問題插值問題 已知已知n+1個節(jié)點個節(jié)點(xj,yj) (j=0,1,n), 其中其中xj互不相同互不相同, 不妨設(shè)不妨設(shè) a=x0 x1=x0(j-1)&(z=x0(j)&(z=x0(j+1), p=(z-x0(j+1)/(x0(j)-x0(j+1); else p=0; end end s=p*y0(j)+s; end y(i)=s;end實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法 分段線性插值分段線性插值 Runge的例子用分段線性插值的例子用分段線性插值m=4:2:14; %應(yīng)用程序應(yīng)用程序for k=1:6 n=m(k

2、);x0=linspace(-5,5,n); %產(chǎn)生節(jié)點產(chǎn)生節(jié)點x坐標(biāo)坐標(biāo) y0=1./(1+x0.2); %產(chǎn)生對應(yīng)節(jié)點產(chǎn)生對應(yīng)節(jié)點y坐標(biāo)坐標(biāo) x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2); %計算比照函數(shù)計算比照函數(shù) y1=lagr1(x0,y0,x); %調(diào)用函數(shù)計算插值調(diào)用函數(shù)計算插值 subplot(2,3,k),plot(x,y,x,y1,r-), hold onendgtext(L_4(x), gtext(L_6(x), gtext(L_8(x),gtext(L_1_0(x),gtext(L_1_2(x),gtext(L_1_4(x)實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法

3、 三次樣條插值三次樣條插值 u分段線性插值雖簡單分段線性插值雖簡單, n足夠大時精度也相當(dāng)高足夠大時精度也相當(dāng)高, 但但折線在節(jié)點處不光滑折線在節(jié)點處不光滑.u普遍使用的樣條函數(shù)是分段三次多項式普遍使用的樣條函數(shù)是分段三次多項式.u三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù)s(x)滿足：滿足：(i) 在在xi-1,xi (i=1,n)是三次多項式是三次多項式;(ii) 在在a,b上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù);(iii) s(xi)=yi (i=0,1,n).us(x)也有良好的收斂性也有良好的收斂性, .實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法 三次樣條插值三次樣條插值 .調(diào)用格式：調(diào)用格式： zi=spl

4、ine(x,y,xi)相當(dāng)于相當(dāng)于zi=interp1(x,y,xi,spline) pp=spline(x,y) 返回樣條插值的分段多項式返回樣條插值的分段多項式形式形式 實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法 三次樣條插值三次樣條插值 一般是這樣的形式：一般是這樣的形式： form: pp breaks: 1x19 double coefs: 18x4 double pieces: 18 order: 4 dim: 1 breaks,coefs= unmkpp(pp) 將將pp形式展開，其形式展開，其中中breaks為結(jié)點，為結(jié)點，coefs為各段多項式系數(shù)為各段多項式系數(shù) yi=p

5、pval(pp,xi) pp形式在形式在xi的函數(shù)值的函數(shù)值 實驗3-插值與數(shù)值積分1. 插值方法插值方法 三次樣條插值三次樣條插值 close;clear;x=0:0.1:1; y=0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2; pp=spline(x,y); b,c=unmkpp(pp) fnplt(pp); hold on;plot(x,y,o) 實驗3-插值與數(shù)值積分2. 插值方法比較插值方法比較例例: 對出現(xiàn)對出現(xiàn)Runge現(xiàn)象的函數(shù)現(xiàn)象的函數(shù)g(x)=1/(1+x2),用以上三種方法做插值計算用以上三種方法做插值計算, 進(jìn)行比較進(jìn)行比較.x0= -

6、5:5; y0=1./(1+x0.2); %產(chǎn)生對應(yīng)節(jié)點產(chǎn)生對應(yīng)節(jié)點x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2); z=0*x; %計算比照函數(shù)計算比照函數(shù)y1=lagr(x0,y0,x); %Lagrange插值插值y2=interp1(x0,y0,x); %分段線性插值分段線性插值y3=spline(x0,y0,x); %三次樣條插值三次樣條插值subplot(221), plot(x,z,x,y,k-,x,y1, r), title( Lagrange插值插值) gtext(g(x), gtext(L(x), subplot(222), plot(x,z,x,y,k-,x,y2, r)

