知識(shí)講解_對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)_提高

1、(2) y loga(4-x)(a0且 a 1).(1) x|x 0 ； (2) x| x 4.由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：x2 0 , 4 x 0,解出不等式就可求出定義域x2 0,即x 0,所以函數(shù)y loga x2的定義域?yàn)閤|x 0；4 x 0，即x 4，所以函數(shù)y loga(4-x)的定義域?yàn)閤|x 4.應(yīng)首先保證f(x) 0 .舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的定義域.3廠(1) y=lo叮x1)(2) yln (ax11,k R).【答案】(1) (1 ,1)3(,2) ; ( 2)略2【解析】(1)因?yàn)閘og 1 (x 1)2log-1 (x 1)23所以函數(shù)的定義域?yàn)?1, 3)2所以

2、(2)因?yàn)閍x kg2x(-,2).2xa所以2k 0時(shí)，定義域?yàn)?k 當(dāng) 當(dāng)(i)假設(shè)a 2，那么函數(shù)定義域?yàn)?時(shí),+O )；(ii)假設(shè) 0a 2，且 a 1,(log a k ,2那么函數(shù)定義域?yàn)?-OO(iii)假設(shè) a2，那么當(dāng)0 kloga k)；21時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?R ；當(dāng)k 1時(shí),此時(shí)不能構(gòu)成函數(shù)，否那么定義域?yàn)椤咀兪?】【答案】函數(shù)y f(2x)的定義域?yàn)椴? , 2，求y f (logzx)的定義域.2 , 16.【答案】由1 12，可得y f (x)的定義域?yàn)? , 4，再由 log2 x 4得y f (log2 x)的定對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉【典型

3、例題】類(lèi)型一、函數(shù)的定義域求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類(lèi)似，但要注意 對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)(如定義域、值域及單調(diào)性)在解題中的重要作用例1.求以下函數(shù)的定義域：(1) y log a x2 ；【答案】【解析】(1) 因?yàn)?2) 因?yàn)椤究偨Y(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0,底數(shù)大于0,且不等于1 假設(shè)底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問(wèn)題時(shí)需要保證各個(gè)方面都 有意義一般地，判斷類(lèi)似于y loga f (x)的定義域時(shí)，義域?yàn)?2 , 16.類(lèi)型二、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可以

4、：比擬大??；解不等式；判斷單調(diào)性；求單調(diào)區(qū)間；求值域和最值 要求同學(xué)們：一是牢固掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹(shù)立定義域 優(yōu)先的觀念.例2.比擬以下各組數(shù)中的兩個(gè)值大小：(1) log3 3.6,log3 8.9 ； logo.2l.9,log 0.2 3.5 ； log 2 5 與 log7 5 ； log3 5 與 log 6 4 .(5) loga4.2,log a 4.8 ( a 0且a 1).【思路點(diǎn)撥】禾U用函數(shù)的單調(diào)性比擬函數(shù)值大小?！敬鸢浮?1)； (2) ； (4) ； (5)略.【解析】由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成(1)解法1：畫(huà)

5、出對(duì)數(shù)函數(shù) y log3x的圖象，橫坐標(biāo)為 3.6的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為 8.9的點(diǎn)的下方，所以,log3 3.6 log3 8.9 ；解法2:由函數(shù)y(2) 與第小題類(lèi)似，(3) 函數(shù)y log2 x和y log 7 x的圖象如下圖. 在y log7x的圖象上方，這里 Q log3 5 log 3 31log 3 5 log6 4(5)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類(lèi)討論log3x在r+上是單調(diào)增函數(shù)，且 3.68.9，所以log33.6 y log 0.2 x在R上是單調(diào)減函數(shù)，且當(dāng)x 1時(shí)，y loglog3 8.9 ；x 5,log 6 6log2 5 log 7 5 .log 6 4,1.93.5解

6、法1：當(dāng)a 1時(shí)，y loga x在(0 ,a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.+8)上是增函數(shù)，且 5.15.9，所以，log a 4.2 loga4.8當(dāng) 0 a 1 時(shí)，y=log ax 在(0 , +)上是減函數(shù)，且 4.24.8，所以，log a 4.2 loga 4.8 解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令 b log a 4.2，那么 ab1 =4.2，令 b2loga 4.8，那么 a 4.8,當(dāng)a 1時(shí)，y ax在R上是增函數(shù)，且 4.24.8 ,所以，b1b2,即即 loga4.2 loga4.8當(dāng)時(shí)0 a 1 , y ax在R上是減函數(shù)，且 4.2b2,

