第四章 熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

1、1上節(jié)回顧上節(jié)回顧穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程邊界條件邊界條件初始條件初始條件能量守恒方程能量守恒方程傅里葉導(dǎo)熱定律傅里葉導(dǎo)熱定律典型一維穩(wěn)態(tài)典型一維穩(wěn)態(tài)肋片導(dǎo)熱肋片導(dǎo)熱有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱集中參數(shù)法集中參數(shù)法Bi數(shù)數(shù)Fo數(shù)的影響數(shù)的影響數(shù)數(shù) 值值 解解 法法2引述引述l對于工程中遇到的許多對于工程中遇到的許多幾何形狀幾何形狀或或邊界條件邊界條件復(fù)雜的導(dǎo)熱問復(fù)雜的導(dǎo)熱問題，由于數(shù)學(xué)上的困難目前仍為得到其分析解。題，由于數(shù)學(xué)上的困難目前仍為得到其分析解。l隨著計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，對物理問題進(jìn)行隨著計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，對物理問題進(jìn)行離散求解的離散求解的數(shù)

2、值方法數(shù)值方法發(fā)展十分迅速，在求解復(fù)雜導(dǎo)熱問題上得到了廣發(fā)展十分迅速，在求解復(fù)雜導(dǎo)熱問題上得到了廣泛應(yīng)用。泛應(yīng)用。3引言引言l數(shù)值方法主要有：數(shù)值方法主要有：有限差分法有限差分法、有限元法及邊界元法。、有限元法及邊界元法。l有限差分法有限差分法具有物理概念明確、實(shí)施方法簡便的特點(diǎn)。具有物理概念明確、實(shí)施方法簡便的特點(diǎn)。l本章以本章以為主，為今后數(shù)值計算（也稱數(shù)值模擬）為主，為今后數(shù)值計算（也稱數(shù)值模擬）做理論準(zhǔn)備。做理論準(zhǔn)備。4第四章第四章 熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法主講人：郭智群主講人：郭智群5目錄目錄導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方

3、法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解6導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l4.1.1 數(shù)值數(shù)值求解的基本思想求解的基本思想： 把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，如導(dǎo)熱把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，如導(dǎo)熱物體的物體的溫度場溫度場，用有限個，用有限個離散點(diǎn)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程代數(shù)方程，來獲得離散，來獲得離散點(diǎn)上點(diǎn)上被求物理量的值被求物理量的值。 這些被求物理量的值的集合稱為該物

4、理量的這些被求物理量的值的集合稱為該物理量的數(shù)值解數(shù)值解。7導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l4.1.2 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場8導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l以下圖所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的以下圖所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱

5、問題為例，對數(shù)值求解過程的六個步驟進(jìn)一步說明。導(dǎo)熱問題為例，對數(shù)值求解過程的六個步驟進(jìn)一步說明。h2,tfWHh3,tft0h1,tfxy9導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場10導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l（1）建立控制方程及定解條件）建立控制方程及定解條件 導(dǎo)熱問題的控制方程即為導(dǎo)熱微分

6、方程。導(dǎo)熱問題的控制方程即為導(dǎo)熱微分方程。 二維、穩(wěn)態(tài)、二維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題的導(dǎo)熱微分方程為：無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題的導(dǎo)熱微分方程為：22220ttxy 11導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想四個邊界條件：四個邊界條件： 02130,0,fffxtttxHhttxtyhttytyWhtty h2,tfWHh3,tft0h1,tfxy12導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭

7、代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場13導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l（2）區(qū)域離散化）區(qū)域離散化MNm,nnmyx需要掌握的概念：需要掌握的概念：1、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)，、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)，node）2、步長（、步長（step length）3、均分網(wǎng)絡(luò)、均分網(wǎng)絡(luò)4、元體（、元體（element ）或）或控制容積（控制容積（control volume）14導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l（2）區(qū)域離散化）區(qū)域離散化MNm,nnmyx1、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：用一系、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：用一系列與坐標(biāo)平行的網(wǎng)格線把

8、求列與坐標(biāo)平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，以網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確以網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱為定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)（也稱為結(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)（也稱為結(jié)點(diǎn)，node）節(jié)點(diǎn)位置以該點(diǎn)在兩個方向節(jié)點(diǎn)位置以該點(diǎn)在兩個方向上的標(biāo)號上的標(biāo)號m、n來表示。來表示。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)15導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l（2）區(qū)域離散化）區(qū)域離散化MNm,nnmyx2、步長（、步長（step length）：）：相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的距離稱相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的距離稱為步長。記為為步長。記為x、 y。步長步長16導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本

