經(jīng)典競(jìng)賽幾何題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流經(jīng)典競(jìng)賽幾何題.精品文檔.絕密啟用前2018年05月17日張朋松的初中數(shù)學(xué)組卷試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明 評(píng)卷人 得 分 一解答題（共50小題）1已知ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合）ADF是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交射線AC于點(diǎn)E，連接BF（1）如圖1，求證：AFBADC；（2）請(qǐng)判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說(shuō)明理由

2、；（3）若D點(diǎn)在BC 邊的延長(zhǎng)線上，如圖2，其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由2在ABC中，AHBC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)（如圖所示）求證：DEF=HFE3在ABC中，B=60°，A，C的角平分線AE，CF相交于點(diǎn)O，（1）如圖1，若AB=BC，求證：OE=OF；（2）如圖2，若ABBC，試判斷線段OE與OF是否相等，并說(shuō)明理由4如圖，在ABC中，BD是ABC的平分線，在ABC外取一點(diǎn)E，使得EAB=ACB，AE=DC，并且線段ED與線段AB相交，交點(diǎn)記為K，問(wèn)線段EK與DK有怎樣的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由5已知如圖，AC=BC，C=90&

3、#176;，A的平分線AD交BC于D，過(guò)B作BE垂直AD于E，求證：BE=AD6如圖，已知AB=AC，BAC=60°，BDC=120°，求證：AD=BD+CD7如圖ABC，D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使得AE=CF，G，H，M分別為BD，AC，EF的中點(diǎn)，如果G，H，M三點(diǎn)共線，求證：AB=CD8如圖，在正方形ABCD中，取AD，CD的邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，BF交于點(diǎn)G，連接AG，試判斷AG與AB是否相等，并說(shuō)明理由9如圖，設(shè)點(diǎn)M是等腰RtABC的直角邊AC的中點(diǎn)，ADBM于E，AD交BC于D求證：AMB=CMD（請(qǐng)用兩種不同的方法證明）10如圖

4、，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC及AB的中點(diǎn)，射線FE與AD及BC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)H及G試猜想AHF與BGF的關(guān)系，并給出證明提示：若猜想不出AHF與BGF的關(guān)系，可考慮使四邊形ABCD為特殊情況如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié)AC，以F為中心，將ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到ABP11如圖，D為ABC中線AM的中點(diǎn)，過(guò)M作AB、AC邊的垂線，垂足分別為P、Q，過(guò)P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點(diǎn)N（1）求證：PN=QN；（2）求證：MNBC12在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到點(diǎn)E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，設(shè)線段PA

5、、PB的中點(diǎn)分別為M、N求證：DEMDFN；PAE=PBF13如圖：已知ABDC，BAD和ADC的平分線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的直線分別交AB、DC于B、C兩點(diǎn)猜想線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明14如圖，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，G是BC上一點(diǎn)，DGH是等邊三角形求證：EG=FH15已知如圖，CD是RTABC斜邊上的高，A的平分線交CD于H，交BCD的平分線于G，求證：HFBC16已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90°點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M點(diǎn)F在線段ME上，且滿足C

6、F=AD，MF=MA（1）若MFC=120°，求證：AM=2MB；（2）試猜想MPB與FCM數(shù)量關(guān)系并證明17如圖，在ABC中ACBC，E、D分別是AC、BC上的點(diǎn)，且BAD=ABE，AE=BD求證：BAD=C18已知A，C，B在同一條直線上，ACE，BCF都是等邊三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MGCN，垂足為G求證：CG=NG19如圖所示，在ABC中，ABC=2C，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E點(diǎn)，使BE=BD，過(guò)點(diǎn)D、E引直線交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明之20如圖，ABC是邊長(zhǎng)為l的等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以

7、D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個(gè)三角形，求證：AMN的周長(zhǎng)等于221已知如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且AE=（AB+AD），求證：B與D互補(bǔ)22如圖，已知ABC中，A=90°，AB=AC，1=2，CEBD于E求證：BD=2CE23AD是ABC的角平分線，M是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)MAD交AB的延長(zhǎng)線于F，交AC于E（1）求證：CE=BF；（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明24如圖，AD是ABC的中線，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90°判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關(guān)系25

