恒成立與有解問題(解析版)

1、恒成立與有解問題練習參考答案1.假設不等式2?為+?8<0對一切實數(shù)？都成立,那么實數(shù)？的取值范圍為A.(-3,0)B.(-3,0C.(-8,0D,(-8,-3)U0,+oo)【答案】B【解析】【分析】分？?=0,?w0兩種情況,當？?=0,-：<.又?e?亙成立,當？?w0時,需開口向下,判別式小8于0,不等式恒成立.【詳解】當？?=0時,原不等式可化為-3<0,對？e?'亙成立；82?<0當？-時,原不等式恒成立,需?=?-彳“？X(-8)<0,解得？C(-3,0),綜上？?e(-3,0.應選B.【點睛】此題主要考查了分類討論思想,二次不等式恒成立的條

2、件,屬于中檔題2.假設關(guān)于x的不等式"1)X2(k1)XXX1【答案】1k9【解析】【分析】先判斷分母X2X1X12k1時,和k1時兩種情況分類討論.2【詳解】由于X2X1X1324(k1)x2(k1)x20恒成立,當k1時,20成立,k10當k1時,那么2k18k1綜上：1k9.故答案為：1k9.0的解集為R,那么k的范圍為232-0那么問題轉(zhuǎn)化為(k1)x2(k1)x20恒成立,再分4c(k1)X2(k1)x2c岑f0,所以)2'0等價于XX1【點睛】此題主要考查了不等式恒成立問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的水平,屬于中檔題3.假設一元二次不等式2kx2+kx-3

3、<0對一切實數(shù)x都成立,那么k的取值范圍為()OA.(-3,0B,-3,0)C.-3,0D.(-3,0)【答案】D3.c.3【斛析】:2kx2+kx一10為一兀二次不等式,kwQ又2kx2+kx不0對一切實數(shù)x都成立,2k0那么必有,解得3<k<0.04 .假設函數(shù)y10g2(kx22kx8)的定義域為一切實數(shù),那么實數(shù)k的取值范圍為.【答案】0,8)【解析】【分析】首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為kx22kx8,對任意白實數(shù)x恒成立,再分別討論k0和k0的情況即可.【詳解】由于函數(shù)y10g2(kx22kx8)的定義域為一切R,等價于kx22kx8,對任意的實數(shù)x恒k0成立.當k0時,80

4、,符合條件.當k0時,20k8.綜上0k8.4k232k0【點睛】此題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的,同時考查了二次不等式的恒成立問題,屬于中檔題5 .設函數(shù)f(x)=mx2mx1.假設對于xC1,3,f(x)<m+5恒成立,求m的取值范圍.【分析】此題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,也可以通過分類參數(shù)求解1 C3要使f(x)<-m+5在xC1,3上恒成立,即mx-22+4m-6<0在xC1,3上恒成立.有以下兩種方法：人,、1o3令g(x)=mx22+m6,xC1,3.(1)當m>0時,g(x)在1,3上是增函數(shù),所以g(x)max=g(3)?7m-6<0,所以m&

5、lt;6,所以0<m<7；(2)當m=0時,一6<0恒成立；(3)當m<0時,g(x)在1,3上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1)?m6<0,所以m<6,所以m<0.綜上所述,m的取值范圍是m|m<7.6.不等式mx2-2x-m+1<0,是否存在實數(shù)m對所有白實數(shù)x,使不等式恒成立？假設存在,求出m的取值范圍；假設不存在,請說明理由.【解析】不等式mx22xm+1<0恒成立,即函數(shù)f(x)=mx22xm+1的圖象全部在x軸下方.,一,一1當m=0時,12x<0,那么x>1,不滿足題意；當mwo時,f(x)=mx22xm

