冪法-反冪法求解矩陣最大最小特征值和對應的特征向量VIP

1、冪法-反冪法求解矩陣最大最小特征值和對應的特征向量數值計算解矩陣的按模最大最小特征值及對應的特征向量一.冪法1. 冪法簡介：當矩陣A滿足一定條件時，在工程中可用冪法計算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩陣A需要滿足的條件為：(1) (2) 存在n個線性無關的特征向量，設為計算過程：不全為0，則有可見，當越小時，收斂越快；且當k充分大時，有，對應的特征向量即是。2 算法實現3 matlab程序代碼 function t,y=lpowerA,x0,eps,N) % t 為所求特征值，y是對應特征向量 k=1; z=0; % z 相當于 y=x0./max(abs(x0); % 規(guī)范化初始向量

2、x=A*y; % 迭代格式 b=max(x); % b 相當于 if abs(z-b)<eps % 判斷第一次迭代后是否滿足要求 t=max(x); return; end while abs(z-b)>eps && k<N k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x); x=A*y; b=max(x); end m,index=max(abs(x); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值 t=x(index); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗證 選取一個矩陣A，代入程序，得到結果，并與eig(A)的得到結果比較，再計算 A*y-t*y，

3、驗證y是否是對應的特征向量。結果如下：結果正確，表明算法和代碼正確，然后利用此程序計算15階Hilb矩陣，與eig(A)的得到結果比較，再計算 A*y-t*y，驗證y是否是對應的特征向量。設置初始向量為x0=ones(15,1)，結果顯示如下可見，結果正確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應的特征向量。二.反冪法1.反冪法簡介及其理論在工程計算中，可以利用反冪法計算矩陣按模最小特征值及其對應特征向量。其基本理論如下，與冪法基本相同： ，可知，A和A-1的特征值互為倒數，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒數即為A的按模最小特征值所以算法基本相同，區(qū)別就是在計算2. 算

4、法實現3 matlab程序代碼function s,y=invpower(A,x0,eps,n) % s 為按模最小特征值，y是對應特征向量 k=1; r=0; % r相當于 y=x0./max(abs(x0); % 規(guī)范化初始向量 L,U=lu(A); z=Ly; x=Uz; u=max(x); s=1/u; % 按模最小為A-1按模最大的倒數. if abs(u-r)<eps % 判斷第一次迭代后是否滿足終止條件 return end while abs(u-r)>eps && k<n % 終止條件. k=k+1; r=u; y=x./max(abs(x)

5、; z=Ly; x=Uz; u=max(x); end m,index=max(abs(x); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值s=1/x(index); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗證同冪法一樣，選取一個矩陣A，代入程序，得到結果，并與eig(A)的得到結果比較，再計算 A*y-t*y，驗證y是否是對應的特征向量?？梢娊Y果正確，然后利用此程序計算15階Hilb矩陣，eig(A)的得到結果比較，再計算 A*y-s*y，驗證y是否是對應的特征向量。設置初始向量為x0=ones(15,1)，結果顯示如下可見，結果真確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應的特征向量。3.

6、 計算條件數矩陣A的條件數等于A的范數與A的逆的范數的乘積，即cond(A)=A·A(-1)，對應矩陣的3種范數，可以定義3種條件數。 函數 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數越大表明矩陣的病態(tài)程度越大.,而如果A為對稱矩陣，如Hilb矩陣，的最大最小特征值，分別為A的最大最小特征值的平方。所以cond(A) 為A的最大最小特征值得比值。對于本例中的15階Hilb矩陣來說，利用上面計算結果得其條件數(選擇第二種條件數）為：+017；這與直接利用cond(A)得到的結果：+017 在同一數量級，再次表明了上述算得得最大最小特征