8、如圖，四邊形ABCD中，BC=DC，對(duì)角線AC平分BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的長(zhǎng)26如圖，已知線段AB的同側(cè)有兩點(diǎn)C、D滿足ACB=ADB=60°，ABD=90°DBC求證：AC=AD27如圖，正方形ABDE和ACFG是以ABC的AB、AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點(diǎn)，試判斷MP、MQ在數(shù)量和位置是有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論28如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，BPAD，垂足為P已知AB=5，BP=2，AC=9試說(shuō)明ABC=3ACB29如圖，在ABC中，B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一

9、點(diǎn)，使得CN=BM，連接AN，CM相交于點(diǎn)P，試求APM的度數(shù)30已知如圖，在ABC中，B=60°，AD、CE是ABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)O，（1）求：AOC的度數(shù)；（2）求證：AC=AE+CD31如圖，已知ABC中ABAC，P是角平分線AD上任一點(diǎn)，求證：ABACPBPC32如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于點(diǎn)O過(guò)點(diǎn)O作OPAC，OQAB，P、Q為垂足求證：DP=DQ33如圖已知ABC中，AB=AC，ABD=60°，且ADB=90°BDC，求證：AB=BD+DC34如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA

10、AB，EBAB，F(xiàn)CAB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，AFB=51°，求DFE度數(shù)35如圖，已知ABC是等腰直角三角形，C=90°，點(diǎn)M、N分別是邊AC和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在射線BM上，且BD=2BM點(diǎn)E在射線NA上，且NE=2NA，求證：BDDE36如圖，ABC中，BD為ABC的平分線；（1）若A=100°，C=50°，求證：BC=BA+AD； （2）若BAC=100°，C=40°，求證：BC=BD+AD37如圖，ABC中，ACB=90°，CAD=30°，AC=BC=AD求證：BD=CD38如圖所示，在A

11、BF中，已知BC=CE=EF，BAC=CAD=DAE=45°，求的值39如圖，已知過(guò)ABC的頂點(diǎn)A，在BAC內(nèi)部任意作一條射線，過(guò)B、C分別作此射線的垂線段BD、CE，M為BC邊中點(diǎn)求證：MD=ME40已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，AF平分BAC，DHAF于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，DH延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E求證：41已知：在ABC中，A=90°，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，求證：ADB=CDF42如圖，在ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，E為AB中點(diǎn)，連接CE、CD，求證：CD=2EC43如圖，在ABC中，BD=C

12、D，AG平分DAC，BFAG，垂足為H，與AD交于E，與AC交于F，過(guò)點(diǎn)C的直線CM交AD的延長(zhǎng)線于M，且EBD=MCD，AC=AM求證：DE=CF44如圖，BE、CF是ABC的高，它們相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在BE上，Q在CF的延長(zhǎng)線上且BP=AC，CQ=AB，（1）求證：ABPQCA（2）AP和AQ的位置關(guān)系如何，請(qǐng)給予證明45如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AF平分BAC交CD于E，交BC于F，EGAB交BC于G，說(shuō)明BG=CF的理由46在ABC中，ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，若AMD=BMD，求證：CDA=2ACD47如圖，已知：四邊形A

13、BCD中，AD=BC，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，直線EF分別與BC、AD的延長(zhǎng)線相交于G、H求證：AHF=BGF48如圖，在等腰直角ABC中，AD=AE，AFBE交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FGCD交BE延長(zhǎng)線于G，求證：BG=AF+FG49已知ABC，C=90°，AC=BCM為AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)BM到D，使MD=BM；N為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)NA到E，使AE=NA，連接ED，求證：EDBD50如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DAC=DCA=15°，求證：BD=BA2018年05月17日張朋松的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共50小題

