第五章--GM系列模型

1、南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所第五章第五章 GMGM系列模型系列模型 2 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型 引 言 基于概率統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)模型GM系列模型1.針對(duì)針對(duì)“小樣本小樣本”、“貧信息貧信息”問問 題，特點(diǎn)是少數(shù)據(jù)建模；題，特點(diǎn)是少數(shù)據(jù)建模；2.依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作作 用挖掘事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。用挖掘事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。1.1.針對(duì)針對(duì)“隨機(jī)不確定隨機(jī)不確定”現(xiàn)象；現(xiàn)象；2.2.要求大樣本；要求大樣本；3.3.對(duì)象服從某典型分布。對(duì)象服從某典型分布。3 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型本章結(jié)構(gòu)5.15.2GM(1,1)

2、GM(1,1)模型的適用范圍模型的適用范圍5.3殘差殘差GM(1,1)GM(1,1)模型模型5.4GM(1,1)GM(1,1)模型群模型群5.5GM(0,N )GM(0,N )模型模型5.6灰色灰色 VerhulstVerhulst模型模型（拓展內(nèi)容拓展內(nèi)容） GM(1,1)GM(1,1)模型的基本形式模型的基本形式4 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1)模型4種基本形式：（1）均值GM(1,1)模型(EGM)（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM)（3）均值差分GM(1,1)模型(EDGM)（

3、4）離散GM(1,1)模型(DGM) 為什么只討論這四種基本形式？6 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式原始模型移項(xiàng)、均值模型移項(xiàng)、離散模型移項(xiàng)原始差分模型、均值差分模型、離散差分模型原始微分模型、均值微分模型、離散微分模型3種基本模型原始模型 均值模型 離散模型3種求解思路直接移項(xiàng)求解差分方程求解微 分 方 程求解7 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的原始形式bkaxkx)()() 1 ()0(其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1

4、() 1 () 1 () 1 (nxxxXkiixkx1)0() 1 ()()(nk, 2 , 1Grey Model 1階方程 1個(gè)變量 GM(1,1)8 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的白化方程badtdxx)1()1(白化方程的解ababtexxat) 1 ()() 1 () 1 (9 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的均值形式bkazkx)()() 1 ()0(其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1 ()

5、 1 () 1 () 1 (nxxxX)(,),3 (),2 () 1 () 1 () 1 () 1 (nzzzZ)1()(21)() 1 () 1 () 1 (kxkxkznk,3 ,2，10 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型差分方程的解5.1 GM(1,1) 模型的基本形式（1）原始形式差分方程的解abaabxkkx)11() 1 ()() 0 () 1 (）（2）均值形式差分方程的解abaaabxkkx)5 . 015 . 01() 1 ()() 0() 1 (）（11 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的離散形式(1)

6、(1)12(1)( )xkxk其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1 () 1 () 1 () 1 (nxxxXkiixkx1)0() 1 ()()(nk, 2 , 112 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式原始差分GM(1,1) 模型ODGM的時(shí)間響應(yīng)式直接借助原始差分方程的解：的時(shí)間響應(yīng)式直接借助原始差分方程的解：原始差分GM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)式基于GM(1,1)模型的原始形式估計(jì)模型參數(shù)，直接以原始差分方程的解作為時(shí)間響應(yīng)式所得模型稱為GM(1,1)模型的原始差分形式，簡(jiǎn)稱原始差分GM(

7、1,1)模型（Original Difference Grey Model, ODGM）abaabxkkx)11() 1 ()()0() 1 (）（13 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 均值GM(1,1)模型(EGM) 定理定理3 均值GM(1，1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為：基于GM(1,1)模型的均值形式估計(jì)模型參數(shù)，借助白化微分方程式的解構(gòu)造GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式的差分、微分混合模型稱為GM(1,1)模型的均值混合形式，簡(jiǎn)稱均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）ababkexxka) 1()0() 1 () 1 ()(1

