第四章 偏微分方程的有限差分法

1、計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 1/75第四章第四章 偏微分方程的有限差分法偏微分方程的有限差分法4.1 有限差分法原理有限差分法原理4.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法4.3 波動(dòng)方程的波動(dòng)方程的差分解法差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 2/754.1 有限差分法原理有限差分法原理拋物線形拋物線形雙曲型雙曲型橢圓形橢圓形不可逆過(guò)程不可逆過(guò)程可逆過(guò)程可逆過(guò)程平衡過(guò)程平衡過(guò)程熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程位勢(shì)方程位勢(shì)方程 物理學(xué)中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描

2、述，物理學(xué)中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分為以下三類(lèi)：偏微分方程主要分為以下三類(lèi)： fauuctudfauuctud22fauuc上式中a,c,f以及未知函數(shù)u為定義在求解區(qū)域上的實(shí)（復(fù)）函數(shù)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 3/754.1 有限差分法原理有限差分法原理2222 fdfxdxfd fxdx有限差分有限差分解法解法差分近似代替微分，差商近似代替微商差分近似代替微分，差商近似代替微商 這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的求網(wǎng)絡(luò)節(jié)

3、點(diǎn)上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的微分方程微分方程變?yōu)橐唤M相應(yīng)的變?yōu)橐唤M相應(yīng)的差分方程差分方程，進(jìn)一步可，進(jìn)一步可以求解離散節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。以求解離散節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)泰勒（泰勒（Taylor）展開(kāi)）展開(kāi)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 4/754.1 有限差分法原理有限差分法原理差商公式的構(gòu)造差商公式的構(gòu)造223323223323232323232323()( )2!3!()( )2!3!22(2 )( )22!3!22(2 )( )22!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff

4、xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)定義差商利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)定義差商計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 5/754.1 有限差分法原理有限差分法原理()( )ff xhf xxh誤差為誤差為O(h)差商公式：差商公式：一階向前差商：一階向前差商：( )()ff xf xhxh一階向后差商：一階向后差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff x

5、hf xhdxdxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 6/754.1 有限差分法原理有限差分法原理二階二階向前差商：向前差商：式式(2)-式式(1)X2222(2 )2 ()( )ff xhf xhf xxh223323232323()( ) (1)2!3!22(2 )( )2 (2)2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx誤差為誤差為O(h2)差商公式：差商公式：計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 7/754.1

6、有限差分法原理有限差分法原理二階二階向后差商向后差商: 式式(2)-式式(1)X2222( )2 ()(2 )ff xf xhf xhxh223323232323()( ) (1)2!3!22(2 )( )2 (2)2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 8/754.1 有限差分法原理有限差分法原理(2 )4 ()3 ( )2ff xhf xhf xxh一階向前差商：一階向前差商：222223323(2 )2 ()( )()( )2!3!

7、ff xhf xhf xxhdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx2222fd fxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 9/754.1 有限差分法原理有限差分法原理(2 )4 ()3 ( )2ff xhf xhf xxh一階向后差商：一階向后差商：222223323( )2 ()(2 )()( )2!3!ff xf xhf xhxhdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx2222fd fxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 10/754.1 有限差分法原

8、理有限差分法原理()()2off xhf xhxh一階中心差商：一階中心差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 11/754.1 有限差分法原理有限差分法原理222()2 ( )()off xhf xf xhxh二階中心差商：二階中心差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff

9、xhf xhdxdxdx計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 12/754.1 有限差分法原理有限差分法原理差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性和穩(wěn)定性收斂性：收斂性：穩(wěn)定性：穩(wěn)定性： 當(dāng)步長(zhǎng)當(dāng)步長(zhǎng)h0時(shí)，差分方程的解趨向于微分方時(shí)，差分方程的解趨向于微分方程的解。程的解。 誤差在運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)失控，即累計(jì)誤差不誤差在運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)失控，即累計(jì)誤差不會(huì)無(wú)限增加。會(huì)無(wú)限增加。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 13/754.1 有限差分法原理有限差分法原理 從數(shù)學(xué)上講，沒(méi)有限制的微分方程