9、思想l（2）區(qū)域離散化）區(qū)域離散化MNm,nnmyx3、均分網(wǎng)格、均分網(wǎng)格x方向和方向和y方向是方向是各自均分各自均分的，的，稱為均分網(wǎng)格。根據(jù)實(shí)際問稱為均分網(wǎng)格。根據(jù)實(shí)際問題的需要，網(wǎng)格的劃分常常題的需要，網(wǎng)格的劃分常常是不均勻的是不均勻的。17導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l（2）區(qū)域離散化）區(qū)域離散化MNm,nnmyx4、元體（、元體（element）或控制容積）或控制容積（control volume）每個節(jié)點(diǎn)按都可以看做是以它為每個節(jié)點(diǎn)按都可以看做是以它為中心的一個小區(qū)域的代表，它由中心的一個小區(qū)域的代表，它由相鄰兩節(jié)點(diǎn)連線的中垂線構(gòu)成。相鄰兩節(jié)點(diǎn)連線的中垂線構(gòu)

10、成。這樣節(jié)點(diǎn)所代表的小區(qū)域稱為元這樣節(jié)點(diǎn)所代表的小區(qū)域稱為元體或控制容積。體或控制容積。18導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場19導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l設(shè)立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程成為節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程成為離散方程離散方程（discret

11、ization equation）。）。當(dāng)當(dāng)x=y時時，有，有 ,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt MNm,nnmyx上式即上式即為為x=y時時位于位于計算區(qū)域內(nèi)計算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)（部的節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)）的代數(shù)方程。）的代數(shù)方程。20導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場21導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基

12、本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l設(shè)立迭代初場設(shè)立迭代初場直接解法直接解法迭代解法迭代解法代數(shù)方程組代數(shù)方程組的解法的解法有限差分法有限差分法預(yù)設(shè)初場預(yù)設(shè)初場（initial field）22導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場23導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組左圖

13、中，除左圖中，除m=1的左邊界的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度為已知外，上各節(jié)點(diǎn)的溫度為已知外，其余（其余（M-1）N個節(jié)點(diǎn)都個節(jié)點(diǎn)都需要建立離散方程，一共需要建立離散方程，一共（M-1）N個代數(shù)方程，個代數(shù)方程，構(gòu)成了一個構(gòu)成了一個封閉封閉的代數(shù)方的代數(shù)方程組。程組。MNm,nnmyxh2,tfWHh3,tft0h1,tfxy24導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂是否收斂解

14、的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場25導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想討論是否收斂討論是否收斂u是否收斂的判斷是指是否收斂的判斷是指判斷本次迭代計算所得之解與上一次判斷本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差時候小于允許值迭代計算所得之解的偏差時候小于允許值。u代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)的系數(shù)在整個求解過程中不代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)的系數(shù)在整個求解過程中不再變化，稱為再變化，稱為線性問題線性問題。u如果物性為溫度系數(shù)，在迭代過如果物性為溫度系數(shù)，在迭代過程中系數(shù)要相應(yīng)地不斷更新。這種程中系數(shù)要相應(yīng)地不斷更新。這種問題稱為問題稱為非線性問題非線性問題。26導(dǎo)

15、熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 是否收斂？是否收斂？解的分析解的分析否否是是改進(jìn)初場改進(jìn)初場27導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想解的分析解的分析u獲得溫度分布有時并不是工程問題的最終目的，溫度場進(jìn)一獲得溫度分布有時并不是工程問題的最終目的，溫度場進(jìn)一步用于步用于計算熱流量計算熱流量或或計算設(shè)備、零部件的熱應(yīng)力計算設(shè)備、零部件的熱應(yīng)力及及熱形變熱形變等。等

16、。u因此，對于數(shù)值計算所獲得的溫度場及所需的一些其他物理因此，對于數(shù)值計算所獲得的溫度場及所需的一些其他物理量應(yīng)作仔細(xì)分析，以獲得定性或定量上的一些新的結(jié)論。量應(yīng)作仔細(xì)分析，以獲得定性或定量上的一些新的結(jié)論。28導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想學(xué)習(xí)數(shù)值求解需要注意：學(xué)習(xí)數(shù)值求解需要注意：1、對于規(guī)則區(qū)域，網(wǎng)格的劃分與節(jié)點(diǎn)的生成容易進(jìn)行，不規(guī)則對于規(guī)則區(qū)域，網(wǎng)格的劃分與節(jié)點(diǎn)的生成容易進(jìn)行，不規(guī)則區(qū)域較難生成；區(qū)域較難生成；2、對數(shù)值解的分析是解決實(shí)際問題過程中的重要一步，但不涉對數(shù)值解的分析是解決實(shí)際問題過程中的重要一步，但不涉及數(shù)值解本身的技術(shù)；及數(shù)值解本身的技術(shù)；3、本章