8、4 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式基于GM(1,1)模型的均值形式估計(jì)模型參數(shù)，直接以均值差分方程的解作為時(shí)間響應(yīng)式所得模型稱為GM(1,1)模型的均值差分形式，簡(jiǎn)稱均值差分GM(1,1)模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. 均值差分GM(1,1)模型EDGMEDGM的的時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)式直接借助均值差分方程的解：式直接借助均值差分方程的解：abaaabxkkx)5 . 015 . 01() 1 ()() 0 () 1 (）（15 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 離

9、散GM(1,1)模型(1)(1)12(1)( )xkxk 稱為GM(1,1)模型的離散形式GM(1,1)模型的遞推公式（時(shí)間響應(yīng)式）為16 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型17 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍明確均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和離散GM(1,1)模型(DGM)的適用范圍，為人們?cè)趯?shí)際建模過程中正確地選擇模型提供參考和依據(jù)。目的目的分別對(duì)齊次指數(shù)序列、非指數(shù)增長(zhǎng)序列和振蕩序列三類不同的序列進(jìn)行模擬分析。方法手段方法手段18 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)

10、模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍齊次指數(shù)序列模擬分析基礎(chǔ)序列基礎(chǔ)序列akiekx)()0(,k=1,2,3,4,5-a取值取值分別取a分別取-a=0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3, 0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.6,0.65,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.5,1.8等25個(gè)實(shí)數(shù) 19 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍齊次指數(shù)序列模擬分析)5 (),4(),3 (),2(),1 ()0(1)0(1)0(1)0(1)0(1)0(1xxxxx

11、X如-a=0.01,有=(1.010050,1.020201,1.030455,1.040811,1.051271)5(),4(),3(),2(),1 ()0(2)0(2)0(2)0(2)0(2)0(2xxxxxX如-a=0.02,有=(1.020201,1.040811,1.061837,1.083287,1.105171) 20 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型)0(25)0(2)0(1,XXX，5.2 GM(1,1)模型的適用范圍齊次指數(shù)序列模擬分析分別以作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDG

12、M)和離散GM(1,1)模型(DGM)，對(duì)模擬誤差進(jìn)行對(duì)比分析。21 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型表5.2.1 4種GM(1,1)模型齊次指數(shù)序列模擬誤差（%）5.2 GM(1,1)模型的適用范圍序列序號(hào)-aEGMDGMODGMEDGM10.010.0008490.0000270.0000270.00002720.020.0034680.0000130.0000130.00001330.030.0079510.0000180.0000180.00001840.040.0144030.0000040.0000040.00000350.050.0229220.0000160.000016

13、0.00001660.100.1000580.0000080.0000080.00000870.150.2440340.0000090.0000090.00000980.200.4675880.0000030.0000030.00000790.250.7835900.0000050.0000050.000006100.301.2051440.0000040.0000040.000010110.351.7456100.0000060.0000060.000010120.402.4187580.0000040.0000040.000010130.453.2388640.0000070.000007

14、0.000008140.504.2208510.0000110.0000110.00000822 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍續(xù)表5.2.1 150.555.3805070.0000030.0000030.000003160.606.7345740.0000160.0000160.000011170.658.3010400.0000090.0000090.000006180.7010.0993550.0000210.0000210.000021190.8014.4785130.0000150.0000150.000015200.9020.06844

15、90.0000160.0000160.000022211.0027.1108350.0000470.0000470.000047221.1035.9081150.0000400.0000400.000035231.2046.8448430.0001050.0001050.000105241.5098.1885000.0001290.0001290.000129251.800.0004330.0004330.00043323 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型非指數(shù)增長(zhǎng)序列模擬分析5.2 GM(1,1)模型的適用范圍基礎(chǔ)序列基礎(chǔ)序列)0(25)0(2)0(1,XXX，)0(25)0(2)0(

