2017年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國1卷

1、絕密啟用前2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷 5 頁， 23 小題，滿分150 分?？荚囉脮r120 分鐘。注意事項(xiàng)：1 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用 2B 鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2 作答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使

2、用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。12 小題，每小題5 分，共 60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合A x|x 1 ， B x|3x 1 ，則AAB x |x0BABRCAB x | x1DAB2如圖，正方形ABCD 內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱. 在正方1 A4形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是BC 128D43設(shè)有下面四個命題p1 ：若復(fù)數(shù)z 滿足 1 R ，則 z R ；zp2 ：若復(fù)數(shù)z 滿足z2R ，則 z R

3、；p4：若復(fù)數(shù)z R，則 z R .p3：若復(fù)數(shù)z1, z2滿足z1z2R ，則z1z2 ；其中的真命題為Ap1, p3Bp1, p4Cp2 , p3Dp2, p44記Sn 為等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和若a4a524 ，S648 ，則 an 的公差為A 1B 2C 45函數(shù)f (x) 在 (,)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若D 8f (1)1 ，則滿足1 f (x 2) 1x 的取值范圍是A 2,2B 1,1C 0,46(112)(1 x)6展開式中x2的系數(shù)為xA 15B 20C 30D 1,3D 357某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯

4、視圖為等腰直角三角形面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A 10B 12C 14D 168右面程序框圖是為了求出滿足3n 2n 1000 的最小偶數(shù) n ， 那么在和 兩個空白框中，可以分別填入AA1000和nn1BA1000和nn2CA1000和nn1DA1000和nn229已知曲線C1 : y cosx,C2 : y sin(2 x ) ，則下3面結(jié)論正確的是A 把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍， 縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移 個6單位長度，得到曲線C2B把C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線C21

5、C 把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍， 縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移 個26單位長度，得到曲線C21D把C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移1212個單位長度，得到曲線C2210已知F 為拋物線C : y2 4x 的焦點(diǎn)，過F 作兩條互相垂直的直線l1, l2，直線l1與 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，直線l 2 與C 交于 D、E 兩點(diǎn)，則| AB|+| DE| 的最小值為A 16B 14C 12D 1011 設(shè) xyz為正數(shù)，且2x3y5z，則A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z12幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)

6、用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動 . 這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4， 1，2，4， 8， 1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是 20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21, 22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N : N 100且該數(shù)列的前N 項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A 440B 330C 220D 110二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量a， b 的夾角為60°，| a|=2， | b|=1 ，則 | a +2 b |= .x

7、2y 114設(shè)x, y滿足約束條件2x y 1 ，則 z 3x 2y的最小值為.xy0x2 y215已知雙曲線C : x2 y2 1(a 0,b 0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b 為半徑做圓A，ab圓 A 與雙曲線C 的一條漸近線交于M、 N 兩點(diǎn)。若MAN 60 ，則 C 的離心率為。16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。 D、E、 F 為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC， CA， AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB 為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)ABC的邊長變化時，所

8、得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。a217 （ 12 分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為a3sin A（ 1）求 sin Bsin C ;（ 2）若 6cos BcosC 1,a 3，求ABC的周長.18 （ 12 分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90 .（ 1）證明：平面PAB平面PAD；（ 2）若PA=PD=AB=DC，APD 90 ，求二

9、面角A- PB-C的余弦值.19（12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位：cm）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N （ , 2）（ 1） 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 X表示一天內(nèi)抽取的16 個零件中其尺寸在（3 ,3 ）之外的零件數(shù)，求P（X 1）及 X 的數(shù)學(xué)期望；（ 2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（3 ,3 ） 之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的1

10、6 個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 16經(jīng)計(jì)算得x 1xi 9.97， s 1(xi x)216i1 i16i1 i116 22 2( xi2 16x2)20.212，16 i1 i其中xi 為抽取的第i 個零件的尺寸，i 1,2, ,16用樣本平均數(shù)x 作為 的估計(jì)值? ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 作為 的估計(jì)值? ，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（ ? 3 ?, ? 3 ?） 之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) 和 （精確到0.01 ）附：若隨機(jī)變量

11、Z 服從正態(tài)分布N （ , 2） ，則 P（ 3 Z 3 ） 0.997 4 ，0.997 416 0.959 2 ，0.008 0.0920. ( 12 分)C：x2y2=1 (a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1 ) ，P2(0,1 ) ，P3(1，3 ) ，P4(1，a2 b223 ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上 .21）求C的方程；1 ，證明：l 過定點(diǎn) .21. ( 12 分)f (x) ae2x (a 2)ex x1）討論f （x） 的單調(diào)性；2）若f （x） 有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.10 分。請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第22 選修4 4：坐標(biāo)

12、系與參數(shù)方程 （ 10 分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x 3cos , （ 為參數(shù)），直線l 的參數(shù)方y(tǒng) sin ,x a 4t程為（ t為參數(shù)） .y 1 t,1 ）若a=- 1 ，求C與l 的交點(diǎn)坐標(biāo)；2）若C上的點(diǎn)到l 的距離的最大值為17 ，求a.23 選修4 5：不等式選講（ 10 分）f (x) x2 ax 4, g(x) | x 1| | x 1|2）設(shè)直線l 不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A， B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1 ）當(dāng) a 1 時，求不等式f （ x）g（ x）的解集；2）若不等式f（ x）g（x）的解集包含 1， 1，求 a的取值范圍201