17、重點(diǎn)放在本章重點(diǎn)放在如何建立離散方程組如何建立離散方程組，以及，以及如何求解離散方程如何求解離散方程組上組上。29目錄目錄l導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解30內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法m-1,nm,n+1m,n-1m+1,nxy取均勻網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)（取均勻網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)（m,n）及其鄰點(diǎn)放大如上圖所示。）及其鄰點(diǎn)放大如上圖所示。建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的方法有：建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的方法有： 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法 熱平衡法熱平衡法31

18、以以節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（m,n）處的二階偏導(dǎo)為例，用泰勒法來導(dǎo)出其差分處的二階偏導(dǎo)為例，用泰勒法來導(dǎo)出其差分表達(dá)式。對節(jié)點(diǎn)（表達(dá)式。對節(jié)點(diǎn)（m+1,n）（）（m-1,n）分別寫出函數(shù)）分別寫出函數(shù) t 對對（m,n）點(diǎn)泰勒級數(shù)展開式：）點(diǎn)泰勒級數(shù)展開式：內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l4.2.1 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法2233,23,1,26m nm nmm nmnntxtxttxxxxt 2233,23,1,- ,-26m nmmnmmnnntxtxttxxxtx 32內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法2444,2,2,-11,212mnmnnnnmmmtxtx

19、ttxtx 兩式相加得：兩式相加得：將上式改寫成二階偏導(dǎo)的表示式有：將上式改寫成二階偏導(dǎo)的表示式有：21,1,2222+()mnm nmnttttOxxx 式中：式中：O(x2)稱為稱為截斷誤差截斷誤差，表示未寫出的級數(shù)余項(xiàng)中，表示未寫出的級數(shù)余項(xiàng)中x的的最低階數(shù)為最低階數(shù)為2。33內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l在進(jìn)行數(shù)值計算時，希望得出用三個鄰節(jié)點(diǎn)上的值表示的二階導(dǎo)在進(jìn)行數(shù)值計算時，希望得出用三個鄰節(jié)點(diǎn)上的值表示的二階導(dǎo)數(shù)的近似的代數(shù)表達(dá)式，為此略去其數(shù)的近似的代數(shù)表達(dá)式，為此略去其截斷誤差截斷誤差O(x2)，可得：，可得：2,1,122,2+m nm nm nm ntt

20、ttyy 這就是二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，稱為這就是二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，稱為中心差分中心差分（central differerce）。）。同理可得：同理可得：21,1,22,2+mnm nmnm nttttxx 34內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l將內(nèi)節(jié)點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式代入控制方程得：將內(nèi)節(jié)點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式代入控制方程得：1,1,1,1222+2+0mnm nmnm nm nm nttttttxy （4-2） ,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt 當(dāng)當(dāng)x=y 時，有時，有35內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l在均分網(wǎng)格中，一、二階

21、導(dǎo)數(shù)的常見的離散（差分）表達(dá)式在均分網(wǎng)格中，一、二階導(dǎo)數(shù)的常見的離散（差分）表達(dá)式i點(diǎn)的中心差分點(diǎn)的中心差分i點(diǎn)的中心差分點(diǎn)的中心差分i點(diǎn)的向點(diǎn)的向后后差分差分i點(diǎn)的向點(diǎn)的向前前差分差分備注備注截斷誤差截斷誤差差分表達(dá)式差分表達(dá)式導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)itx 22itx 1iittx 1iittx 112iittx 1122iiitttx Ox Ox 2Ox 2Ox 36內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l當(dāng)給出一個導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式時必須明確是對當(dāng)給出一個導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式時必須明確是對哪一點(diǎn)哪一點(diǎn)建立建立的；的；l上面的分析對柱坐標(biāo)與極坐標(biāo)都適用；上面的分析對柱坐標(biāo)與極坐標(biāo)都適用；l對于非均分

22、網(wǎng)格，其中心差分表達(dá)式較復(fù)雜，適用于對于非均分網(wǎng)格，其中心差分表達(dá)式較復(fù)雜，適用于熱平熱平衡法。衡法。37內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l4.2.2 熱平衡法熱平衡法 采用熱平衡法時，對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體采用熱平衡法時，對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體用傅里葉導(dǎo)用傅里葉導(dǎo)熱定律直接寫出其能量守恒表達(dá)式熱定律直接寫出其能量守恒表達(dá)式。此時把節(jié)點(diǎn)看成是元體。此時把節(jié)點(diǎn)看成是元體的代表。的代表。節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（m-1,n）通過界面）通過界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱流量可表示為：）的熱流量可表示為：1,mnm nttyx m-1,nm,n+1m,n-1m+1,nxynwes38將傅里