10、會(huì)有從數(shù)學(xué)上講，沒(méi)有限制的微分方程會(huì)有無(wú)窮多個(gè)解，不能構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。無(wú)窮多個(gè)解，不能構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。 從物理上講，描述物理問(wèn)題的微分方程僅從物理上講，描述物理問(wèn)題的微分方程僅適用于描述在一個(gè)連續(xù)體或物理場(chǎng)的內(nèi)部發(fā)生適用于描述在一個(gè)連續(xù)體或物理場(chǎng)的內(nèi)部發(fā)生的物理過(guò)程，僅靠這些微分方程不足以確定物的物理過(guò)程，僅靠這些微分方程不足以確定物理過(guò)程的理過(guò)程的具體具體特征。特征。 因此，要想解決實(shí)際的物理問(wèn)題，必須因此，要想解決實(shí)際的物理問(wèn)題，必須知道一個(gè)連續(xù)體或物理場(chǎng)的初始狀態(tài)和邊界知道一個(gè)連續(xù)體或物理場(chǎng)的初始狀態(tài)和邊界受到的外界影響。受到的外界影響。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute

11、of Technology Yangkun 14/754.1 有限差分法原理有限差分法原理初始條件：初始條件：與時(shí)間相聯(lián)系與時(shí)間相聯(lián)系邊界條件：邊界條件：邊界邊界受到外界的影響受到外界的影響偏微分方程的定解條件偏微分方程的定解條件常見(jiàn)的物理問(wèn)題可以歸結(jié)為三大類(lèi)邊界條件常見(jiàn)的物理問(wèn)題可以歸結(jié)為三大類(lèi)邊界條件),(),(2010zyxftuzyxfutt計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 15/754.1 有限差分法原理有限差分法原理2 第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件（諾依曼（諾依曼Neumann）1 第一類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件（狄利克雷（狄利

12、克雷Dirichlet）),(0truu熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：邊界邊界上上溫度分布已知溫度分布已知熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：通過(guò)通過(guò)邊界邊界單位面積上的熱流量已知單位面積上的熱流量已知),(0trqnun表示表示的外法線的外法線q0定義在定義在上的已知函數(shù)上的已知函數(shù)uuuu ni nj nnxy 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 16/754.1 有限差分法原理有限差分法原理由熱力學(xué)傅立葉定律得：由熱力學(xué)傅立葉定律得：QukStn 熱流量：熱流量：QuqkS tn 單位面積上的單位面積上的熱流量：熱流量：K: 熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)單位時(shí)

13、間內(nèi)通過(guò)給定截面的熱量，正比例于垂直于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。遞的方向則與溫度升高的方向相反。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 17/754.1 有限差分法原理有限差分法原理3 第三類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件（洛平（洛平Robin ）熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：邊界表面邊界表面與外界之間的熱量交換已知與外界之間的熱量交換已知),(000trcnubuaa0,b0.c0定義在定義在上的已知上的已知函數(shù)函數(shù)外界

14、溫度為外界溫度為u0，熱交換規(guī)律遵循，熱交換規(guī)律遵循熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，從邊界單位面積傳遞給周?chē)臒崃髁繂挝粫r(shí)間內(nèi)，從邊界單位面積傳遞給周?chē)臒崃髁空扔谶吔绫砻婧屯饨绲臏囟炔睢Ｕ扔谶吔绫砻婧屯饨绲臏囟炔?。?jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 18/754.1 有限差分法原理有限差分法原理 對(duì)于實(shí)際物理問(wèn)題，邊界條件往往是很復(fù)雜的，對(duì)于實(shí)際物理問(wèn)題，邊界條件往往是很復(fù)雜的，可能是一種或不同邊界區(qū)域幾種邊界條件的組合，可能是一種或不同邊界區(qū)域幾種邊界條件的組合，甚至不能用這三類(lèi)邊界條件描述。甚至不能用這三類(lèi)邊界條件描述。

15、0quu：熱交換系數(shù)：熱交換系數(shù) u：邊界溫度：邊界溫度QuqkS tn 單位面積上的單位面積上的熱流量：熱流量：0ukuun0uukun計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 19/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法 物理學(xué)中對(duì)熱傳導(dǎo)、熱輻射以及氣體擴(kuò)散現(xiàn)物理學(xué)中對(duì)熱傳導(dǎo)、熱輻射以及氣體擴(kuò)散現(xiàn)象的描述，?？梢詺w結(jié)為同一類(lèi)型的拋物線型方象的描述，?？梢詺w結(jié)為同一類(lèi)型的拋物線型方程，通常采用二階偏微分方程描述，這類(lèi)方程統(tǒng)程，通常采用二階偏微分方程描述，這類(lèi)方程統(tǒng)稱(chēng)為熱傳導(dǎo)方程。稱(chēng)為熱傳導(dǎo)方程。fauuctud計(jì)算物理學(xué) Harb