6、+1為二次函數(shù),需滿足開口向下且方程mx22xm+1=0無解,口HmO-r八即,不等式組的解集為空集,即m無解.0綜上可知,不存在這樣的m.7.二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1,假設在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)x使f(x)0,那么實數(shù)P的取值范圍是.3【答案】(3,3)2【解析】由于二次函數(shù)fx在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)x,使f(x)0的否認是：函數(shù)fx在區(qū)間1,1內(nèi)任意實數(shù)x,使f(x)0,所以f(1)0即42(p2)2p2p12f(1)042(p2)2p2p12p22p23p90p10,解得3,所以二次函數(shù)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)x,使f(x)03的實數(shù)p的取值范圍

7、是(3,3).【點晴】此題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,其中解答中涉及到一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式組的求解、命題的轉(zhuǎn)化等知識點的綜合考查,著重考查了學生分析問題和解答問題的水平,其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象是開口方向朝上的拋物線,得到對于區(qū)間1,1內(nèi)的任意一個x都有f(x)0時,得到不等式組是解答的關(guān)鍵,屬于中檔試題.8 .函數(shù)f(x)x2mx1,假設對于任意xm,m1,都有f(x)0成立,那么實數(shù)m的取值范圍是【答案】(,0)2【解析】由題意可得f(x)0對于xm,m1上恒成立,即f(m)2m21一一2f(m1)2m03m0解得m0.2對任意mC1,1,函數(shù)f(x)=x2+(

8、m4)x+42m的值恒大于零,求x的取值范圍.【答案】(00,1)U(3,+8)【解析】由f(x)=x2+(m4)x+42m=(x2)m+x24x+4,令g(m)=(x2)m+x24x+4,那么原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)問題.由題意知在1,1上,g(m)的值恒大于零,g1=x2X1+x24x+4>0,c解得x<1或x>3.g1=x-2+x2-4x+4>0,故當x的取值范圍是(一8,1)U(3,+8時,對任意的m-1,1,函數(shù)f(x)的值恒大于零.9 .不等式x22x5a23a對任意實數(shù)x恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍為.【答案】1,4【解析】【分析】根據(jù)二次不等式的恒成

9、立問題,先求解不等式左邊的最小值,再求解二次不等式即可.【詳解】由于x22x5x1244,故4a23a恒成立.即a23a40a1a40,解得1a4.實數(shù)a的取值范圍為1,4.故答案為：1,4【點睛】此題主要考查了二次不等式恒成立的問題,需要求解二次函數(shù)的最值進行分析,屬于根底題.10 .己知？(?=?+2?+1+?(?(?)0恒成立,貝U實數(shù)a的取值范圍為()_V5-3_A.-2,+°°B.-2,+°°C.-1,+O°)D.0,+°°)【答案】B【解析】設t=f(x)=(?+1)2+a>a,.-.f(t)>0對任

10、意t>a恒成立,即(?+1)2+a>0對任意tCa,+8)都成立,當a<-1時f(t)min=f(-1)=a,那么a+a>0即a>0與討論a<-1矛盾,當a>-1時,f(t)min=f(a)=a2+3a+1,那么a2+3a+1>0,解得a>-2,應選B.11 .函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+1(aCR,bCR),對任意實數(shù)x都有f(1x)=f(1+x)成立,當xC-1,1時,f(x)>0恒成立,那么b的取值范圍是()A.1<b<0B.b>2C.b<-1或b>2D.不能確定【答案】C【解析】由f(1

11、x)=f(1+x)知f(x)圖象的對稱軸為直線x=1,那么有a=1,故a=2.,由f(x)的圖象可知f(x)在1,1上為增函數(shù).,xC1,1時,f(x)min=f(1)=12+b2b+1=b2b2,令b2b2>0,解得b<1或b>2.12.在？北定義運算？：？?？?=?(1-?)假設不等式(?-?)?(?+?)<1對任意實數(shù)？相成立,那么實數(shù)？的取值范圍為()A.-1<?<1B.3?<萬31C-2<?<2D-0<?<2【解析】根據(jù)題設新定義的運算,可得(?-?)?(?+?)=(?X1-?-?,所以(?-?)?(?+?)<1

