等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題與解析

1、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義：，稱為公比2、通項(xiàng)公式：，首項(xiàng)：；公比：推廣：3、等比中項(xiàng)：（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即：或注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對(duì)任意的，都有為等比數(shù)列（2）等比中項(xiàng)：為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對(duì)任何，在等比數(shù)列中，有。（3）若，則。特別的，當(dāng)時(shí)，得 注：（4）數(shù)列，為等比數(shù)列，則數(shù)列，（為非零常數(shù)）均為等比數(shù)

2、列。（5）數(shù)列為等比數(shù)列，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)仍為等比數(shù)列（6）如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列（7）若為等比數(shù)列，則數(shù)列，成等比數(shù)列（8）若為等比數(shù)列，則數(shù)列，成等比數(shù)列（9）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）；當(dāng)時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.（10）在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí)，二 例題解析【例1】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snpn(pR，nN*)，那么數(shù)列an（ ）A 是等比數(shù)列 B當(dāng)p0時(shí)是等比數(shù)列B C當(dāng)p0，p1時(shí)是等比數(shù)列 D不是等比數(shù)列【例2】 已知等比數(shù)列1，x1，x2，x2n，2，求x1·x2·x3··x2n式；

3、(2)已知a3·a4·a58，求a2a3a4a5a6的值【例4】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0三、 考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：等比數(shù)列定義的應(yīng)用1、數(shù)列滿足，則_2、在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用1、已知等差數(shù)列的公差為，若，成等比數(shù)列，則（ ）A B C D2、若、成等比數(shù)列，則函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）AB CD不確定3、已知數(shù)列為等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式考點(diǎn)三：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算1、若公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（ ）A B C D

4、2、已知等比數(shù)列中，則該數(shù)列的通項(xiàng)_3、若為等比數(shù)列，且，則公比_4、設(shè)，成等比數(shù)列，其公比為，則的值為（ ）AB C D5、等比數(shù)列an中，公比q=且a2+a4+a100=30，則a1+a2+a100=_.考點(diǎn)四：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用1、在等比數(shù)列中，如果，那么為（ ）A B C D2、如果，成等比數(shù)列，那么（ ）A，B，C， D，3、在等比數(shù)列中，則等于（ ）ABCD4、在等比數(shù)列中，則等于（ ）A B C D5、在等比數(shù)列中，和是二次方程的兩個(gè)根，則的值為（ ）ABCD6、若是等比數(shù)列，且，若，那么的值等于考點(diǎn)五：公式的應(yīng)用1、若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+an，滿足條件l

5、og2Sn=n，那么an是( )A.公比為2的等比數(shù)列 B.公比為的等比數(shù)列C.公差為2的等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2、 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=2n-1，則前n項(xiàng)的平方和為( )A. (2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)3、 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n+r，那么r的值為_(kāi).一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項(xiàng)公式（）中項(xiàng)（）（）前項(xiàng)和重要性質(zhì)二、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)）， 通項(xiàng)：等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列前項(xiàng)和：性質(zhì)：是等差數(shù)列（1）若，則（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)

6、和分別為，則（4）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，可能有最大值或最小值）（5）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，.(6)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有，.三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），通項(xiàng)：.等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列，或.前項(xiàng)和：（要注意q ?。┬再|(zhì)：是等比數(shù)列（1）若，則（2）仍為等比數(shù)列,公比為.四、數(shù)列求和的常用方法：1、裂項(xiàng)分組法：、 2、錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法，例：求：解： 減得：從而求出。錯(cuò)位相減法的步驟：(1)將要求和的雜數(shù)列前后各寫(xiě)出三項(xiàng)，列出式；(2)將式左右兩邊都乘以公比q，得到式；(3)用，錯(cuò)位相減；(4)化簡(jiǎn)計(jì)

