郭數(shù)系的擴充(公開課)

1、郭味純 2010.4 R 從小學(xué)開始，我們學(xué)了自然數(shù)從小學(xué)開始，我們學(xué)了自然數(shù)集集N、整數(shù)集、整數(shù)集Z、有理數(shù)集、有理數(shù)集Q. 實數(shù)集實數(shù)集R，它們之間有怎樣的它們之間有怎樣的包含包含關(guān)系呢？關(guān)系呢？ 有關(guān)系有關(guān)系 N Z Q R Q ZN一一. . 問題情境問題情境 R 從包含關(guān)系從包含關(guān)系N Z Q R看，看，它能說明什么問題？它能說明什么問題？ Q 數(shù)集在數(shù)集在擴充擴充系 ZN+- Z 例如例如N為何要擴充呢？為何要擴充呢？二二. .為何擴充為何擴充是什么原因使得數(shù)系要擴充呢？是什么原因使得數(shù)系要擴充呢？N中中減法減法運算不運算不能暢通無阻，這能暢通無阻，這是是N中的中的一朵烏一朵烏云！

2、云！數(shù)系擴充的效果是數(shù)系擴充的效果是應(yīng)用范圍擴大了應(yīng)用范圍擴大了.N+- R Q ZN+- Z,Q數(shù)系也有各自的矛盾，類似地用數(shù)系也有各自的矛盾，類似地用擴充數(shù)系的辦法解決了這些矛盾擴充數(shù)系的辦法解決了這些矛盾. 三三. . 怎樣擴充怎樣擴充 針對矛盾，針對矛盾， 創(chuàng)造新數(shù)創(chuàng)造新數(shù).“添加添加”新數(shù)，保持原算律新數(shù)，保持原算律.R 實數(shù)系實數(shù)系R是否完美無缺，抑或也有是否完美無缺，抑或也有一朵一朵烏云烏云？負數(shù)不能進行開平方！負數(shù)不能進行開平方！- 1不能進行開方！不能進行開方！方程方程 x2+1=0 無解無解要解決這個矛盾，必須允許平方要解決這個矛盾，必須允許平方數(shù)也可以是負數(shù)！數(shù)也可以是負

3、數(shù)！?, 12xx四四. . 石破驚天之問石破驚天之問 由它所創(chuàng)造的復(fù)變函數(shù)理論，成為解決電磁理論，航空理論，原子能及核物理等尖端科學(xué)的數(shù)學(xué)工具. 新數(shù) ?, 12xx我喜歡你，我創(chuàng)造一個你的解，我稱呼它為 i我拒絕你，我堅守 02a 嚴格地，我們把滿足如下兩條性質(zhì)的數(shù)嚴格地，我們把滿足如下兩條性質(zhì)的數(shù)i i叫做叫做虛數(shù)單位虛數(shù)單位. .（1 1）它的平方等于）它的平方等于-1-1，即，即i i2 2 = -1= -1；（2 2）實數(shù)可以與）實數(shù)可以與i i一起進行四則運算，進行一起進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律（即交換四則運算時，原有的加、乘運算律（即交換律、結(jié)合律、分配律

4、）仍然成立律、結(jié)合律、分配律）仍然成立. .那么那么i i3 3 = = i i4 4 = = 自然數(shù)系自然數(shù)系N 有運算有運算減法不能暢通無阻減法不能暢通無阻即方程即方程x+1=0無解無解怎樣解決矛盾？怎樣解決矛盾？創(chuàng)造新數(shù)創(chuàng)造新數(shù)-1，設(shè)它，設(shè)它是是x+1=0的解的解添加新數(shù)添加新數(shù)-1要求新數(shù)要求新數(shù)-1與與N中的中的數(shù)進行原有的運算數(shù)進行原有的運算.自然數(shù)系自然數(shù)系R 有運算有運算an開平方不能暢通無阻開平方不能暢通無阻即方程即方程x2+1=0無解無解怎樣解決矛盾？怎樣解決矛盾？創(chuàng)造新數(shù)創(chuàng)造新數(shù)i，設(shè)它是，設(shè)它是x2+1=0的解的解添加新數(shù)添加新數(shù)i要求新數(shù)要求新數(shù)i與與R中的數(shù)中的數(shù)