7、即 loga 4.2log a4.8.【總結(jié)升華】比擬兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的根本方法是：(1) 比擬同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2) 比擬同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利 用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比擬大小；利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比擬大小.(3) 假設(shè)底數(shù)與真數(shù)都不同，那么通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比擬大小.【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070例3】、 1 1例 3比擬 logab,log ba,loga _,logb 1 其中 0a11 的大小. b a【答案】log a b logb alogb1 loga； a b1【解析

8、】由0a11，得a , bb11log a 匚loga a1, logblogbb 1balogb 1log a1ablog ba 1loga b1，即logb alogablog balogablogablogb a.1.1logb_ loga -ab【總結(jié)升華】假設(shè)底數(shù)與真數(shù)都不同，那么通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比擬大小，中間變量常常用“ 0和“1.用0和“ 1把所給的數(shù)先分兩組，然后組內(nèi)再比擬大小.舉一反三：【變式1】a5log23.4,b5呱3.6 clog3 0.3: )I5,那么(A. a b cB. ba cC.ac bD. cab【答案】C【解析】另mlog 2 3.4 , nlo

9、g 4 3.6 ,llog103在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)圖像，由圖像可 a c b應(yīng)選C.【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070例2】【變式2】比擬a log3 ,b Iog2、3,c log. 2的大小.【答案】c b a【解析】Qlog3 ,2 Iog3 3 log. 3 1 Iog3 3 Iog3c b a例4求函數(shù)y log 1 ( x2 2x 1)的值域和單調(diào)區(qū)間.2【思路點(diǎn)撥】先解不等式X2 2x 1 0 ,保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)t x2 2x 1的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減來(lái)求 解.【答案】-1 , +R );增區(qū)間為

10、1,12 ;減區(qū)間為1.2,1 .【解析】設(shè)tx2 2x 1，那么t (x 1)2 2. v y= log1 t為減函數(shù)，且0 t 2 ,二 y logi 21 ,即函數(shù)的值域?yàn)?1 , + g ).再由：函數(shù)logi( x2 2x 1)的定義域?yàn)? 2x2 2x 10，即 1.2 x 1.2.二t x2 2x 1在12,1上遞增而在 1,1,2上遞減，而y= log 1 t為減函數(shù).2二函數(shù)y log1 ( x2 2x 1)的增區(qū)間為1,1、2，減區(qū)間為1 x 2,1 .2【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即y loga f (x)型；另一類(lèi)是內(nèi)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)

11、，即y f (log a X)型.對(duì)于y loga f(x)型的函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y loga f (x)的單調(diào)性與函數(shù)u f(x) f(x) 0的單調(diào)性，當(dāng)a 1時(shí)相同，當(dāng)0 a 1時(shí)相反.研究y f (log a x)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來(lái)判定即可.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與 外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減.研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先的原那么.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y log2 x24的值域和單調(diào)區(qū)間.【答案】2,；減區(qū)間為，0，增區(qū)間為 0,【解析】設(shè)t x224，那么 t x 44 ,y= log2t為增函

12、數(shù),2log2t log2(x4) log 2 4 2y log2 x2 4的值域?yàn)?,.2再由：y log 2(x4)的定義域?yàn)镽2t x 4 在 0,上是遞增而在,0上遞減，而y= log2t為增函數(shù)函數(shù) y=log2(x24)的減區(qū)間為,0，增區(qū)間為 0,.【變式2】求函數(shù)ylog a (a ax)的單調(diào)區(qū)間【答案】減區(qū)間是：,1 和 1,【解析】假設(shè)a 1,那么y logat遞增,且tX_ ,a a遞減，而aax 0 ,即 ax a,x 1 ,y loga(a ax)在 ,1 上遞減.假設(shè)0 a 1，那么y logat遞減，且t a ax遞增，而a ax 0，即ax a, x 1, y

13、 loga(a a )在1,上遞減.綜上所述，函數(shù)y loga(a ax)的單調(diào)遞減區(qū)間是：，1和1,.類(lèi)型三、函數(shù)的奇偶性例5.判斷以下函數(shù)的奇偶性.(1) f (x) ln ; (2) f (x) lgC 1 x2 -x).2 x【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，貝U進(jìn)行(2), 如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。(2)求f( x)，如果f( X)f (x)，那么函數(shù)是偶函數(shù)，如果f( x)f (x)，那么函數(shù)是奇函數(shù)?！敬鸢浮?1 )奇函數(shù)；(2 )奇函數(shù).【解析】首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性根本步驟進(jìn)行

14、(1)由0可得-2 x 22 x所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2 , 2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2x2 x 1又 f( x) lnln( )2x2 x2- x所以函數(shù)f(x)In是奇函數(shù)；2 x【總結(jié)升華】此題確定定義域即解簡(jiǎn)單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對(duì)數(shù)式的恒等變形(2)【解析】由.1 x2 - x 0可得x R所以函數(shù)的定義域?yàn)?R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又 /、I / 彳 2、I(1X2X)(、1x2-x)又 f(-x)lg(、.1x x)lg 271 x2 x2 x -In2 xf (x),即仁 x) f(x)-lg(、1x2.