7、算。3、倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法例：等差數(shù)列求和：兩式相加可得：即 ：所以等比數(shù)列·例題解析 【例1】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snpn(pR，nN*)，那么數(shù)列an A是等比數(shù)列B當(dāng)p0時(shí)是等比數(shù)列C當(dāng)p0，p1時(shí)是等比數(shù)列D不是等比數(shù)列【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，x2n，2，求x1·x2·x3··x2n式；(2)已知a3·a4·a58，求a2a3a4a5a6的值【例4】已知a0，b0且ab，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比數(shù)列，求【例5】

8、 設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0【例8】 若a、b、c成等差數(shù)列，且a1、b、c與a、b、c2都成等比數(shù)列，求b的值【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值；(2)b16是不是an中的項(xiàng)？【例11】 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)【例12】 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)

9、成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)【例13】 已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84求這兩個(gè)數(shù)列【例14】 已知在數(shù)列an中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列【例15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列等比

10、數(shù)列·例題解析 【例1】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snpn(pR，nN*)，那么數(shù)列an A是等比數(shù)列B當(dāng)p0時(shí)是等比數(shù)列C當(dāng)p0，p1時(shí)是等比數(shù)列D不是等比數(shù)列分析由Snpn(nN*)，有a1=S1p，并且當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D說(shuō)明數(shù)列an成等比數(shù)列的必要條件是an0(nN*)，還要注【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，x2n，2，求x1·x2·x3··x2n解1，x1，x2，x2n，2成等比數(shù)列，公比q21·q2n+1x1x2x3x2nq&

11、#183;q2·q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3·a4·a58，求a2a3a4a5a6的值a42【例4】已知a0，b0且ab，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比數(shù)列，求證明設(shè)這n2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2證法一a、b、c、d成等比數(shù)列b2ac，c2bd，adbc左邊=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右邊證畢證法二a、b、c、d成等

12、比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：baq，caq2，d=aq3左邊(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右邊證畢說(shuō)明這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目證法一是抓住了求證式中右邊沒(méi)有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列an1是等比

13、數(shù)列an1=3·3n-1an=3n1an+1an是等比數(shù)列，即an+1an=(a2a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2a1=3，a3a2=3·21，a4a3=3·22，anan-1=3·2n-2，這些等式相加，即可以得到說(shuō)明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知(1)中發(fā)現(xiàn)an1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1an是等比數(shù)列，這也是通常說(shuō)的化歸思想的一種體現(xiàn)證a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)上述方程的判別式0，即又a1、a2、a3為實(shí)數(shù)因而a1、a2、a3成等比數(shù)列a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比【例8】若a、

14、b、c成等差數(shù)列，且a1、b、c與a、b、c2都成等比數(shù)列，求b的值解設(shè)a、b、c分別為bd、b、bd，由已知bd1、b、bd與bd、b、bd2都成等比數(shù)列，有整理，得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)·4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值；(2)b16是不是an中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程(2)b16=b1·d15=32b1b16=32b1=32a1，如果b16是an中的第k項(xiàng)，則32a1=a1(k1

15、)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34項(xiàng)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1(n1)d解這個(gè)方程組，得a1=1，d=2或a1=3，d=2當(dāng)a1=1，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=2n3當(dāng)a1=3，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=52n【例11】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)解法一按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比數(shù)列即：(aq4)2=a(aq232)解法二按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為bd，b

16、4，bd由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比數(shù)列即b2=(bd)(bd32)解法三任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列a1，a24，a3成等差數(shù)列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比數(shù)列得：(a24)2=a1(a332)說(shuō)明將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為ad，a，ad；將三個(gè)成簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的作用【例12】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為ad，a，ad，則第四

17、個(gè)數(shù)由已知條方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2bbq方法三設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x，y，則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12y，16x由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2bbq所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法三設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x，y，12y，16x這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1【例13】已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84求這

18、兩個(gè)數(shù)列解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42這三個(gè)數(shù)可寫(xiě)成42d，42，42d再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2由題設(shè)，得解這個(gè)方程組，得a1=17或a2=68當(dāng)a=17時(shí)，q=2，d=26從而得到：成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)為17，34，68，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為68，42，16；或者成等比的三個(gè)數(shù)為68，34，17，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為17，42，67【例14】已知在數(shù)列an中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列證明由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比數(shù)列【例15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為