14、）1已知ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合）ADF是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交射線AC于點(diǎn)E，連接BF（1）如圖1，求證：AFBADC；（2）請(qǐng)判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若D點(diǎn)在BC 邊的延長(zhǎng)線上，如圖2，其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）利用有兩條邊對(duì)應(yīng)相等并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形全等即可證明AFBADC；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，因?yàn)锳FBADC，所以可得ABF=C=60°，進(jìn)而證明ABF=BAC，則可得到FBAC，又BCEF，所以四邊形BCEF是平行四邊形；（

15、3）易證AF=AD，AB=AC，F(xiàn)AD=BAC=60°，可得FAB=DAC，即可證明AFBADC；根據(jù)AFBADC可得ABF=ADC，進(jìn)而求得AFB=EAF，求得BFAE，又BCEF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形【解答】證明：（1）ABC和ADF都是等邊三角形，AF=AD，AB=AC，F(xiàn)AD=BAC=60°，又FAB=FADBAD，DAC=BACBAD，F(xiàn)AB=DAC，在AFB和ADC中，AFBADC（SAS）；（2）由得AFBADC，ABF=C=60°又BAC=C=60°，ABF=BAC，F(xiàn)BAC，又BCEF，四邊形BCEF是平行四邊形；（3）成

16、立，理由如下：ABC和ADF都是等邊三角形，AF=AD，AB=AC，F(xiàn)AD=BAC=60°，又FAB=BACFAE，DAC=FADFAE，F(xiàn)AB=DAC，在AFB和ADC中，AFBADC（SAS）；AFB=ADC又ADC+DAC=60°，EAF+DAC=60°，ADC=EAF，AFB=EAF，BFAE，又BCEF，四邊形BCEF是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，熟練掌握性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵2在ABC中，AHBC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)（如圖所示）求證：DEF=HFE【分析】EF為中位線

17、，所以EFBC，又因?yàn)镠FE和FHB，DEF和CDE分別為一組平行線的對(duì)角，所以相等；轉(zhuǎn)化成求證FHB=CDE【解答】證明：E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，EFBC，根據(jù)平行線定理，HFE=FHB，DEF=CDE；同理可證CDE=B，DEF=B又AHBC，且F為AB的中點(diǎn)，HF=BF，B=BHF，HFE=B=DEF即HFE=DEF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，直角三角形中斜邊的中線為斜邊邊長(zhǎng)的一半3在ABC中，B=60°，A，C的角平分線AE，CF相交于點(diǎn)O，（1）如圖1，若AB=BC，求證：OE=OF；（2）如圖2，若ABBC，試判斷線段OE與OF是否相等，

18、并說(shuō)明理由【分析】（1）可證明ACFCAE，再由角平分線的性質(zhì)得出OAC=OCA，從而得出OE=OF；（2）過(guò)點(diǎn)O作OHAC，OMBC，ONAB，垂足分別為H，M，N，連接OB根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及逆定理可推得點(diǎn)O在B的平分線上，從而得出OBN=OBM=30°，由已知得出OEM=OFN，能證明RtOFNRtOEM，則OE=OF成立【解答】證明：（1）B=60°，AB=BC，A=C=60°，AECF分別平分A，C，OAC=OCA=30°，OA=OC，ACFCAE（ASA），AE=CF，OE=OF；（2）過(guò)點(diǎn)O作OHAC，OMBC，ONAB，垂足分別為H

19、，M，N，連接OB點(diǎn)O在A，C的平分線上，ON=OH，OH=OM，從而OM=ON，點(diǎn)O在B的平分線上 （1分）OBN=OBM=30°，ON=OM （2分）又OEM=B+A=60°+AOFN=A+C=（A+C）+A=（180°60°）+A=60°+AOEM=OFN（2分）RtOFNRtOEM（AAS），（1分）OE=OF（1分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，注意一題多解以及方法的簡(jiǎn)單性4如圖，在ABC中，BD是ABC的平分線，在ABC外取一點(diǎn)E，使得EAB=ACB，AE=DC，并且線段ED與線段AB相交，交點(diǎn)記為K，