16、in Institute of Technology Yangkun 20/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法一維各向同性、均勻介質(zhì)，且無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)方程：一維各向同性、均勻介質(zhì)，且無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)方程：220 0tTuuxltx 為了求解為了求解u(x,t)，還必須利用邊界條件和初，還必須利用邊界條件和初始條件。始條件。定解條件定解條件：邊界條件邊界條件和和初始條件初始條件。定解問(wèn)題定解問(wèn)題：解存在、唯一并且連續(xù)依賴初始條件。：解存在、唯一并且連續(xù)依賴初始條件。4.2.1一維熱傳導(dǎo)方程的差分解法一維熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Tec

17、hnology Yangkun 21/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法 22210,0utgtu l tuutxxtugx對(duì)于一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題對(duì)于一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題（第一類(lèi)邊界條件）（第一類(lèi)邊界條件）00 xtlT 數(shù)值解就是在求解區(qū)域數(shù)值解就是在求解區(qū)域: 0 0tGxTl 中某些中某些離散點(diǎn)（離散點(diǎn)（xi,ti）上求出上求出u(xi, ti)足夠近似的解。足夠近似的解。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 22/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法1 把求解區(qū)域離散化（確定離散點(diǎn)）把求解區(qū)域離散化（確定離散點(diǎn)

18、）00 i=0 ,1,Nk=0,1, ,MkilhxxihihTkNttkM,( , ),ikiki kx ti ku x tuxtxitkTl, i ku計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 23/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法2 推導(dǎo)差分遞推公式推導(dǎo)差分遞推公式222,2,( , )u xh tu x tu xh tu x txh在節(jié)點(diǎn)（在節(jié)點(diǎn)（xi,tk）上）上2221,1,2,2,( , )2ikikikikx xt tiki kiku xh tu x tu xh tu x txhuuuh二階二階向前差商向前差商

19、O(h2)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 24/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法同樣，在節(jié)點(diǎn)（同樣，在節(jié)點(diǎn)（xi,tk）上）上,1,( , )ikikikx xt ti ki ku x tu x tx ttuu一一階階向前差商向前差商O(píng)(h)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 25/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法一維熱傳導(dǎo)方程可以近似為一維熱傳導(dǎo)方程可以近似為,1,1,1,22i ki kiki kikuuuuuh令令2h,11,1,(12

20、)i kiki kikuuuuO(h)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 26/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法,11,1,(12 )i kiki kikuuuuxtxitk,1i ku初始條件初始條件邊界條件邊界條件計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 27/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法一維熱傳導(dǎo)方程顯示差分遞推公式為一維熱傳導(dǎo)方程顯示差分遞推公式為,11,1,00,1,2(12 )( )()()i kiki kikikl kuuuuuihug

21、 kugki=0,1,Nk=0,1,M計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 28/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法顯示差分遞推公式的穩(wěn)定性：顯示差分遞推公式的穩(wěn)定性：212h對(duì)于一維熱傳導(dǎo)方程，差分格式為穩(wěn)定差對(duì)于一維熱傳導(dǎo)方程，差分格式為穩(wěn)定差分格式的充分條件是分格式的充分條件是即即22hki, kkikikiuu,計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 29/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法為了提高數(shù)值解的精度，必須減小為了提高數(shù)值解的精度，必須減小

22、22hhxdx 相應(yīng)就要變小，這必然增加計(jì)算量。這就相應(yīng)就要變小，這必然增加計(jì)算量。這就是顯示差分格式的缺點(diǎn)，但它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算是顯示差分格式的缺點(diǎn)，但它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 30/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法差分格式計(jì)算步驟：差分格式計(jì)算步驟： 給定給定 計(jì)算計(jì)算 計(jì)算初始值：計(jì)算初始值： 計(jì)算邊界值：計(jì)算邊界值： 用差分格式計(jì)算用差分格式計(jì)算 , , ,l T h2;2h,0()iuih0,1,2(),()kl kug kugk,1i ku2;h,11,1,00,1,2(1 2

23、 )( )()()i kiki kikikl kuuuuuihug kugk22 00uutt Txx l 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 31/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法,11,1,(12 )i kiki kikuuuui=0,1,Nk=0,1,M1,12,1,0,2,13,2,1,3,14,3,2,N 1,1,N 1,2,(12 )(12 )(12 )(12 )kkkkkkkkkkkkkN kkNkuuuuuuuuuuuuuuuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Ya

