2022年《2.3數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)1

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2.3 數(shù)學(xué)歸納法同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、挑選題 每道題 3分，共 18分*1. 某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明<n+1 n N ”的過程如下：證明：當(dāng) n=1時，明顯命題是正確的；假設(shè)當(dāng)n=k k 1， k N* 時，有<k+1，那么當(dāng) n=k+1時，=<= k+1+ 1，所以當(dāng) n=k+1時命題是正確的. 由可知對于n N* ，命題都是正確的 . 以上證法是錯誤的，錯誤在于A. 從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B. 假設(shè)的寫法不正確C. 從k到k+1的推理不嚴(yán)密 D. 當(dāng)n=1時，驗證過程不詳細(xì)

2、【解析】 選A. 分析證明過程中的可知，從k到k+1的推理過程中沒有使用歸納假設(shè)，故該證法不能叫做數(shù)學(xué)歸納法.2. 2021·廣州高二檢測 用數(shù)學(xué)歸納法證明3n n3 n 3， nN* ，第一步驗證A. n=1B. n=2C. n=3D. n=4【解析】選 C. 由題意知 n 3， nN* ，第一步應(yīng)驗證n=3.*3. 某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如 n=k k N 時，該命題成立，那么可推得n=k+1時，該 命題也成立 . 現(xiàn)在已知當(dāng) n=5時，該命題不成立，那么可推得A. 當(dāng)n=6時該命題不成立B. 當(dāng)n=6時該命題成立C. 當(dāng)n=4時該命題不成立D. 當(dāng)n=4時該命題成立【解析】選

3、 C. 原命題正確，就逆否命題正確. 故應(yīng)選 C.4. 2021·洋浦高二檢測 已知 f n=+ +,+，就 A. f n 中共有 n項，當(dāng) n=2時， f 2=+B. f n 中共有 n+1項，當(dāng) n=2時， f 2= 1+ + +C. f n 中共有 n2- n+2項，當(dāng) n=2時， f 2= 1+ +精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -D. f n 中共有 n2- n+1項，當(dāng) n=2時， f 2= 1+ + +【解析】選

4、 C. 由條件可知，f n 共有項數(shù)為 n2- n- 1+ 1=n2- n+2項，且 n=2時， f 2=+ + + . 應(yīng)選 C.5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn+yn能被 x+y整除”，其次步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A. 假設(shè) n=2k+1 kN* 時正確，再推 n=2k+3時正確*B. 假設(shè) n=2k- 1 kN 時正確，再推 n=2k+1時正確C. 假設(shè) n=k k N* 時正確，再推n=k+1時正確D. 假設(shè) n=k kN* 時正確，再推 n=k+2時正確【解析】選 B. 要留意 n為正奇數(shù) .6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n n 3，n N 邊形的內(nèi)角和公式”時，由n=k到n=k+1

5、時增加 的是 A.B. C.D. 2【解析】選 B. 由n=k到 n=k+1時，凸 n邊形的內(nèi)角和增加的是1+2+ 3=.二、填空題 每道題 4分，共 12分7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明| n2- 5n+5| 1時，需證明的第一個n值是 .【解析】驗證可知. n=1， 2， 3， 4時， | n2- 5n+5|= 1， n=5時， | 52- 5× 5+5| 1， n=6時，| 62- 5×6+5| 1，所以需驗證的第一個n值應(yīng)為 5.答案： 58. 2021·寧波高二檢測 用數(shù)學(xué)歸納法證明：+,+>-. 假設(shè) n=k時，不等式成立，就當(dāng)n=k+1時，應(yīng)推證的目標(biāo)

6、不等式是 .【解析】從不等式結(jié)構(gòu)看，左邊n=k+1時，最終一項為，前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù) . 右邊 n=k+1時，式子-. 即不等式為+,+> -.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -答案：+,+> -9. 2021·武漢高二檢測 用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+,+ n- 1 2+n2+ n- 1 2 +,+22+12=時，由 n=k的假設(shè)到證明n=k+1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是 .【解析】依據(jù)等式左邊的特點，

7、各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊 =12+22+,+ k- 1 2+k2 + k- 1 2+,+22+12， n=k+1時，左邊 =12+22+,+ k- 1 2+k2 + k+1 2+k2+ k- 1 2+,+22+12，比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是 k+1 2+k2.答案： k+1 2+k2三、解答題 每道題 10分，共 20分 10. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1× 4+2× 7+3×10+,+n 3n+1= n n+1 2 其中 n N* .【證明】 1 當(dāng)n=1時，左邊 =1× 4=4，右邊 =1×22=4，左邊 =右邊，等式成立.