16、1,YYY，限定隨機(jī)數(shù)的取值范圍，圍繞齊次指數(shù)序列生成相應(yīng)的非指數(shù)增長(zhǎng)序列24 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型非指數(shù)增長(zhǎng)序列模擬分析5.2 GM(1,1)模型的適用范圍表5.2.2 4種GM(1,1)模型非指數(shù)增長(zhǎng)序列模擬誤差序列序號(hào)-aEGMDGMODGMEDGM10.010.0309940.0304290.0304320.030430 20.020.6589780.6590390.6600950.659572 30.030.4958330.4957730.4957680.495770 40.041.0104741.0103081.0103291.010319 50.051.5508

17、861.5503311.5504681.550401 60.101.6262941.7049801.6903241.697211 70.151.3435651.4578001.4589931.458442 80.205.1558565.1004865.2294805.171925 90.254.3532534.8938574.7437924.808361 100.304.7363235.3457555.1685295.244168 110.355.2364385.3772255.1922735.269577 ， a)0(1Y)0(2Y)0(3X)0(4Y)0(5Y)0(6Y)0(7Y)0(8Y

18、)0(9Y)0(10Y)0(11Y25 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型續(xù)表5.2.2 4種GM(1,1)模型非指數(shù)增長(zhǎng)序列模擬誤差5.2 GM(1,1)模型的適用范圍120.403.6038754.1669584.0445674.096904130.4512.83433615.36423013.52018414.246584140.507.3967708.2760737.8780178.044898150.5510.21872710.08474910.18891210.143461160.6021.07307023.70985821.61086322.440905170.656.637

19、0227.9064837.6290687.731359180.709.08890011.00056510.47950510.677398190.8021.15626530.60658928.55491529.245194200.9014.44194720.37832817.10400018.188008211.0011.68591318.46320317.35749617.734931221.1013.01185720.62031719.39624819.782271231.2017.17647227.92974326.16349026.624283241.5026.32721851.9155

20、8450.00688250.471089251.8062.46094675.50370573.43400174.07012826 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍均值GM(1,1)模型(EGM)(EGM)最適合非指數(shù)增長(zhǎng)序列建模，其次是原始差分GM(1,1)模型(ODGM)(ODGM)和均值差分GM(1,1)模型(EDGM)(EDGM)，離散GM(1,1)模型(DGM) (DGM) 模擬非指數(shù)增長(zhǎng)序列時(shí)誤差稍大一些。表5.2.3 4種GM(1,1)模型非指數(shù)增長(zhǎng)序列模擬誤差排序統(tǒng)計(jì)誤差排序EGMDGMODGMEDGM118520 222156 3015

21、19 451730 27 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型振蕩序列模擬分析5.2 GM(1,1)模型的適用范圍基礎(chǔ)序列基礎(chǔ)序列限定隨機(jī)數(shù)的取值范圍，圍繞齊次指數(shù)序列)0(25)0(2)0(1,XXX，生成相應(yīng)的總體上具有增長(zhǎng)趨勢(shì)，但對(duì)于 ，序列數(shù)據(jù)中出現(xiàn) 的振蕩序列5 , 3 , 2 k25, 2 , 1),1()() 0() 0(ikzkzii)0(25)0(2)0(1,ZZZ28 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍表5.2.4 4種GM(1,1)模型振蕩序列模擬誤差序列序號(hào)-aEGMDGMODGMEDGM10.010.2983920.29940

22、00.2991180.29925820.020.5012230.5058000.5048770.50533130.030.3696300.3787730.3790890.37893540.042.5836622.5867602.5721092.57930050.052.9280352.9536552.8993692.92561960.104.7599294.7918584.8252264.80785170.153.8026303.7705623.7763303.77354580.2011.72345911.94652511.39348311.64263090.2514.89539114.979

23、35715.22959515.130729100.3017.95354317.99297618.39757718.241183110.357.2991848.9800628.5378658.708603120.4011.47477911.51978111.69330911.619287130.4511.98811112.32180412.26107512.286039140.5012.72822011.75346012.27043212.03809429 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍續(xù)表5.2.4 150.5510.63650710.2859101

24、0.89779610.623904160.6013.39323413.51500713.00675113.227910170.6515.42037715.45764314.69031515.004381180.7016.30419716.36509615.63510315.998031190.8014.54210014.57982914.11054814.310293200.9033.79858733.16010134.92843734.293058211.0022.58638022.38412722.01615722.145609221.1034.30592034.48161236.0235