20、問(wèn)線段EK與DK有怎樣的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由【分析】首先作出EIAB，DHAB，證明EAIDCF再得出DH=DF進(jìn)而得出EKIDKH即可證出【解答】解：結(jié)論：EK=DK（2分）理由：過(guò)點(diǎn)E作EIAB，過(guò)點(diǎn)D作DHAB于H，DFBC于F，在EAI和DCF中EAIDCF（AAS），（2分）EI=DF，（2分）BD是ABC的平分線，DH=DF，（2分）DH=EI，在EKI和DKH中，EKIDKH（AAS），（2分）EK=DK（2分）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等證明方法，根據(jù)題意作出EIAB，DHAB，從而利于全等證明是解決問(wèn)題的關(guān)鍵5已知如圖，AC=BC，C=90°，A的平分線AD交B

21、C于D，過(guò)B作BE垂直AD于E，求證：BE=AD【分析】延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)M，易證得ACDBCM，可得AD=BM，可證得AEMAEB，可得EM=BE，即BM=2BE，由即可得結(jié)論【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)M，A的平分線AD，BE垂直AD于E，MAE=BAE，AEM=AEB=90°，AE=AE，AEMAEB（ASA），EM=BE，即BM=2BE；A的平分線AD，AC=BC，C=90°，CAD=DAB=22.5°，ABC=45°，BE垂直AD于E，DAB+ABC+DBE=90°，即DBE=22.5°，CAD=DBE，又AC=

22、BC，且ACB=BCM=90°，ACDBCM（ASA），AD=BM；由得AD=2BE，即BE=AD【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵6如圖，已知AB=AC，BAC=60°，BDC=120°，求證：AD=BD+CD【分析】先延長(zhǎng)DB，使BE=CD，連接AE，BC，根據(jù)已知條件得出A，B，D，C四點(diǎn)共圓，得出ACB=ADE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ABC是等邊三角形，在ABE和ACD中，根據(jù)SAS得出ABEACD，得出ADE是等邊三角形，得出AD=DE，再根據(jù)DE=BD+BE

23、，即可證出AD=BD+CD【解答】解：延長(zhǎng)DB，使BE=CD，連接AE，BC，BAC+ACD+BDC+ABD=360°，BAC=60°，BDC=120°，ABD+ACD=180°，A，B，D，C四點(diǎn)共圓，ACB=ADE，ABD+ABE=180°，ABE=ACD，AB=AC，ABC是等邊三角形，ACB=60°，ADE=60°，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），AE=AD，ADE是等邊三角形，AD=DE，DE=BD+BE，AD=BD+CD【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角

24、形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線7如圖ABC，D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使得AE=CF，G，H，M分別為BD，AC，EF的中點(diǎn)，如果G，H，M三點(diǎn)共線，求證：AB=CD【分析】由三角形的中位線得，MSAE，MS=AE，HSCF，HS=CF，由已知得HS=SM，從而得出SHM=SMH，則得出TGH=THG，GT=TH，最后不難看出AB=CD【解答】證明：取BC中點(diǎn)T，AF的中點(diǎn)S，連接GT，HT，HS，SM，GHM分別為BD，AC，EF的中點(diǎn)，MSAE，MS=AE，HSCF，HS=CF，GTCD，HTAB，GT=CD，HT=AB，GTHS，HT

25、SM，SHM=TGH，SMH=THG，TGH=THG，GT=TH，AB=CD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)8如圖，在正方形ABCD中，取AD，CD的邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，BF交于點(diǎn)G，連接AG，試判斷AG與AB是否相等，并說(shuō)明理由【分析】延長(zhǎng)CE、BA交于P，易證CDEBCF，可得CFB=DEC，即可求得CEBF，進(jìn)而可以求證PAEPBC，可得PA=AB，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可解題【解答】解：延長(zhǎng)CE、BA交于P，在CDE和BCF中，CDEBCF；（SAS）CFB=DEC，F(xiàn)CG+DEC=90°，F(xiàn)CG+CFB=90°，CEBF

