第三章 3.1.2(一)

1、31.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、計(jì)算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法知識(shí)點(diǎn)一兩角和的余弦公式思考如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？答案用代換cos()cos cos sin sin 中的便可得到梳理公式cos()cos cos sin sin 簡(jiǎn)記符號(hào)C()使用條件，都是任意角記憶口決：“余余正正，符號(hào)相反”知識(shí)點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式思考1如何利用兩角差的余弦公式和誘

2、導(dǎo)公式得到兩角和的正弦公式？答案sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .思考2怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？答案 用代換，即可得sin()sin cos cos sin .梳理內(nèi)容兩角和的正弦兩角差的正弦簡(jiǎn)記符號(hào)S()S()公式形式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin 記憶口訣：“正余余正，符號(hào)相同”1不存在角，使得cos()cos cos sin sin .(×)提示如0，cos()cos 01，cos cos sin sin 1.2任意角，都有sin()sin cos cos

3、sin .()提示由兩角和的正弦公式知結(jié)論正確3存在角，使sin()sin cos cos sin .(×)提示由兩角差的正弦公式知不存在角，使sin()sin cos cos sin .4存在角，使sin()sin cos cos sin .()提示如0時(shí)，sin()0，sin cos cos sin 0.類型一給角求值例1(1)(2019·衡水高一檢測(cè))已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則sin的值為()A. B C. D考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案C解析因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則sin ，cos ，所以sinsin cos cos s

4、in ××.(2)計(jì)算：sin 14°cos 16°sin 76°cos 74°.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值解原式sin 14°cos 16°sin(90°14°)cos(90°16°)sin 14°cos 16°cos 14°sin 16°sin(14°16°)sin 30°.反思與感悟解決給角求值問題的策略(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本

5、原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式跟蹤訓(xùn)練1求值： .考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案2解析原式2.類型二給值求值例2已知sin，cos，且0<<<<，求cos()考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值解0<<<<，<<，<<0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin×&

6、#215;.反思與感悟(1)給值(式)求值的策略當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”(2)給值求角本質(zhì)上為給值求值問題，解題時(shí)應(yīng)注意對(duì)角的范圍加以討論，以免產(chǎn)生增解或漏解跟蹤訓(xùn)練2已知cos，x(0，)，則sin x的值為()A. B.C. D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案B解析由題意得x，所以sin，所以sin xsinsincos cossin ××.類型三輔助角公式例3(1)求值：cos s

7、in .考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用輔助角公式化簡(jiǎn)求值答案解析原式22sin .(2)當(dāng)函數(shù)ysin xcos x(0x2)取得最大值時(shí)，x .考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用輔助角公式化簡(jiǎn)求值答案解析y2sin，0x2，x，當(dāng)x，即x時(shí)，ymax2.反思與感悟一般地，對(duì)于asin bcos 形式的代數(shù)式，可以提取，化為Asin(x)的形式，公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()稱為輔助角公式利用輔助角公式可對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值跟蹤訓(xùn)練3sin cos .考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用輔助角公式化簡(jiǎn)求值答案解析原式2222si

8、n2sin.1sin 7°cos 37°sin 83°sin 37°的值為()A B C. D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)答案B解析原式sin 7°cos 37°cos 7°sin 37°sin(30°)sin 30°.2計(jì)算cos sin 的值是()A. B2 C2 D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)答案B解析cos sin 222sin2sin 2.3已知銳角，滿足sin ，cos ，則 .考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正

9、弦公式求角答案解析，為銳角，sin ，cos ，cos ，sin .sin()sin cos cos sin ××.又0<<，且>，.4. .考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)答案解析原式sin 30°.5求函數(shù)f(x)sin xcos的值域考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用解f(x)sin xsin xcos xsin，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?公式的推導(dǎo)和記憶(1)理順公式間的邏輯關(guān)系C()C()S()S()(2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律對(duì)于公式C()，C()可記為“同名相乘，符號(hào)反”；對(duì)于公

10、式S()，S()可記為“異名相乘，符號(hào)同”(3)符號(hào)變化是公式應(yīng)用中易錯(cuò)的地方，特別是公式C()，C()，S()，且公式sin()sin cos cos sin ，角，的“地位”不同也要特別注意2應(yīng)用公式需注意的三點(diǎn)(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運(yùn)用公式(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1sin 90°，cos 60°，sin 60&#

11、176;等，再如：0，等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù).一、選擇題1sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°等于()A B. C D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)答案D解析sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°.2已知，sin，則sin 等于()A. B.C或 D考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正

12、弦公式求值答案B解析由，得<<，所以cos .所以sin sin sincos cossin ×，故選B.3(2019·江西上饒高一期末考試)已知cos()，sin ，且，則sin 等于()A. B. C D考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案A解析0<<.又cos()，sin().<<0，sin ，cos ，sin sin()sin()cos cos()sin .4在ABC中，若A，cos B，則sin C等于()A. B C. D考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案A解析sin Csi

13、n(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B(cos B)×.5(2019·杭州高一檢測(cè))已知sin cos ，(0，)，則sin的值為()A. B.C. D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案A解析因?yàn)閟in cos ，(0，)所以12sin cos ，2sin cos ，所以sin >0，cos <0，由(sin cos )212sin cos .可得sin cos .解得sin ，cos .因?yàn)閏os coscos cos sin sin ，sin sinsin cos cossin，則sinsin cosco

14、s sin××.6(2019·安徽馬鞍山模考)函數(shù)f(x)sinsin是()A周期為的偶函數(shù) B周期為2的偶函數(shù)C周期為的奇函數(shù) D周期為2的奇函數(shù)考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案B解析因?yàn)閒(x)sinsinsin xcos cos xsin sin xcos cos xsin cos x，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2.又f(x)cos(x)cos xf(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)7已知cossin ，則sin的值為()A B. C D.考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案C解析cossin ，cos

15、 cos sin sin sin ，cos sin ，即cos sin ，sin.sinsin.二、填空題8(2019·全國(guó))函數(shù)f(x)2cos xsin x的最大值為 考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用輔助角公式化簡(jiǎn)求值答案解析f(x)2cos xsin x，設(shè)sin ，cos ，則f(x)sin(x)，函數(shù)f(x)2cos xsin x的最大值為.9sin 15°sin 75°的值是 考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案解析sin 15°sin 75°sin(45°30°)sin(45&

16、#176;30°)2sin 45°cos 30°.10. .考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)答案1解析原式tan 45°1.11已知sin，則cos xcos .考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值答案1解析因?yàn)閟in，所以cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xsin1.三、解答題12已知<<<，cos()，sin()，求sin 2的值考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求值解因?yàn)?lt;<<，所以0<<，<<.又

17、cos()，sin()，所以sin()，cos() .所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××.13已知cos ，sin()，且，.求：(1)sin(2)的值；(2)的值考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用解(1)因?yàn)?，所以，又sin()>0，所以0<<.所以sin ，cos()，sin(2)sin()sin cos()cos sin()××.(2)sin sin()sin cos()cos sin()××.又因?yàn)?，所?四、探究與拓展14(2019·金華十校期末)函數(shù)f(x)sin 2xcos(x0，)的最大值是_考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案解析由題意得f(x