25、2235.484180231.2023.59192724.13329823.32392121.511839241.5040.37338040.47534842.69800541.917026251.8030.38052254.85122945.62431148.57985030 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.2 GM(1,1)模型的適用范圍可以看出：均值GM(1,1)模型(EGM)(EGM)比其它3種離散形態(tài)的模型更適合振蕩序列建模。離散GM(1,1)模型(DGM) (DGM) 模擬振蕩序列時(shí)誤差仍然偏大一些。表5.2.3 4種GM(1,1)模型振蕩序列模擬誤差排序統(tǒng)計(jì)誤差排序EG

26、MDGMODGMEDGM112481 217611 391213 431390 31 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型GM(1,1)模型適用范圍主要結(jié)論5.2 GM(1,1)模型的適用范圍12 原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和離散GM(1,1)模型(DGM)均能夠精確模擬齊次指數(shù)序列。GM(1,1)模型的4種基本形式：均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和離散GM(1,1)模型(DGM)兩兩相互等價(jià)。32 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型GM(1,1)模型適用

27、范圍主要結(jié)論如下對(duì)于非指數(shù)增長(zhǎng)序列和振蕩序列，應(yīng)首先選擇微分、差分混合形態(tài)的均值GM(1,1)模型(EGM)。對(duì)于接近齊次指數(shù)序列的非指數(shù)增長(zhǎng)序列和振蕩序列，應(yīng)優(yōu)先選擇離散形態(tài)的原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)或離散GM(1,1)模型(DGM)。5.2 GM(1,1)模型的適用范圍3433 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型34 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差GM(1,1)模型的原理均值GM(1,1) 模型既可以看成微分方程，又可以看成差分方程，下面分析其導(dǎo)數(shù)還原值與累減還原值之間的關(guān)系。35 第五章

28、第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差GM(1,1)模型的原理命題命題5.3.1 GM(1,1) 模型時(shí)間響應(yīng)式的累減還原式和導(dǎo)數(shù)還原式分別為顯然(1)(0) (1)(1)akbbxkxeaaexeakaabkx) 1 ()(1 () 1() 0 () 0 (1)(0)(1)()(1)akbdxka xea (1)(0)(1)(1)dxkxk36 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型。5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差GM(1,1)模型的原理37 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型殘差GM(1,1)模型的原理5.3 殘差GM(1,1) 模型命題命題5.3.

29、25.3.2 設(shè)可建模殘差尾段其1-AGO序列為GM（1，1）響應(yīng)式則(0)(0)(0)(0)00( ),(1 ), ,( )kkn (1)(1)(1)(1)00( ),(1), ,( )kkn (1)(0)00 (1)( )exp()bbkka kkaa(0)(0)00 (1) ()( )exp()bkaka k ka 0kk0kk38 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差GM(1,1)模型的原理(0)(0)00 (1)( )exp()bkaka k ka 其中殘差修正項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)與殘差尾段 的符號(hào)一致。(0)39 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5

30、.3 殘差GM(1,1) 模型殘差修正模型40 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差修正模型41 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型算例分析42 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型檢驗(yàn)其精度列出誤差檢驗(yàn)表檢驗(yàn)其精度列出誤差檢驗(yàn)表算例分析43 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型算例分析44 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型算例分析45 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.3 殘差GM(1,1) 模型殘差修正GM(1,1)的模擬精度的得到了明顯提高。因此時(shí)殘差序列已不滿足建模要求，若對(duì)修正精度仍不滿意，就只有考慮采用其他模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適當(dāng)取舍。算例分析46 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型47 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.4 GM(1,1)模型群模擬、預(yù)測(cè))(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX(0)(0) (1)(1)(1)aakbxkexea（1）當(dāng) ，稱 為模型模擬值；（2）當(dāng) ，稱 為模型預(yù)測(cè)值。nt t n) () 0 (tx) () 0 (tx48 第五章第五章 GMGM系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型5.4