26、，PAEPBC，A是PB的中點(diǎn)，即AB=PB，RTBPG中，AG=PBAG=AB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證CDEBCF是解題的關(guān)鍵9如圖，設(shè)點(diǎn)M是等腰RtABC的直角邊AC的中點(diǎn)，ADBM于E，AD交BC于D求證：AMB=CMD（請(qǐng)用兩種不同的方法證明）【分析】法（1）先延長(zhǎng)AD至F，使得CFAC，得出ABM=DAC，再根據(jù)AB=AC，CFAC，得出ABMCAF，從而證出BMA=F，AM=CF，再根據(jù)所給的條件得出FCDMCD，即可得出AMB=F=CMD；法（2）先作BAC的平分線交BM于N，得出ABN=CAE，再根據(jù)BAN=C=45

27、76;，AB=AC，證出BANACD，得出AN=CD，證出NAMDCM，即可得出AMB=CMD【解答】證明：法（1）如圖，延長(zhǎng)AD至F，使得CFAC，ABAC，ADBM，ABM=DAC，又AB=AC，CFAC，ABMCAF，BMA=F，AM=CF，BCA=BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，F(xiàn)CDMCD，AMB=F=CMD；法（2）AD交BM于E，作BAC的平分線交BM于N，AEBM，BAAC，ABN=CAE，BAN=C=45°，AB=AC，BANACDAN=CD，NAM=C=45°，AM=MC NAMDCM，AMB=CMD【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解等腰直角三

28、角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)解等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判斷與性質(zhì)進(jìn)行解答即可10如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC及AB的中點(diǎn)，射線FE與AD及BC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)H及G試猜想AHF與BGF的關(guān)系，并給出證明提示：若猜想不出AHF與BGF的關(guān)系，可考慮使四邊形ABCD為特殊情況如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié)AC，以F為中心，將ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到ABP【分析】方法一：連AC，取其中點(diǎn)為M，連EM和FM，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EMAD，2EM=AD，同理FMBC，2FM=BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

29、角相等可得AHF=MEF，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得BGF=MFE，從而得證；方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到ABP，根據(jù)獨(dú)角戲互相平分的四邊形的平行四邊形可得APBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得AP=BC=AD，連結(jié)AP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得APD=ADP，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EFDP根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得AHF=ADP，根據(jù)兩邊互相平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可得BGF=APD，然后等量代換即可得證【解答】答：AHF=BGF證明：方法一：連AC，取其中點(diǎn)為M，連EM和FM，EM是ACD的中位線，EMAD，

30、2EM=AD，同理FMBC，2FM=BC，EM=FM，MEF=MFE，AHF=MEF，BGF=MFE，AHF=BGF；方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到ABP，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，APBC是平行四邊形，AP=BC=AD，連結(jié)AP，則APD=ADP，EF是CDP的中位線，EFDP，AHF=ADP，GFDP，GBAP，BGF=APD，AHF=BGF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線11如圖，D為ABC中線AM的中點(diǎn)，過(guò)M作AB、AC邊的垂線，垂足分別為P、Q，過(guò)P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點(diǎn)N（1

31、）求證：PN=QN；（2）求證：MNBC【分析】（1）要證明PN=QN，只有證明這兩條線段所在的三角形全等就可以了，連接DN，利用斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等就可以了（2）BPM和CQM是直角三角形，由條件知道MB=CM，取BM、CM的中點(diǎn)S、T，連接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的關(guān)系證明SPN=TQN，再證明SPNTQN，從而得到NS=NT，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明MNBC【解答】證明：（1）方法一：連接DND為ABC中線AM的中點(diǎn)AD=MD，MB=CMMPAB，MQACAPM=AQM=90°APM、AMQ是直角三角形PD=AM，QD=AMPD=QDRtDP

