數(shù)列綜合題解答

1、數(shù)列練習(xí)題（1）1.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列an滿足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,則使前項(xiàng)Sn>0成立的最大自然數(shù)是（ ）A. 4009 B.4010 C. 4011 D.4012解法1：由題意知:等差數(shù)列中,從第1項(xiàng)到第2005項(xiàng)是正數(shù),且從第2006項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù),S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011=4011a2006<0, 故n的最大值為4010.解法2:由題意可得:等差數(shù)列中,從第1項(xiàng)到第2005項(xiàng)是正數(shù),且從第2006項(xiàng)開(kāi)始是負(fù)數(shù),則所有的正項(xiàng)的和為Sn的最大值

2、,即當(dāng)n=2005時(shí),取得最大值,顯然Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),且開(kāi)口向下,所以第2005項(xiàng)離對(duì)稱(chēng)軸最近,故其對(duì)稱(chēng)軸介于2005到2005.5之間,又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(0,0),設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)(x,0),x應(yīng)介于4010到4011之間.所以使Sn>0的最大自然數(shù)是4010,故選B. 本小題結(jié)論可以推廣成一般結(jié)論:等差數(shù)列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0的最大自然數(shù)n是2k.2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；若，則數(shù)列是等差數(shù)列；若，則數(shù)列是等比數(shù)列.

3、這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（D）A0 B1C2D3 不妨設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)為，則其又成等比數(shù)列，故，即；由的公式，可求出，故是等差數(shù)列；由可求由，故數(shù)列是等比數(shù)列. 故選.3. 等差數(shù)列的公差且，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)是（ ）A5B6C5或6D6或7 由，知.，故選C4. 在數(shù)列an中，a1=2,an+1=0，則a2008= ( ) A. B. C. D. 由an+1=-為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為0，則.5由函數(shù)確定數(shù)列，, 若函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”（1）若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為，求；（2）設(shè)，數(shù)列與其反數(shù)列的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為（公共項(xiàng)為正整數(shù)）求數(shù)列前1

4、0項(xiàng)和；（3）對(duì)（1）中，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍 解 （1）（）（為正整數(shù)），（）所以數(shù)列的反數(shù)列的通項(xiàng)（為正整數(shù)）。（2）， ，則，有， 所以的前項(xiàng)和 （3）對(duì)于（1）中，不等式化為：對(duì)任意正整數(shù)恒成立 。設(shè)，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，要使不等式恒成立，只要， ，所以，使不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立的的取值范圍是：6.(1)已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an . 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)，

5、 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時(shí)， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3(2)已知數(shù)列的首項(xiàng)，求的通項(xiàng)公式；，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（3）（2008陜西）已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列的前項(xiàng)和解：（） ， ， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（）由（）知，即，設(shè)， 則，由得 ，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和 7.(20

6、09全國(guó)卷理)在數(shù)列中， （I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =8.(2009山東卷文)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則 相減,得 所以9.（2008全國(guó)II） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求

7、的取值范圍（）依題意，即，由此得因此，所求通項(xiàng)公式為，（）由知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求的的取值范圍是設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；解：（I）當(dāng)時(shí)， 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， （II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 不存在正整數(shù)，使得成立。 （III）由得 又， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 10.（2009全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列

8、的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 11.已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)，并證明解：（）由已知，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.（）由（）知 （*）= 由（*）式得（） 又 又.12蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第

9、個(gè)圖的蜂巢總數(shù).(1) 試給出的值，并求的表達(dá)式（不要求證明）；(2) 證明：.解： 由于因此，當(dāng)時(shí)，有所以.又，所以. 當(dāng)時(shí)，. 所以.13已知數(shù)列，設(shè) ，數(shù)列。（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；（3）若一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）由題意知，數(shù)列的等差數(shù)列（2）由（1）知，于是兩式相減得（3）當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，取最大值是，又即14已知a、b、m、，是首項(xiàng)為a，公差為b的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列，且滿足（1）求a的值；（2）數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)，且公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求的前n項(xiàng)之和（1），由已知abababa2b，由

10、a2bab，a、得，a2又得，而，b3再由aba2b，b3，得2a3a2（2）設(shè)，即，b3，故15數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，（1）證明數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列。（2）求關(guān)于n的表達(dá)式。（3）請(qǐng)猜測(cè)是否存在自然數(shù)，對(duì)于所有的有恒成立，并證明。（1）證明由已知 （2） （3）猜測(cè)：存在 16 已知函數(shù)滿足2+，對(duì)x0恒成立，在數(shù)列an、bn中，a1=1，b1=1，對(duì)任意xN+，。 （1）求函數(shù)解析式； （2）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù),總存在自然數(shù)k,當(dāng)nk時(shí),恒成立，求k的最小值。解：（1），聯(lián)立解得 （2），是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列， 又 ，相加有， （3）對(duì)任意實(shí)

11、數(shù)0，1時(shí)，恒成立，則恒成立，變形為，恒成立。設(shè)， ， 或，nN+故kmin=317.已知在（1，1）上有定義，=1，且滿足對(duì)數(shù)列 （1）證明：在（1，1）上為奇函數(shù)； （2）求的表達(dá)式； （3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意成立？若存在，求出m的最小值.（1）當(dāng)x=y=0時(shí)，；令x=0，得對(duì)任意的故在（1，1）上為奇函數(shù). （2）滿足 在（1，1）上為奇函數(shù).；由 （3）假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意成立.即恒成立. 解得.存在自然數(shù)，使得對(duì)于任意成立.此時(shí)，m的最小值為16.數(shù)列練習(xí)題（2）1.已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求及；（3）令若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)。解

