復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)江門市杜阮華僑中學(xué)江門市杜阮華僑中學(xué) 楊清孟楊清孟一、復(fù)習(xí)與引入：一、復(fù)習(xí)與引入：1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.4.例如求函數(shù)例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式那么我們可以把平方式 展開展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).然后能否用其它然后能否用其它 的辦法求導(dǎo)呢的辦法求導(dǎo)呢?又如我們知道函數(shù)又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 =-2/x3,那么函數(shù)那么函數(shù) y=1/(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)又是什

2、么呢的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?y 為了解決上面的問題為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則,這就是這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、新課二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)的概念:對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是中間變量是中間變量u的函數(shù)的函數(shù), u= (x)是自變量是自變量x的函數(shù)的函數(shù),則稱則稱y=f (x)是自變量是自變量x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). 2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在點(diǎn)點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)處有

3、導(dǎo)數(shù) ,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)處也有導(dǎo)數(shù),且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()()(xufxfx 如如:求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),我們就可以有我們就可以有,令令y=u2,u=3x-2,則則 從而從而 .結(jié)果與我結(jié)果與我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果完全一致們利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux 在書寫時(shí)不要把在書寫時(shí)不要把 寫成寫成 ,兩者是不完兩者是不完全一樣的全一樣的,前者表示對(duì)自變量前者表示對(duì)自變量x的求導(dǎo)的求導(dǎo),而后者是對(duì)中間而后者是對(duì)中間變量變

4、量 的求導(dǎo)的求導(dǎo).)()(xfxfx )(x 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),一般地一般地,如果所設(shè)中間變量可直接如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)求導(dǎo),就不必再

5、選中間變量就不必再選中間變量. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):5) 12() 1 ( xy解解:設(shè)設(shè)y=u5,u=2x+1,則則:.) 12(102) 12( 525) 12()(4445 xxuxuuyyxuxux4)31 (1) 2 (xy 解解:設(shè)設(shè)y=u-4,u=1-3x,則則:.)31 (1212)3(4)31 (

6、)(5554xuuxuuyyxuxux 42)sin1()3(xy 解解:設(shè)設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則則:.2sin)sin1 ( 4cossin2)sin1 ( 4cos24)(sin)1 ()(3232324xxxxxxvuxvuvuyyxvuxvux 說明說明:在對(duì)法則的運(yùn)用熟練后在對(duì)法則的運(yùn)用熟練后,就不必再寫中間步驟就不必再寫中間步驟.四、練習(xí)：四、練習(xí)：3)42(1x、y4)42(12x、y練習(xí)練習(xí):(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:. ) 116()12( 4)12()12( 42233333 xxxxxxxxxxxy(3)y=tan3x;解解:.sec

7、sin3cos1)cossin( 3cos)sin(sincoscos)cossin( 3)cossin(tan3)(tan)(tan342222322xxxxxxxxxxxxxxxxxy (2)51xxy 解解:.)1 (51)1 (1)1(51)1()1(51565425454xxxxxxxxxy(5):y=sin2(2x+/3)法一法一:. )324sin(22)32cos()32sin(2 xxxy法二法二:,)324cos(121 xy. )324sin(2 4)324sin(021 xxy練習(xí)練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): bxaxyxxyxxxyxycbxaxycos

8、sin)5()7643()4()3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2)2()( 3)2() 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925)76()43(135)4()925()(21)3( xxxxxxy.)2sin()2(41)2sin()2(41sin21)5(xbabaxbababxb 五、小結(jié)：五、小結(jié)： 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時(shí),選擇中間變選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的分清其間的復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體,這個(gè)暫時(shí)的整體這個(gè)暫