13、7 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案12 小題，每小題5 分，共 60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. A2B3B4C5D6C18. （ 12 分）解：7B8D9D10A11 D12A二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13 2 314 -5152316 4 15cm370 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。60 分。2a17 （12 分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為a3sin A（ 1）求si

14、n Bsin C;（ 2）若6cosBcos C=1， a=3，求ABC的周長.解： （ 1 ）1 a21a由題設(shè)得ac sin B，即 csin B2 3sin A23sin A1 sin A由正弦定理得1sinCsinB sinA2 3sin A2故 sin BsinC 。312 ，即1 cos(B C)2)由題設(shè)及(1 )得cosBcosC sin Bsin C2所以 B C 2 ，故 A331 a2由題設(shè)得bc sin A，即 bc 82 3sin Ab2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9，得 b c 33故ABC的周長為3 331 )由已知BAP CDP 90 ，得 AB

15、 AP ， CD PD由于AB / / CD ，故AB PD ， 從而 AB 平面 PAD又 AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面 PAD2)在平面PAD 內(nèi)作 PF AD ，垂足為F由(1)可知，AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，| AB | 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F xyz1)及已知可得A( 2 ,0,0), P(0,0, 2), B( 2,1,0), C( 2 ,1,0)2222, CB ( 2,0,0), PA所以 PC (2,0,2 ), AB (0,1,0)設(shè) n (x,y, z) 是平

16、面PCB的法向量，則PC 0, n CB 022即 2 x y 2 z 0, y0n (0, 1,2)設(shè) m (x, y, z)是平面PAB的法向量，則m PA 0,2 x 2 z 0m , 即 2 x 2 z 0,m AB 0y0m (1,0,1)則 cos n, mnm 3|n|m|3319(1 )抽取的一個零件的尺寸在3所以二面角A PB C 的余弦值為312分)解：(3 ,3 ) 之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率為0.0026 ，故 X B(16,0.0026) ，因此P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.9974160.0408X 的數(shù)學(xué)期望為E

17、X 16 0.0026 0.04162) ( i )如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率只有0.0026 ，一天內(nèi)抽取的16 個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件的概率只有0.0408 ，發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的。( ii )由 x 9.97, s 0.212，得 的估計(jì)值為? 9.97, 的估計(jì)值為? 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。剔除 (

18、 ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(16 9.97 9.22) 10.0215的估計(jì)值為10.0216222xi2 16 0.2122 16 9.972 1591.134i1剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為1 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.00815的估計(jì)值為0.008 0.0920. ( 12 分)解：1)由于P3, P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C 經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn)1113又由 2222 知， C 不經(jīng)過點(diǎn)P1 ，所以點(diǎn)P2 在 C 上a2 b2 a2 4b212a2 4b2解

19、得 a2 41 b2 12故 C 的方程為xy2 142)設(shè)直線P2A與直線P2B 的斜率分別為k1,k2如果 l 與 x軸垂直，設(shè)l : x t，由題設(shè)知t 0，且 |t | 2 ，可得 A, B 的坐標(biāo)分別為4 t24 t2(t, 42t),(t,42t)則k1k24 t2 24 t221 ，得 t 2 ，不符合題設(shè)2t2t2x2從而可設(shè)l : y kx m(m 1) ，將 y kx m代入y 1 得4222(4k2 1)x2 8kmx 4m2 4 016(4k2 m2 1) 0設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)，則x1 x28km24m 42, x1 x224k2 1 1 24

20、k2 1k1k2 y1 1 y2 1x1x2kx1 m 1kx2 m 1x1x22 kx1x2 (m 1)(x1 x2 )x1x2k1k21 ，故(2k 1)x1x2 (m 1)( x1 x2) 0即 (2k 1)24m 48km2 (m 1)204k2 14k2 1m1解得 k m 12當(dāng)且僅當(dāng)m 1 時，0，于是l:ym1x m，2所以 l 過定點(diǎn) (2, 1)21. ( 12 分)解：1 ) f (x) 的定義域?yàn)?,) ， f (x) 2ae2x(a 2)ex 1 (aex 1)(2ex1)i )若 a 0 ，則 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 (,) 單調(diào)遞減 ii )若

21、 a 0 ，則由 f (x) 0 的 x ln ax (, ln a) 時， f (x) 0； x ( ln a, ) 時， f (x) 0所以 f (x) 在 (, ln a)單調(diào)遞減，在( ln a, ) 單調(diào)遞增。( 2) ( i )若 a 0，由(1)知， f(x) 至多有一個零點(diǎn)( ii ) 若 a 0 ， 由 ( 1 ) 知 ， 當(dāng) x ln a 時 ， f(x) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 為1f ( ln a) 1 ln aa 當(dāng) a 1 時，由于f ( ln a) 0 ，故 f ( x)只有一個零點(diǎn)；1 當(dāng) a (1,)時，由于 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0 ，故 f(x) 沒有零a點(diǎn)；1 當(dāng) a (0,1)時， 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0又 a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0，故 f(x) 在 (, ln a)有一個零點(diǎn)。3設(shè)正整