12、：（1） 是以為公差的等差數(shù)列又（2）（3）當(dāng)時(shí)，又 又對(duì)一切成立，即對(duì)一切成立，又單調(diào)遞增，所以 最小正整數(shù)為2.在數(shù)列中，已知，（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：，解：（1）注意到，所以原式整理得：由，得對(duì)，從而由，兩邊取倒數(shù)得：，即 ，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 . 故數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）證法1：， 當(dāng)時(shí)，+.證法2：， 當(dāng)時(shí)， .3設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式解：由題意知，且； 兩式相減得 即 （）當(dāng)時(shí)，由知，于是 又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（）當(dāng)時(shí)，由（）知，即 當(dāng)時(shí)，由由得因此得4數(shù)列an中，a18

13、，a42且滿足an22an1an nN（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn ( nN)，Tnb1b2bn( nN)，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意nN，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解 ：（1）由an22an1anÞan2an1an1an可知an成等差數(shù)列，d2 an102n（2）由an102n0得n5 當(dāng)n5時(shí)，Snn29n當(dāng)n>5時(shí)，Snn29n40 故Sn （nN）（3）bn() Tn b1b2bn (1)()()()(1)=Tn1Tn2T1.要使Tn>總成立，需<T1恒成立，即m<8，（mZ）。故適合條件的m的最大值為7

14、。5.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖上。 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，是數(shù)列的n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m。解：（I）依題意得，即。當(dāng)n2時(shí)，a;當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必須滿足，即m10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。6.已知數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為 滿足（1）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：（3）證明:對(duì)任意的，均存在，使得（2）中的成立解：（1）由得，即又， 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）（3）證明：由（2）可知若,則得,化簡(jiǎn)得，當(dāng)，即當(dāng)，取即可,綜上可知,對(duì)任意的均

15、存在使得時(shí)（2）中的成立7.已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，和3，7，11，都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少相同的項(xiàng)？并求所有相同項(xiàng)的和.分析一：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來(lái)的先后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù).解法一：設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)按原來(lái)的前后次序組成的新數(shù)列為an，則a1=11.數(shù)列5，8，11，與3，7，11，公差分別為3與4，an的公差d=3×4=12，an=12n1.又5，8，11，與3，7，11，的第100項(xiàng)分別是302與399，an=12n1302，即n25.5.又nN*，兩個(gè)數(shù)列有25個(gè)相同的項(xiàng).其和S25=11×25+×12=

16、3875.分析二：由條件可知兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用不定方程的求解方法來(lái)求解.解法二：設(shè)5，8，11，與3，7，11，分別為an與bn，則an=3n+2，bn=4n1.設(shè)an中的第n項(xiàng)與bn中的第m項(xiàng)相同，即3n+2=4m1，n=m1.又m、nN*，設(shè)m=3r（rN*），得n=4r1.根據(jù)題意得 解得1r25（rN*）.從而有25個(gè)相同的項(xiàng)，且公差為12，其和S25=11×25+×12=3875.8.2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2003年開(kāi)始，計(jì)劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.（1）設(shè)該縣的總面積為1

17、，2002年底綠化面積為a1=，經(jīng)過(guò)n年后綠化的面積為an+1，試用an表示an+1；（2）求數(shù)列an的第n+1項(xiàng)an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過(guò)60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：當(dāng)年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積.解：（1）設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為b1，經(jīng)過(guò)n年后非綠化面積為bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依題意，an+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積an減去被非綠化部分an后剩余的面積an，另一部分是新綠化的面積bn，于是an+1=an+bn=an+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（a

18、n）.數(shù)列an是公比為，首項(xiàng)a1=的等比數(shù)列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，綠化率才能超過(guò)60%.9. 由市場(chǎng)調(diào)查得知：某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，如果不作廣告宣傳且每件獲利元，那么銷(xiāo)售量為件；如果作廣告宣傳且每件售價(jià)不變，那么廣告費(fèi)用千元比廣告費(fèi)用（）千元時(shí)的銷(xiāo)售量多件（）（1）試寫(xiě)出銷(xiāo)售量與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)公司應(yīng)作幾千元廣告，銷(xiāo)售量為多少件時(shí)，才能使去掉廣告費(fèi)用后的獲利最大？（1）設(shè)不做廣告宣傳銷(xiāo)售量為，廣告費(fèi)用千元時(shí)的銷(xiāo)售量為，依題意， 所以= （2），設(shè)獲利為元，則有 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即數(shù)列先

19、增后減，； 所以時(shí)，最大，此時(shí)即該廠家應(yīng)做5千元的廣告，銷(xiāo)售量為7875件產(chǎn)品時(shí)，能使獲利最大10.某城市年末汽車(chē)保有量為萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)萬(wàn)量，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？思路分析：如果設(shè)每年新增汽車(chē)數(shù)為萬(wàn)輛，則遞推或歸納出各年汽車(chē)保有量的關(guān)系，即有。 從而。， 。下面要求的取值范圍是在的前提下：當(dāng)為遞減函數(shù)（或常數(shù)），即，這時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，遞增，而，因而限定，得（萬(wàn)輛），這樣二者求并集即可。要注意。11.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記中的最大項(xiàng)。（1） 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，