32、NRtDQN（HL）NP=PQ；方法二：MPAB，MQACAPM=AQM=90°，所以APM+AQM=180°，所以四邊形APMQ為圓內(nèi)接四邊形D為AM的中點(diǎn)，PD，DQ為以D為圓心的四邊形APMQ內(nèi)接圓的半徑PNPD，QNQD，PN，NQ為圓的兩條切線，PN=NQ（2）取BM、CM的中點(diǎn)S、T，連接SP、SN、TQ、TNSP=BM=MC=TQSPN=90°BPSNPM=90°BDPA=90°BBAM=90°AMC=90°DMQQMT=90°DQMMQT=TQNSPNTQNSN=TNSM=TMNMBC【點(diǎn)評(píng)】本題考

33、查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)12在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到點(diǎn)E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N求證：DEMDFN；PAE=PBF【分析】要證DEMDFN，由D、M、N分別是AB、AP、BP的中點(diǎn)，所以DM=BP，DN=AP，再有過(guò)E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，所以EM=AP=DN，F(xiàn)N=BP=DM又DE=DF所以DEMDFN由得EMD=FND，由AMD=BND=APB所以AME=BNF，那么PAE=（180°AME），PBF=（180

34、°BNF），即PAE=PBF【解答】證明：如圖，在ABP中，D、M、N分別是AB、AP、BP的中點(diǎn)，DM=BP，DN=AP，又PEAE，BFPFEM=AP=DN，F(xiàn)N=BP=DM，DE=DFDEMDFN（SSS）；由結(jié)論DEMDFN可知EMD=FND，DMBP，DNAP，AMD=BND=APB，AME=BNF又PEAE，BFPF，AEP和BFP都為直角三角形，又M，N分別為斜邊PA與PB的中點(diǎn)，AM=EM=AP，BN=NF=BP，MAE=MEA，NBF=NFB，PAE=（180°AME），PBF=（180°BNF）即PAE=PBF，【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段之間的關(guān)系

35、，和全等三角形的判定和性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握13如圖：已知ABDC，BAD和ADC的平分線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的直線分別交AB、DC于B、C兩點(diǎn)猜想線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【分析】在AD上截取AF=AB，連接EF，根據(jù)SAS證BAEFAE，推出B=EFA，求出C=EFD，證CDEFDE，推出DC=DF，即可得出答案【解答】答：AD=AB+DC，證明：在AD上截取AF=AB，連接EF，AE平分BAF，BAE=FAE，在BAE和FAE中BAEFAE（SAS），B=EFA，ABDC，B+C=180°，EFD+EFA=180°，C=EFD，DE平分CDA，CDE=

36、FDE，在CDE和FDE中CDEFDE（AAS），DC=DF，AD=AF+DF=AB+DC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線14如圖，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，G是BC上一點(diǎn)，DGH是等邊三角形求證：EG=FH【分析】連接DE、DF，根據(jù)三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，可證明DEGDFH，即可得結(jié)論【解答】證明：連接DE、DF，（如圖）D、E、F是各邊中點(diǎn)，DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，AB=BC=CA，A=B=C=60°，DE=DF，EDF=DFA=C=

37、60°已知等邊DHG，DG=DH，HDG=60°=EDF，EDFFDG=HDGFDG，即1=2，DEGDFH（SAS），F(xiàn)H=EG【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，涉及到三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等判定方法是解題的關(guān)鍵15已知如圖，CD是RTABC斜邊上的高，A的平分線交CD于H，交BCD的平分線于G，求證：HFBC【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)作輔助線連接FE，進(jìn)而證得HCEF是菱形從而證得【解答】證明：連接FE，CD是RtABC斜邊上的高，A=DCB，又AE平分A，CF平分BCD，DCF=DAE，又AHD=CHE，ADH=90度，CG

38、E=90度，在三角形ACF中，AE是高，中線，角平分線，CFHE，CG=FG，CH=FH，CE=EF，CF是CHE的高，中線，角平分線，CH=CE，CH=HF=EF=CE，四邊形HCEF是菱形，HFBC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)以及其應(yīng)用，問(wèn)題有一定難度16已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90°點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M點(diǎn)F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA（1）若MFC=120°，求證：AM=2MB；（2）試猜想MPB與FCM數(shù)量關(guān)系并證明【分析】（1）連接MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距