5、進行原有的運算，保進行原有的運算，保持運算律持運算律.五五. . 類比思維類比思維六六. . 復(fù)數(shù)的誕生復(fù)數(shù)的誕生 虛數(shù)虛數(shù)i i與實數(shù)與實數(shù)b b相乘，再與實數(shù)相乘，再與實數(shù)a a相相加，就會得到形如加，就會得到形如 a+bia+bi（a a、bRbR） 的數(shù)，稱它為的數(shù)，稱它為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。 全體復(fù)數(shù)形成的數(shù)集叫全體復(fù)數(shù)形成的數(shù)集叫復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集，記，記作作C C。 C R 對復(fù)數(shù)z=a+bi（a、bR）z=a a+b b i實部虛部 對復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)代數(shù)形式代數(shù)形式z = a+bi z = a+bi （a、bR）當b=0時， z=a+bi是a，是實數(shù)當b0時，z=a+bi叫做虛數(shù)；當b0且a=0時

6、，z=a+bi為bi，叫純虛數(shù)對復(fù)數(shù)系進行分類對復(fù)數(shù)系進行分類抓住抓住虛部虛部進行進行分類討論分類討論七七. . 應(yīng)應(yīng) 用用 例1.說出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部.并指出哪些是實數(shù)?哪些是虛數(shù)?哪些是純虛數(shù)?復(fù)數(shù)實部虛部實數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)2-3i0-6isini223i2300061000102i例例2. 2. 實數(shù)實數(shù)m m取何值時，復(fù)數(shù)取何值時，復(fù)數(shù) z=m(m-1)+(m-1)iz=m(m-1)+(m-1)i是是(1)(1)實數(shù)？實數(shù)？(2)(2)虛數(shù)虛數(shù)？(3)(3)純虛數(shù)純虛數(shù)？解：解：(1)(1)當當m m1=01=0，即，即m=1m=1時，時，z z是實數(shù)；是實數(shù)；(2)(2)當當m m1

7、010，即，即m1m1時，時，z z是虛數(shù)；是虛數(shù)；(3)(3)當當m m（m-1m-1）=0=0，且，且m m1010時，即時，即m=0m=0時，時，z z 是純虛數(shù)是純虛數(shù). .abcdR,acabicdibd設(shè) 、 、 、則 例例3 3、已知、已知(x+y)+(x-2y)i= (2x-5)+(x+y)+(x-2y)i= (2x-5)+(3x+y)i+(3x+y)i，求實數(shù)，求實數(shù)x x與與y y的值。的值。八八. . 定義復(fù)數(shù)相等定義復(fù)數(shù)相等 定義定義 如果兩個復(fù)數(shù)的實部與虛部分別如果兩個復(fù)數(shù)的實部與虛部分別相等，那么我們說這兩個復(fù)數(shù)相等，即相等，那么我們說這兩個復(fù)數(shù)相等，即:y3x2y

8、-x5-x2yx解：解：得得2y3x 1. 1.了解了數(shù)系了解了數(shù)系擴充擴充的的原因原因和的基本模和的基本模式；體驗了從實數(shù)系擴充到式；體驗了從實數(shù)系擴充到復(fù)數(shù)系復(fù)數(shù)系的基的基本過程本過程. . 2. 2.懂得了懂得了虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的兩條規(guī)定；的兩條規(guī)定； 3. 3.掌握了復(fù)數(shù)代數(shù)形式掌握了復(fù)數(shù)代數(shù)形式z = a+biz = a+bi判判斷斷它為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的方法；它為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的方法； 4. 4.理解了理解了復(fù)數(shù)相等的定義復(fù)數(shù)相等的定義. .九九. .小結(jié)小結(jié)作業(yè)：課本P105 練習1-4（做在書上）作業(yè)課本P105 練習1-4 習題3.1 1-4 （做在作業(yè)本上）1.請設(shè)計數(shù)集的文氏圖，用它來表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等數(shù)集與復(fù)數(shù)集的包含關(guān)系.（留給課外做，充分發(fā)揮你的想象能力）參考解答：思考題思考題a=0a=0是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)z=a+biz=a+b