15、說(shuō)明-x) -f(x)即f(-x)=-f(x) ；所以函數(shù)f (x) lgC.1 x2-x)是奇函數(shù)要求掌握.【總結(jié)升華】此題定義域確實(shí)定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧,類(lèi)型四、反函數(shù)例6.求出以下函數(shù)的反函數(shù) y logx ； (2)6x1 。e【答案】(1)y(2)y logxe【解析】(1 )對(duì)數(shù)函數(shù)log-x，它的底數(shù)為6x11-,所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y66(2)指數(shù)函數(shù)y的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)log-1 x.e【總結(jié)升華】特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來(lái)確定的， 的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義

16、域.舉一反三：【高清課堂:對(duì)數(shù)函數(shù)369070 例 5】【變式1】假設(shè)函數(shù)yf (x)是函數(shù)y ax (a 0,且 a* 1)的反函數(shù)，且 f(2)1，貝U f(x)()(A) log 2 x1(B)歹(C) log 1 x2x 2(D)2【答案】A【解析】解法1: Q函數(shù)y f (x)是函數(shù)y ax (a 0 ,且1)的反函數(shù)f (x) loga x，又 f (2)1log a 21 a 2應(yīng)選A.解法2： Q函數(shù)y f (x)是函數(shù)y ax (a 0 ,且a 1)的反函數(shù)，且f (2)1點(diǎn)(1, 2)在函數(shù)y ax的圖象上， a 2應(yīng)選A.類(lèi)型五、利用函數(shù)圖象解不等式X1例7 假設(shè)不等式2

17、 loga x 0，當(dāng)x 0,1時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.2【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出函數(shù) y的圖象與函數(shù)y logaX的圖象，然后借助圖象去求借。21 丁【答案】- a 12【答案】要使不等式2x1 1loga x 0在x 0,時(shí)恒成立，即函數(shù)y logax的圖在 0, 內(nèi)恒在函2數(shù)y 2x圖象的上方，而loga x遞減又 loga 2 罷 loga a722 21 21 亍a -.所求的a的取值范圍為 a 1.2 2【總結(jié)升華】“數(shù)是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服力；而“形那么形象、直觀，然這里Ov av 1，二函數(shù)2x圖象過(guò)點(diǎn).由右圖可知,2能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，

18、把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最正確組合本例中，利用圖形的形 象直觀快速地得到答案，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程正因?yàn)槿绱?，?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最根本的數(shù)學(xué)思想 方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題.在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) f (x)與g(x)，那么f (x) = g(x)的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)y f (x)與y g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而 f(x) g(x)的的解等價(jià)于函數(shù) y f(x)的圖象在y g(x)的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍利用圖象的形象性、直觀性，可使問(wèn)題得到順利地解決, 而且分散了問(wèn)題解決的難度、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程因此，

19、我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決方程與不等式 的問(wèn)題.舉一反三：【變式1】當(dāng)x( 1, 2)時(shí)，不等式(X 1)2 loga x恒成立，求a的取值范圍.【答案】1 v a 1時(shí)，如圖2-2-5所示，要使在(1,2) 上, f1(x)的圖象在f2(x) loga x的下方，只需 fi(2)f2(2),2即(2 1) log a 2 , log a 21，二 11; ( 2) 0 w a w 1. 【解析】(1) f (x)的定義域?yàn)镽, 當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?2x+10,a 0當(dāng)0時(shí)，有a1. a的取值范圍為a1.4 4a 0a=0或0 a 1,f(x)的值域?yàn)镽,即u=ax2+2x+1能取

20、遍一切正數(shù)4 4a 0 a的取值范圍為0w a 1.例9函數(shù)f (x) lg ax bx (常數(shù)a 1 b 0).(1) 求y f (x)的定義域；(2) 在函數(shù)y f (x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于x軸；(3) 當(dāng)a，b滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，f (x)在1, 上恒取正值.【思路點(diǎn)撥】此題為對(duì)數(shù)指數(shù)問(wèn)題的綜合題，求定義域首先保證對(duì)數(shù)的真數(shù)為正，再利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出定義域.(2)中證明是否存在要由單調(diào)性來(lái)確定，假設(shè)單調(diào)遞增或遞減，就不存在兩點(diǎn)兩線平行于x軸.【答案】(1)0,(2)不存在(3) a b 1【解析】(1 )由x abxx0，得 a1 ,b由a 1 ba0，得1，故x 0,即函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閎0,.(2)設(shè)X1x0,Q a 1 b 0,x aX2 abx2bx10,故 ax1 bx1 ax2 bx20,lg a51 bx1lg ax2 b