39、離相等可得MD=MC，然后利用“邊邊邊”證M明MFC與MAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得MAD=MFC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出BAD，然后求出BAM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得BMP=FMD=DMA，然后用BMP表示出FCM，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解【解答】（1）證明：連接MD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，MED，MD=MC，在MFC與MAD中，MFCMAD（SSS），MAD=MFC=120°，ADBC，ABC=90°，BAD=180°

40、;ABC=180°90°=90°，BAM=MADBAD=120°90°=30°，ABM=90°，AM=2MB；（2）解：2MPB+FCM=180°理由如下：由（1）可知BMP=FMD=DMA，F(xiàn)CM=ADM=DMC=2BMP，BMP=FCM，ABC=90°，MPB+BMP=90°，MPB+FCM=90°，2MPB+FCM=180°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是

41、解題的關(guān)鍵17如圖，在ABC中ACBC，E、D分別是AC、BC上的點(diǎn)，且BAD=ABE，AE=BD求證：BAD=C【分析】作OBF=OAE交AD于F，由已知條件用“ASA”可判定AOEBOF，所以AE=BF，再有條件AE=BD得BF=BD，所以BDF=BFD，再利用三角形的外角關(guān)系證得BOF=C，又因?yàn)锽OF=BAD+ABE=2BAD，所以：BAD=C【解答】證明：作OBF=OAE交AD于F，BAD=ABE，OA=OB又AOE=BOF，AOEBOF（ASA）AE=BFAE=BD，BF=BDBDF=BFDBDF=C+OAE，BFD=BOF+OBF，BOF=CBOF=BAD+ABE=2BAD，BA

42、D=C，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，常用的判斷方法為：SAS，SSS，AAS，ASA常用到的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對(duì)頂角AOE=BOF18已知A，C，B在同一條直線上，ACE，BCF都是等邊三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MGCN，垂足為G求證：CG=NG【分析】先證ACF與ECB全等，得到AFC=ABE，再證FMCBNC得到MC=MN，有條件MG垂直于NC而得到結(jié)論【解答】證明：ACE，BCF都是等邊三角形，AC=EC，F(xiàn)C=BC，ACE=BCF=60°，ECN=60°，BCE=ACF，ACFE

43、CB，AFC=ABE，F(xiàn)CM=BCN=60°，CF=CB，F(xiàn)MCBNC，CM=CN，ECN=60°，CNMN是等邊三角形，CM=MN，MGNC，GC=GN【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)兩次全等得到MC=MN，通過(guò)MG垂直于NC得到結(jié)論19如圖所示，在ABC中，ABC=2C，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E點(diǎn)，使BE=BD，過(guò)點(diǎn)D、E引直線交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明之【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得E=BDE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出ABC=2BDE，從而求出C=BDE，再求出C=CDF，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=F

44、C，再根據(jù)等角的余角相等求出CAD=ADF，根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=AF，即可得到AF=FC【解答】解：AF=FC理由如下：BE=BD，E=BDE，ABC=E+BDE=2BDE，ABC=2C，C=BDE，又BDE=CDF，C=CDF，DF=FC，AD為BC邊上的高，CDF+ADF=ADC=90°，C+CAD=180°90°=90°，CAD=ADF，DF=AF，AF=FC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵20如圖，ABC是邊長(zhǎng)為l的等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角

45、形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個(gè)三角形，求證：AMN的周長(zhǎng)等于2【分析】可在AC延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，得RtBDMRtCDM1，得出邊角關(guān)系，再求解MDNM1DN，得MN=NM1，再通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論【解答】證明：如圖，在AC延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，ABC=ACB=60°，DBC=DCB=30°，ABD=ACD=90°，DCM1=90°，BD=CD，在BDM和CDM1中，BDMCDM1（SAS），得MD=

46、M1D，MDB=M1DC，MDM1=120°MDB+M1DC=120°，NDM1=60°，在MDN和M1DN中，MDNM1DN（SAS），MN=NM1，故AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解一些簡(jiǎn)單的結(jié)論21已知如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且AE=（AB+AD），求證：B與D互補(bǔ)【分析】可在AB上截取AF=AD，可得ACFACD，得出AFC=D，再由線段之間的關(guān)系A(chǔ)E=（AB+AD）得出BC=CF，進(jìn)而通過(guò)角之間的