7、值的正確性，同時又表明Hilb矩陣是病態(tài)矩陣。4. Aitken商加速法1. 簡介與原理同冪法和反冪法計算最大和最小特征值類似，如果計算最大特征值，則迭代格式為；計算最小特征值時，迭代格式為。2. 算法實現計算按模最大特征值算法如下：類似冪法和反冪法可以寫出按模最小特征值算法，此處不再贅述。3. matlab 程序代碼function r,y=aitken(A,x0,eps,n) % r按模最大特征值,y為對應特征向量 k=1; a0=0; % a 相當于 a1=1; % a1 相當于 r0=1; % 相當于2中的 y=x0./max(abs(x0); % 規(guī)范化初始向量 x=A*y; a2=

8、max(abs(x); % a2相當于 r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); % 相當于 if (a2-2*a1+a0)=0 % 若上式中分母為0，則迭代失敗，返回 disp "初始向量迭代失敗" return; end if abs(r-r0)<eps % 判斷第一次迭代后是否滿足要求，如滿足，則返回結果 return end while abs(r-r0)>eps && k<n % 終止條件 k=k+1; a0=a1; a1=a2; r0=r; y=x./max(abs(x); x=A*y; % 迭代格式 a2=max

9、(abs(x); if (a2-2*a1+a0)=0 % 若分母為0，則迭代失敗，返回 return; end r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); m,index=max(abs(eig(A); % 以下代碼保證取出來的按模最大特征值 aa=eig(A); % 是原值，而非其絕對值。 if aa(index)>0 |aa(index)=0 r=r; else r=-r; end end end類似可得按模最小特征值和特征向量的代碼如下：與上面類似，所不同的只是迭代格式不同.function r,y=invaitken(A,x0,eps,n) k=1; a0=0; a1

10、=1; r0=1; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式的不同 z=Ly; x=Uz; a2=max(abs(x); r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); if (a2-2*a1+a0)=0 disp "初始向量迭代失敗" return; end if abs(r-r0)<eps % 判斷第一次迭代后是否滿足要求，如滿足，則返回結果 return end while abs(r-r0)>eps && k<n k=k+1; a=b; b=c; r0=r; y=x./max(abs(x);

11、z=Ly; x=Uz; a2=max(abs(x); if (a2-2*a1+a0)=0 return; end r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); endm,index=min(abs(eig(A); % 以下代碼保證取出來的按模最大特征值 aa=eig(A); % 是原值，而非其絕對值。 if aa(index)>0 |aa(index)=0 r=1/r; else r=-1/r; endend4. 計算Hilb矩陣特征值此處不再舉例，而是直接應用于15階Hilb矩陣，初始向量選為ones(15,1)，結果如下，并將結果與冪法和反冪法得到結果比較 這與冪法得到的特

12、征值和特征向量一致，表明算法和代碼正確；同理，最小特征值結果如下： 這與反冪法得到的結果一致，表明結果正確。 五，對稱矩陣的Rayleigh商加速法1. 簡介與原理原理如下：2. 算法實現3. Matlab程序代碼function r,y=rayleigh(A,x0,eps,n) % r 是特征值，y是特征向量 k=1; r0=0; y=x0./max(abs(x0); x=A*y; % 迭代格式計算新的x r=dot(y,x)/dot(y,y); % Reyleigh商 if abs(r-r0)<eps return end while abs(r-r0)>eps &&a

13、mp; k<n k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x); x=A*y; r=dot(y,x)/dot(y,y); endend類似得計算按模最小特征值的Rayleigh商加速法，如下：function r,y=invrayleigh(A,x0,eps,n) k=1;r0=0; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式不同 z=Ly; x=Uz; r=dot(y,x)/dot(y,y); if abs(r-r0)<eps return end while abs(r-r0)>eps && k<n k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x); z=Ly; x=Uz; r=dot(y,x)/dot(y,y); end r=1/r;end4. 計算Hilb矩陣特征值此處不再舉例，而是直接應用于15階Hilb矩陣，初始向量選為ones(15,1)，結果如下，并