7、, title(線性插值線性插值) gtext(g(x), gtext(I(x),subplot(223), plot(x,z,x,y,k-,x,y3, r), title(樣條插值樣條插值) gtext(g(x), gtext(S(x),實驗3-插值與數(shù)值積分 3.多項式插值與擬合 4.擬合函數(shù)的計算實驗3-插值與數(shù)值積分3. 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法用數(shù)值方法近似地求定積分用數(shù)值方法近似地求定積分 的基本思路：的基本思路： N充分大時充分大時In就是就是I的數(shù)值積分的數(shù)值積分.其中其中 是是x在地在地k個小個小區(qū)間的取值區(qū)間的取值, 相當(dāng)于用相對簡單的階梯函數(shù)相當(dāng)于用相對簡單的階梯函數(shù)f(

8、 )代代替替f(x)做積分做積分.實際上各種不同的數(shù)值積分方法就在實際上各種不同的數(shù)值積分方法就在于于, 研究用什么樣的簡單函數(shù)代替研究用什么樣的簡單函數(shù)代替f(x), 使得既能保使得既能保持一定精度，計算量又小持一定精度，計算量又小. 實驗3-插值與數(shù)值積分3. 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法(P-59)(1)矩形公式求積矩形公式求積cumsum在小區(qū)間上用矩形面積近似下面曲邊梯形的面積在小區(qū)間上用矩形面積近似下面曲邊梯形的面積(2)梯形公式梯形公式trapz在小區(qū)間上用梯形面積近似下面曲邊梯形的面積在小區(qū)間上用梯形面積近似下面曲邊梯形的面積,將將xk看作節(jié)看作節(jié)點點, 相當(dāng)于用分段線性插值函數(shù)作

9、相當(dāng)于用分段線性插值函數(shù)作f(x)的近似的近似 (3)辛普森公式辛普森公式quad為提高精度用分段二次插值函數(shù)代替為提高精度用分段二次插值函數(shù)代替f(x).(4)高斯公式高斯公式quadl在積分區(qū)間上適當(dāng)選擇節(jié)點在積分區(qū)間上適當(dāng)選擇節(jié)點, 可提高精度可提高精度.實驗3-插值與數(shù)值積分3. 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法(5)自適應(yīng)求積方法自適應(yīng)求積方法quad/ quadl 前面各種數(shù)值積分方法都是將積分區(qū)間等前面各種數(shù)值積分方法都是將積分區(qū)間等分分, 這樣做對積分區(qū)間上變化基本一致的函數(shù)這樣做對積分區(qū)間上變化基本一致的函數(shù)是合適的是合適的, 但若被積函數(shù)變化快慢相差較大時但若被積函數(shù)變化快慢相差較

10、大時,計算效率就很低計算效率就很低.改進(jìn)辦法改進(jìn)辦法: 將函數(shù)變化較快的區(qū)間分得細(xì)一將函數(shù)變化較快的區(qū)間分得細(xì)一些些, 函數(shù)變化較慢的區(qū)間分的粗一些函數(shù)變化較慢的區(qū)間分的粗一些.實驗3-插值與數(shù)值積分4.4.數(shù)值積分方法比較數(shù)值積分方法比較例例:用幾種方法計算用幾種方法計算 , 精確值為精確值為 =.x=linspace(0,pi/4,50);y=1./(1-sin(x);z1=cumsum(y)*pi/4/(50-1); %矩形公式矩形公式digits(15),z1= vpa(z1(50) %z1=1.44974529533453z2=vpa(trapz(x,y)%梯形公式梯形公式z3=vp

11、a(quad(1./(1-sin(x),0,pi/4) %自適應(yīng)辛普森公式自適應(yīng)辛普森公式z4=quadl(1./(1-sin(x),0,pi/4)%自適應(yīng)高斯自適應(yīng)高斯公式公式實驗3-插值與數(shù)值積分5.5.廣義積分的數(shù)值計算廣義積分的數(shù)值計算(1)(1)無窮區(qū)間的積分無窮區(qū)間的積分將將f(x)的的”尾巴尾巴”截去截去,化為有限區(qū)間的積分化為有限區(qū)間的積分,關(guān)關(guān)鍵是要事先估計截斷部分的數(shù)值鍵是要事先估計截斷部分的數(shù)值,使之滿足精使之滿足精度要求度要求.例例 計算計算 , ,使誤差在使誤差在 以內(nèi)以內(nèi). .精確值為精確值為 =0.886226925452758. N=4N=4z=vpa(quad(exp(-x.2),0,4,1e-7) %自適應(yīng)辛普森公式自適應(yīng)辛普森公式 %z=0.886226918897777實驗3-插值與數(shù)值積分5.5.廣義積分的數(shù)值計算廣義積分的數(shù)值計算(2)(2)無界函數(shù)的積分無界函數(shù)的積分 f在在c(acb)無界無界. .要要”挖挖”去去c附近一鄰域內(nèi)的積分附近一鄰域內(nèi)的積分,