23、葉定律表達(dá)式代入可得：將傅里葉定律表達(dá)式代入可得：內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法0ewns 同理可得其他三個相鄰節(jié)點(diǎn)傳導(dǎo)給同理可得其他三個相鄰節(jié)點(diǎn)傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱量。對于元體）的熱量。對于元體（m,n）的能量守恒方程為：）的能量守恒方程為：1,1,1,1,0mnm nmnm nm nm nm nm nttttttttyyxxxxyy m-1,nm,n+1m,n-1m+1,nxynwes39內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法l在熱平衡法中直接將能量守恒定律和傅里葉定律應(yīng)用于節(jié)在熱平衡法中直接將能量守恒定律和傅里葉定律應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積。物理概

24、念清晰，推導(dǎo)過程簡潔。點(diǎn)所代表的控制容積。物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡潔。l對于非均分網(wǎng)格上述結(jié)果同樣適用。只需將節(jié)點(diǎn)間間距的對于非均分網(wǎng)格上述結(jié)果同樣適用。只需將節(jié)點(diǎn)間間距的不同反映到離散方程中。不同反映到離散方程中。參考參考例題例題4-240目錄目錄l導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想l內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解41邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解l4.3.1 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 對于含有第二、三類邊界條件的導(dǎo)

25、熱問題，由內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組對于含有第二、三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，由內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的方程組成的方程組不封閉不封閉，因?yàn)槠渲泻形粗倪吔鐪囟龋蚨?，因?yàn)槠渲泻形粗倪吔鐪囟?，因而，才能使方程組封閉。，才能使方程組封閉。假設(shè)物體具有內(nèi)熱源假設(shè)物體具有內(nèi)熱源 ，用熱平衡法導(dǎo)出，用熱平衡法導(dǎo)出三類典型邊界節(jié)點(diǎn)三類典型邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。的離散方程。1）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)；）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)；2）外部角點(diǎn)；）外部角點(diǎn)；3）內(nèi)部角點(diǎn)；）內(nèi)部角點(diǎn)； 42邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解,11,1,2220mmnm nmwnmm nm nnntttt

26、xxyttyxx yyyq 1）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn): 陰影區(qū)域所示，設(shè)邊界上有向陰影區(qū)域所示，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度該元體傳遞的熱流密度qw,于是該元于是該元體的能量守恒定律可表示為：體的能量守恒定律可表示為：qwnmm-1,n43邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解,1,12,1,2124m nm nwmmnnnmxqttttx 當(dāng)當(dāng)x=y時，上式簡化為：時，上式簡化為：qwnmm-1,n44邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解2）位于外部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)）位于外部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn): 陰

27、影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（陰影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（m,n）僅代）僅代表表1/4以以x、y為邊長的元體，設(shè)邊為邊長的元體，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度界上有向該元體傳遞的熱流密度qw,于于是該元體的能量守恒定律可表示為：是該元體的能量守恒定律可表示為：qwnmm,nyxm,n -1m,nyxm,n -1m+1,n1,1,22042mnmwnnmm nnmttxxttyxqyxyy 45邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解qwnmm,nyxm,n -1m,nyxm,n -1m+1,n當(dāng)當(dāng)x=y時，上式簡化為：時，上式簡化為：,1,212221wmnmmnnnmxxq

28、ttt 46邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解qwnmm,n-1m,nyxm,n+1m-1,nm+1,n3）位于內(nèi)部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)）位于內(nèi)部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn): 陰影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（陰影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（m,n）僅代表僅代表3/4個元體，設(shè)邊界上有向個元體，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度該元體傳遞的熱流密度qw,于是該于是該元體的能量守恒定律可表示為：元體的能量守恒定律可表示為：,1,1,1,1,232024m nm nmmnm nmnm nmnwnmnttttyyxxttttxxxxyyyyq 47邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

29、及代數(shù)方程的求解討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：1）絕熱邊界：絕熱邊界： qw=02）qw值不為值不為0：以給定熱流密度值代入，需：以給定熱流密度值代入，需注意注意傳入計算區(qū)域的熱量為正。傳入計算區(qū)域的熱量為正。3）對流邊界：將熱流密度表達(dá)式對流邊界：將熱流密度表達(dá)式qw=h(tf-tm,n)代入代入離散方程即可。離散方程即可。48邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.3.3 求解代數(shù)方程的迭代法求解代數(shù)方程的迭代法1、高斯、高斯-賽德爾迭代法賽德爾迭代法以三元方程為例說明實(shí)施步驟以三元方程為例說明實(shí)施步驟11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb 其中其中ai,j(i=1,2,3,j=1,2,3)及及bi(i=1,2,3)是已知的非零系數(shù)及常數(shù)。是已知的非零系數(shù)及常數(shù)。49邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 (1)將三元方程組改寫成關(guān)于將三元方程組改寫成關(guān)于t1、t2、t3的顯式形式（迭代方的顯式形式（迭代方程），如程），如 1112 213 3112221 123 3223331 132 233111tba