8、 2 假設(shè)當(dāng) n=k k 1，k N* 時等式成立， 即1× 4+2× 7+3× 10+,+k 3k+1= k k+1 2，那么，當(dāng) n=k+1時，1× 4+2×7+3× 10+,+k 3k+1+ k+1 · 3 k+1+ 1=k k+1 2+ k+1 3 k+1+ 1= k+1 · k2 +4k+4= k+1k+1+1 2，即當(dāng) n=k+1時等式也成立.依據(jù) 1 和 2 ，可知等式對任意n N* 都成立 .11. 2021·莆田高二檢測 設(shè)函數(shù) y=f x 對任意實數(shù) x， y都有 f x+y= f x

9、+ f y+ 2xy. 1 求f 0 的值 . 2 如f 1= 1，求 f 2 ， f 3 ， f 4 的值 . 3 在 2 的條件下，猜想f n n N* 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】 1 令x=y=0，得 f 0+0= f 0+ f 0+ 2× 0× 0. f 0= 0. 2 f 1= 1， f 2= f 1+1= 1+1+2=4，f 3= f 2+1= 4+1+2× 2× 1=9，f 4= f 3+1= 9+1+2× 3× 1=16. 3 猜想 f n= n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時， f 1= 1滿意條

10、件 .假設(shè)當(dāng) n=k k N* 時成立，即 f k= k2 ，就當(dāng) n=k+1時， f k+1= f k+ f 1+ 2k=k2+1+2k= k+1 2，從而可得當(dāng)n=k+1時滿意條件，所 以對任意的正整數(shù)n，都有 f n= n2.才能提升訓(xùn)練精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -一、挑選題 每道題 4分，共 16分*1. 2021·長春高二檢測 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+,+ n+3= n N時，第一步驗證n=1時，左邊應(yīng)

11、取的項是A. 1B. 1+2C. 1+2+3D. 1+2+3+4【解析】選 D. 在等式 1+2+3+,+ n+3= n N* 中，當(dāng) n=1時， n+3=4，而等式左邊是起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，故當(dāng)n=1時，等式左邊的項為1+2+3+4，應(yīng)選 D.22. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+,+n2=，就當(dāng) n=k+1時，左端應(yīng)在 n=k的基礎(chǔ)上增加 A. k +1B. k+1 2C.D. k2+1+ k2+2+ k2+3+ ,+ k+1 2【解析】選 D. 當(dāng)n=k時，等式左端 =1+2+,+k2 ，當(dāng) n=k+1時，等式左端 =1+2+,+k2+ k2+1+ k2 +2+ k2+3+ ,+

12、k+1 2，增加了 2k+1項.3. 已知 n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+,+-=2時，如已假設(shè) n=k k 2且k為偶數(shù) 時，命題為真，就仍需利用歸納假設(shè)再證A. n=k+1時等式成立B. n=k+2時等式成立C. n=2k+2時等式成立 D. n=2 k+2 時等式成立【解析】選 B. 由于 k為偶數(shù)，所以利用歸納假設(shè)證明時需證n=k+2時等式成立 .4. 2021·吉林高二檢測 已知 f n= 2n+7 · 3n+9，存在自然數(shù) m，使得對任意 n N* ，都能使 m整除 f n ，就 m的最大值為 A. 30B. 26C. 36D. 6【解析】選 C. 由于

13、 f 1= 36，f 2= 108=3× 36， f 3= 360=10×36，所以 f 1 ， f 2 ， f 3 都能被 36整除，估計最大的 m的值為 36，再由數(shù)學(xué)歸納法可證得，對任意 n N* ，都能使 36 整除 f n.二、填空題 每道題 5分，共 10分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -5. 設(shè)數(shù)列的通項公式為an=，前 n項和為 Sn，就 S1= ， S2= ， S3= ，S4= ，并由此猜想出Sn

