反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)是直接函數(shù)，是它的反函數(shù).由反函數(shù)的連續(xù)性定理，如果在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間也是單調(diào)連續(xù)的.定理1 （反函數(shù)的求導(dǎo)法則）如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且.簡單地說就是：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證 任取，給以增量.由的單調(diào)性可知 ，于是有 .由的連續(xù)性，當(dāng)時(shí)，必有.而在點(diǎn)可導(dǎo)且，即，則，這就是說，在點(diǎn)可導(dǎo)，且有成立.由于是區(qū)間內(nèi)任意取定的一點(diǎn)，所以在內(nèi)可導(dǎo)，且.例1 求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 為的反函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，又 ，所以 ，即 .特別地，時(shí)，.例2 求函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)

2、. 解 為的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且 ，所以， 即 .類似方法可求得 .例3 求和的導(dǎo)數(shù). 解 ，為的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且 ，所以， ，即 .類似方法可求得 .二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在前面，我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出了一些比較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但是對(duì)于像，這樣的函數(shù)，我們還不知道它們是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話如何求它們的導(dǎo)數(shù).下面我們將給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來解決這些問題.定理2（復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為或.證 當(dāng)自變量有增量時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)與的增量分別為和.由于可導(dǎo)，即存在，于是根

3、據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，有，其中是時(shí)的無窮小.以乘以上式兩邊得用除上式兩邊，得 .因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，又根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)，可知在點(diǎn)處是連續(xù)的，所以 ，且當(dāng)時(shí)，從而.所以 ，即 或記為 .上述定理說明，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).顯然，上述法則也可用于多次復(fù)合的情形.例如，設(shè)，都可導(dǎo)，則 ，或記為 .例1 已知，求.解 可看作復(fù)合而成，因此.例2 設(shè)，求，. 解 可看作復(fù)合而成，因此，.例3 ，求. 解 可看作與復(fù)合而成，. 運(yùn)算比較熟練以后，就不必再寫出中間變量，只要分析清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，做到心中有數(shù)，就可以直接求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例4 ，求. 解 .例5 ，求.解 .例6 ，求.解 .下面來看一個(gè)實(shí)際問題.例7 若水以的速度灌入高為，底面半徑為的圓錐型水槽中（圖2-5），問當(dāng)水深時(shí)，水位的上升速度為多少？解 如圖2-5所示，設(shè)在時(shí)間為時(shí)，水槽中水的體積為，水面的半徑為，水槽中水的