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1、第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)是直接函數(shù),是它的反函數(shù).由反函數(shù)的連續(xù)性定理,如果在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且連續(xù),那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間也是單調(diào)連續(xù)的.定理1 (反函數(shù)的求導(dǎo)法則)如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且,那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且.簡單地說就是:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證 任取,給以增量.由的單調(diào)性可知 ,于是有 .由的連續(xù)性,當(dāng)時(shí),必有.而在點(diǎn)可導(dǎo)且,即,則,這就是說,在點(diǎn)可導(dǎo),且有成立.由于是區(qū)間內(nèi)任意取定的一點(diǎn),所以在內(nèi)可導(dǎo),且.例1 求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 為的反函數(shù),且在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),又 ,所以 ,即 .特別地,時(shí),.例2 求函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)
2、. 解 為的反函數(shù),在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且 ,所以, 即 .類似方法可求得 .例3 求和的導(dǎo)數(shù). 解 ,為的反函數(shù),在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且 ,所以, ,即 .類似方法可求得 .二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在前面,我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出了一些比較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但是對(duì)于像,這樣的函數(shù),我們還不知道它們是否可導(dǎo),可導(dǎo)的話如何求它們的導(dǎo)數(shù).下面我們將給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來解決這些問題.定理2(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或.證 當(dāng)自變量有增量時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)與的增量分別為和.由于可導(dǎo),即存在,于是根
3、據(jù)極限與無窮小的關(guān)系,有,其中是時(shí)的無窮小.以乘以上式兩邊得用除上式兩邊,得 .因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo),又根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù),可知在點(diǎn)處是連續(xù)的,所以 ,且當(dāng)時(shí),從而.所以 ,即 或記為 .上述定理說明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).顯然,上述法則也可用于多次復(fù)合的情形.例如,設(shè),都可導(dǎo),則 ,或記為 .例1 已知,求.解 可看作復(fù)合而成,因此.例2 設(shè),求,. 解 可看作復(fù)合而成,因此,.例3 ,求. 解 可看作與復(fù)合而成,. 運(yùn)算比較熟練以后,就不必再寫出中間變量,只要分析清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,做到心中有數(shù),就可以直接求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例4 ,求. 解 .例5 ,求.解 .例6 ,求.解 .下面來看一個(gè)實(shí)際問題.例7 若水以的速度灌入高為,底面半徑為的圓錐型水槽中(圖2-5),問當(dāng)水深時(shí),水位的上升速度為多少?解 如圖2-5所示,設(shè)在時(shí)間為時(shí),水槽中水的體積為,水面的半徑為,水槽中水的
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