14、= .【解析】由于an=，所以 S1=a1=， S2=a1+a2= + = ， S3 =a1+a2+a3= + +=，S4=a1+a2+a3+a4=+ + +=，由此猜想 Sn=.答案：6. 已知 1+2× 3+3×32 +4× 33+,+n·3n- 1 =3n na- b+ c對一切 n N* 成立， 那么 a= ， b= ，c= .【解題指南】利用n=1， 2，3，分別建立三個等式，通過解方程組可求得.【解析】把 n=1， 2， 3代入 1+2× 3+3× 32+4× 33+,+n· 3n- 1=3n na-

15、b+ c，可得整理并解得*答案：【變式訓(xùn)練】 設(shè)an=1+ + +,+ n N ，猜想關(guān)于 n的整式 g n= 時，使得等式a1+a2+,+an- 1=g n an- 1 對于大于 1的一切正整數(shù) n都成立 .【解析】假設(shè)g n 存在，探究 g n.當(dāng)n=2時，有 a1=g 2 a2- 1 ， 即1=g 2 1+- 1 ，解得 g 2= 2.當(dāng)n=3時，有 a1+a2=g 3 a3- 1 ，即1+1+=g 3 1+ + - 1 ，解得 g 3= 3.當(dāng)n=4時，同樣可解得g 4= 4.由此猜想 g n= n n N* ，且 n 2.答案： n三、解答題 每道題 12分，共 24分7. 2021

16、·南昌高二檢測 用數(shù)學(xué)歸納法證明tan ·tan2+tan2 ·tan3 +,+tan n- 1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - - · tann =- n n 2， nN* .【證明】當(dāng)n=2時，左邊 =tan · tan2 .右邊 =- 2=·- 2=- 2=tan ·tan 2 .所以左邊 =右邊，等式成立.*假設(shè) n=k k 2，k N 時等式成立，即有tan

17、· tan2 +tan2 · tan3+,+tan k- 1 · tank =- k.當(dāng)n=k+1時，利用歸納假設(shè)有，tan · tan2 +tan2· tan3 +,+tan k- 1 · tank+tank · tan k+1 =- k+tank · tan k+1 =- k= tan k+1 - tan - k=- k+1 ，所以 n=k+1時，等式也成立，故由和知，n2， nN* 時等式恒成立.【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明12+32+52+,+ 2n- 1 2= n 4n2- 1 n N* .【證明】 1

18、當(dāng)n=1時，左邊 =12，右邊 = × 1× 4× 1- 1= 1， 左邊 =右邊，等式成立. 2 假設(shè)當(dāng) n=k k N* ， k 1 時，等式成立，即12+32+52+,+ 2k- 1 2= k 4k2- 1 ，就當(dāng) n=k+1時，12+32+52+,+ 2k- 1 2 + 2k+1 2= k 4k2- 1+ 2k+1 2= k 2k+1 2k- 1+ 2k+1 2= 2k+1 k 2k- 1+ 3 2k+1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - -

19、 - - - - - - - - - -= 2k+1 2k2+5k+3= 2k+1 k+1 2k+3= k+1 4k2+8k+3= k+1 4 k+1 2- 1 ，即當(dāng) n=k+1時，等式成立.由 1 ， 2 可知，對一切n N* 等式成立 .*x+r b>0且8. 等比數(shù)列 a 的前 n項和為 S ，已知對任意的n N ，點 n， S 均在函數(shù) y=bnnnb1， b， r 均為常數(shù) 的圖象上 . 1 求r 的值 . 2 當(dāng)b=2時，記 b2 log a1nN ，證明：對任意的n N ，不等式*n= 2 n+ ··, ·>成立 .【解析】 1 由題意， Sn=bn+r，當(dāng)n 2時， Sn- 1=bn - 1+r，所以 an=Sn- Sn- 1=bn- 1 b- 1.由于 b>0且b 1，所以 n 2時， an 是以 b為公比的等比數(shù)列.又a1=b+r ， a2=b b- 1 ，=b， 即=b，解得 r=- 1. 2 由 1 知ann- 1 ，因此 bn* .=2=2n n N所證不等式為··, ·