47、轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論【解答】證明：在AB上截取AF=AD，連接CF，AC平分BAD，BAC=CAD，又AC=AC，ACFACD（SAS），AF=AD，AFC=D，AE=（AB+AD），EF=BE，又CEAB，BC=FC，CFB=B，B+D=CFB+AFC=180°，即B與D互補(bǔ)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明問(wèn)題22如圖，已知ABC中，A=90°，AB=AC，1=2，CEBD于E求證：BD=2CE【分析】延長(zhǎng)CE、BA交于F，根據(jù)角邊角定理，證明BEFBEC，進(jìn)而得到CF=2CE的關(guān)系再

48、證明ACF=1，根據(jù)角邊角定理證明ACFABD，得到BD=CF，至此問(wèn)題得解【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)CE、BA交于FCEBD，BEF=BEC=90°，1=2，在BEF和BEC中，BEFBEC（ASA），EF=EC，CF=2CE，BAC=90°，F(xiàn)AC=90°=BACCEBD，ACF=1，在ACF和ABD中，ACFABD（ASA），BD=CF，BD=2CE【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)解決本題主要是恰當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形內(nèi)邊間的關(guān)系來(lái)解決23AD是ABC的角平分線，M是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)MAD交AB的延長(zhǎng)線于F，交AC于E（1

49、）求證：CE=BF；（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【分析】（1）延長(zhǎng)CA交FM的平行線BG于G點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得到BM=CM、CE=GE，從而證得CE=BF；（2）利用上題證得的EA=FA、CE=BF，進(jìn)一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CA交FM的平行線BG于G點(diǎn)，G=CAD、GBA=BADAD平分BAC，BAD=CAD，AG=AB，F(xiàn)MADF=BAD、FEA=DACBAD=DAC，F(xiàn)=FEA，EA=FA，GE=BF，M為BC邊的中點(diǎn)，BM=CM，EMGB，CE=GE，CE=BF；（2）AB+AC=2E

50、C證明：EA=FA、CE=BF，AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造輔助線，另外題目中還考查了平行線等分線段定理24如圖，AD是ABC的中線，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90°判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關(guān)系【分析】猜想：EF=2AD，EFAD證明：延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長(zhǎng)DA交EF于N，易證BD=CD，即可證明ABDMCD，可得AB=MC，BAD=M，即可求得EAF=MCA，即可證明AEFCMA，可得EF=AM，CAM=F，即可解題【解答】解：EF=2AD，EF

51、AD證明：延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長(zhǎng)DA交EF于N，AD=DM，AM=2AD，AD是ABC的中線，BD=CD，在ABD和MCD中，ABDMCD，（SAS）AB=MC，BAD=M，AB=AE，AE=MC，AEAB，AFAC，EAB=FAC=90°，F(xiàn)AC+BAC+EAB+EAF=360°，BAC+EAF=180°，CAD+M+MCA=180°，CAD+BAD+MCA=180°，即BAC+MCA=180°，EAF=MCA在AEF和CMA中，AEFCMA，EF=AM，CAM=F，EF=2AD；CAF=90°，CA

52、M+FAN=90°，CAM=F，F(xiàn)+FAN=90°，ANF=90°，EFAD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證ABDMCD和AEFCMA是解題的關(guān)鍵25如圖，四邊形ABCD中，BC=DC，對(duì)角線AC平分BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的長(zhǎng)【分析】作輔助線構(gòu)建直角三角形，求證CFDCEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根據(jù)DF求CF，根據(jù)CF、AF求AC【解答】解：過(guò)C作CEAB，CFAD，CEA=90°，CFD=90°，AC平分BAD，CF=CE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），又BC=DC，CFDCEB（HL），DF=EB，同理可得ACFACE，AF=AE，AD+DF=ABBE，即9+DF=2