12、可轉(zhuǎn)化為(?(1-?<1,即？-?+(1-?+?>0恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知？?=1-4(1-?+?<0,解得-1<?<3,應選B.13.假設對于任意的x>0,不等式mx<"+2x+4恒成立,那么實數(shù)m的取值范圍為(A.(-8,4B.(一£6C.-2,6D.6,+8)【解析】當x>0時,mx<x2+2x+4?ma+4?+2對任意實數(shù)x>0恒成立,令f(x)4-=x+?+2,那么m<(x)【解析】由題意知,2ax(a1)xa10恒成立,所以aa0(a1)24a(a1)0a023a22a10min,1-1f

13、(x)=x+?+2>2/?+2=6,m<6應選B.14.不等式?為+2?對于?1,2,?2,3恒成立,那么?的取值范圍是A.1,+8)B.-1,4)C.-1,+8)D.-1,6【解析】不等式？?？?+2?對于？C1,2,?C2,3恒成立,等價于？>?-2(芻對于？C1,2,?2,3恒成立,令？?=焉那么1w?c3,.?>?2?在1,3上恒成立,.?=-2?2+?=-2(?-T)2+1,.?=1時,？?ax=-1,.？?>-1,?的取值范圍是-1,+oo),應選C.2一一_15.假設關(guān)于x的二次不等式ax(a1)xa10恒成立,那么實數(shù)？的取值范圍是【分析】利用a的

14、符號及判別式求解1a-.,a的取值范圍是3【評注】此題假設無七次不等式的條件,還應考慮a0的情況,但對此題講a0時式子不恒成立.只有定義在R上的恒二次不等式才能實施判別式法；否那么,易造成失解16.假設不等式？?+?3?>?3-4?5|又?e-1,5恒成立,那么實數(shù)?的取值范圍為【答案】?>2【解析】假設不等式?3?>?-4?-5|卡:寸？C-1,5恒成立,5|,?e-1,5圖象的上方,如圖:?=?+3)?=5+4?-?4)?+3?-5=0令?=(?4)2-4(3?-5)=0,k=2或18(舍去)?>2,故答案為：？?>217.設函數(shù)f(x)mx2mx(1)假設對

15、于一切實數(shù)f(x)0恒成立,求m的取值范圍;(2)假設對于x1,3,f(x)m2(x1)恒成立,求m的取值范圍.【答案】(1)(8,0(2)m【分析】(1)由不等式mx2mx20恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),分類討論,即可求解;要使對于x1,3,f(x)m2(x1)恒成立,整理得只需2x2xx-恒成立,結(jié)合根本不等式1求得最值,即可求解.(1)由題意,要使不等式mxmx20恒成立,當m0時,顯然20成立,所以m0時,不等式mx2mx0恒成立；當m0時,只需8m0,解得8m0,綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為(8,0.(2)要使對于x1,3,f(x)m2(x1)恒成立,只需mx2mxm2x恒成立,只需

16、2x,又由于x2x130,只需42xx2x1'ymax即可,由于2'.x?X2,當且僅當1r-、一,即x1時等式成立;x由于1,3,所以ymax2,所以2.【點睛】此題主要考查了含參數(shù)的不等式的恒成立問題的求解,其中解答中把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵,著重考查了分類討論思想,以及轉(zhuǎn)化思想的應用,屬于根底題18.aCR,函數(shù)f(x)=x2-2ax+5.(1)假設a>1,且函數(shù)f(x)的定義域和值域均為1,a,求實數(shù)a的值;(2)假設不等式x|f(x)-x2|1對xCL1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.3225【答案】(1)2；(2)25a7.8【分析】(1)根據(jù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=a>1,知f(x)在1,a上單調(diào)遞減,所以f(1)=a求解即可.(2)將不等式x|f(x)-x2|1對xC131,-,八,一恒成立,去絕對值轉(zhuǎn)化為a25x15x1一2-JeLa2-"tE2x2x1xC一,31,八,一恒成立,分別令2g(x)5x2x25125,xe-,1一-,用二次函數(shù)求其最大值,2令h(x)5x112x2225【詳解】(1)f(1)=a,(2)不等式5x12x2,xC1,31,-,求其最小值即可.2f(x)的圖象開口向上,對稱