24、ngkun 32/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法1,10,1,2,12,3,13,1,1N,1,12121212kkkkkkkNkkNkuuuuuuuuuu1,12,1,0,2,13,2,1,3,14,3,2,N 1,1,N 1,2,(12 )(12 )(12 )(12 )kkkkkkkkkkkkkN kkNkuuuuuuuuuuuuuuuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 33/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法X=diag(v,k)若若v為為n個(gè)元素向量，返回一個(gè)階數(shù)為個(gè)元素向量，返回一個(gè)階數(shù)為

25、n+abs(k)的方陣的方陣X，將，將v作為作為X的第的第k個(gè)對(duì)角個(gè)對(duì)角元，元，k=0代表主對(duì)角元，代表主對(duì)角元，k0表示在主對(duì)角表示在主對(duì)角元之上，元之上， k0表示在主對(duì)角元以下。表示在主對(duì)角元以下。 v=ones(1,5); X1=diag(v) X2=diag(v,1) X3=diag(v,-1)計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 34/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法（1-2*）*diag(ones(1,N-1)+*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）1,10,1

26、,2,12,3,13,1,1N,1,12121212kkkkkkkNkkNkuuuuuuuuuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 35/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法例例4.2.1 求熱傳導(dǎo)方程混合問(wèn)題求熱傳導(dǎo)方程混合問(wèn)題22,01, 0( ,0)4 (1),01(0, )0,(1, )0,0uuxttxu xxxxututt計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 36/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法221 0.05 4hhh,11,1,(12

27、)i kiki kikuuuu1,11,00,1,2,.1 1,2,.04 (1)ikm kihiuuimhknu22h計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 37/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法,14 (1)iihuih,11,1,1,1,1(1 2 )(1 2 )i kiki kikkik ik ik iuuuuuuuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 38/759.2 4.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute

28、of Technology Yangkun 39/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 40/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 41/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法二維各向同性、均勻介質(zhì)，且無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)方程：二維各向同性、均勻介質(zhì)，且無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)方程：2222uuutxy000 xlystT, ,0,u x yx y初始條件：初始條件：邊界條件：？邊界條件：？

29、4.2.2 二二維熱傳導(dǎo)方程的差分解法維熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 42/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法同一維類(lèi)似，把求解區(qū)域離散化同一維類(lèi)似，把求解區(qū)域離散化 ijklhNShxihyjtkMhxyxiyj, ,ijki j ku x y tu, ,i j kuktt 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 43/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法在節(jié)點(diǎn)（在節(jié)點(diǎn)（xi,yj,tk）上）上2221, , ,1, ,2222,

30、1, ,1,2,2,( , , )2,2,( , , )2ikikijkijkijkx xt tij ki j kij kijkijkijkx xt ti jki j ki jku xh y tu x y tu xh y tu x y txhuuuhu x yh tu x y tu x yh tu x y tyhuuuh計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 44/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法在節(jié)點(diǎn)（在節(jié)點(diǎn)（xi,yj,tk）上）上, ,1, ,( , , )ikijkijkx xt ti j ki j ku x y t

31、u x y tx y ttuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 45/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法二維熱傳導(dǎo)方程可以近似為二維熱傳導(dǎo)方程可以近似為, ,1, ,1, ,1, ,1,1,222i j ki j kij ki kij ki jki ki jkuuuuuuuuh令令2h計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 46/75 t k + 1 j+ 1 j k j-1 i-1 i i+ 1圖 ( 9 . 3 ) 二 維 熱 傳 導(dǎo) 差 分 解 法4.2 熱傳導(dǎo)方程

32、的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法, ,1, ,1, ,1, ,1,1,(1 4 )i j ki j kij kij ki jki jkuuuuuu差分遞推公式為差分遞推公式為, ,1i j ku1, ,ij ku1, ,ij ku, ,i j ku,1,i jku,1,i jku計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 47/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法邊界條件：邊界條件：一、右圖中陰影部分一、右圖中陰影部分為絕熱壁，此絕熱壁為絕熱壁，此絕熱壁可以用第二類(lèi)邊界條可以用第二類(lèi)邊界條件描述，即熱流量為件描述，即熱流量為零。零。第

33、二類(lèi)邊界條件：第二類(lèi)邊界條件：通過(guò)通過(guò)邊界表面單位面積上的熱流量已知邊界表面單位面積上的熱流量已知),(0trqnuuuuu ni nj nnxy 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 48/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法差分近似為差分近似為1, ,0, , ,1, ,00j kj kN j kNj kuuhuuh12, ,0, ,11,2,1,1,10 0 1,2,1i j kii j ki NuxuxjMMMjM計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 49/754.2

34、 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法遞推公式為：遞推公式為：120, ,1, , ,1, ,1,2,1,1,11, 2,1 j kj kN j kNj kjMMMuuuujM計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 50/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法二、二、i=0邊界，邊界，M1jM2 區(qū)區(qū)域?yàn)榕c高溫恒溫?zé)嵩聪噙B域?yàn)榕c高溫恒溫?zé)嵩聪噙B接的口，溫度可取歸一化接的口，溫度可取歸一化值值1。j=0和和j=M邊界與低溫恒溫邊界與低溫恒溫?zé)嵩聪噙B，溫度始終為熱源相連，溫度始終為0。計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute

35、of Technology Yangkun 51/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法二維熱傳導(dǎo)方程顯示差分遞推公式為二維熱傳導(dǎo)方程顯示差分遞推公式為計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 52/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法214h穩(wěn)定差分格式的充分條件是穩(wěn)定差分格式的充分條件是即即24h計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 53/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法, ,1, ,1, ,1, ,1,1,(14 )i j ki j kij

36、 kij ki jki jkuuuuuu計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 54/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 55/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 56/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 57/754.2 熱傳導(dǎo)方

37、程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 58/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法 view(az,el)az:方位角方位角el:仰角仰角view(0,90)view(-37.5, 30）計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 59/754.2 熱傳導(dǎo)方程的差分解法熱傳導(dǎo)方程的差分解法計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 60/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法一維均勻弦線的自由振

38、動(dòng)方程：一維均勻弦線的自由振動(dòng)方程： 22222vtx00 xltT 波動(dòng)方程的差分解法也利用構(gòu)造網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的方法波動(dòng)方程的差分解法也利用構(gòu)造網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的方法NlihNiihxx, 1, 0,MTkMkktt, 1, 0,( ,)i kikx t計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 61/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法用二階中心差分近似方法得：用二階中心差分近似方法得： 221,1,22222,1,122222iki kiki ki ki kxxhtt計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Y

39、angkun 62/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法代入波動(dòng)方程得：代入波動(dòng)方程得： ,1,11,1,22222i ki ki kiki kikvh令：令： vh222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 63/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k t M k+1 k k-1 x i-1 i i+1 N圖 (10.1) 一 維 波 動(dòng) 方 程 的 差 分 解 法邊界條件邊界條件初始條件初始條件計(jì)算物理學(xué)

40、Harbin Institute of Technology Yangkun 64/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法a 初始條件：初始條件： 12( ,0)( )( ,0)( )xxxxt對(duì)于初始時(shí)刻速度，也須用差分格式給出：對(duì)于初始時(shí)刻速度，也須用差分格式給出： 0 xl計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 65/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法a1 向前差分：向前差分： ,0,0,1,02,1,0212( )( )( )( )iiiiiiiiiixttxxx,01,112( )( )( )iiiiixx

41、x誤差：誤差： ( )O h計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 66/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法a2 中心差分：中心差分： ,0,0,1, 1, 12,12( )22( )iiiiiiiixttx由由 222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k 得（得（k=0） 222,1,01,01,0, 12(1)iiiii +計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 67/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法22,1,01,01,0222,111111

42、2(1)()( )2(1)( )()()( )2iiiiiiiiiixxxxx,0122,1111112( )(1)( )()()( )2iiiiiiixxxxx誤差：誤差： 2()O h整理得：整理得： 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 68/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法b 邊界條件：邊界條件： 12(0, )( )( , )( )tg tl tg t一維波動(dòng)方程的差分格式有如下兩種一維波動(dòng)方程的差分格式有如下兩種0tT 計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 69/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法第一種：第一種： 22,1,1,1,1,01,1120,1,22(1)( )( )( )()()i ki kikiki kiikN kihihihg kgk誤差：誤差： ( )O h計(jì)算物理學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 70/75 4.3 波動(dòng)方程的差分解法波動(dòng)方程的差分解法第二種：第二種： 22,1,1,1,1,0122,111120,1,22(1)( )(1)( )(1)(1)( )2()()i ki kik