兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式

1、歐陽(yáng)文創(chuàng)編兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：AUB=A+B - AAB （G:重合的部分）時(shí)間:2021.03. 12創(chuàng)作：歐陽(yáng)文三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：AUBUC二A+B+C - AAB -BQC - CAA + AABAC詳細(xì)推理如下：1、等式右邊改造二 【（A+B - AQB） +C - BAC-CAA + AABAC2、文氏圖分塊標(biāo)記如右圖圖：1 2 4 5構(gòu)成A, 2 3 5 6構(gòu) 成B, 4 5 6 7構(gòu)成C3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2 + 3+4+ 5 + 6六部 分：那么AUBUC還缺部分7。4、等式右邊【】號(hào)里+C （4+ 5+ 6+ 7）后，相當(dāng)于AUBUC多力口了 4+ 5

2、+ 6三部分，減去BQC （即5 + 6兩部分）后，還多加了部分4。5、等式右邊里減去CAA （即4 + 5兩部分）后，AUBUC又多減了部分5 ,則加上AABAC （即5 ）剛好是AUBUCo編輯本段歐陽(yáng)文創(chuàng)編歐陽(yáng)文創(chuàng)編容斥原理1如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類(lèi)，那么，A類(lèi)B類(lèi)元素個(gè)數(shù) 總和二屬于A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+屬于B類(lèi)元素個(gè)數(shù)一既是A類(lèi)又是 B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)。例1 一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語(yǔ) 文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一 門(mén)得滿分的同學(xué)有多少人？分析 依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語(yǔ)、數(shù)得滿分兩類(lèi)，“數(shù)學(xué) 得滿分”稱(chēng)為“A類(lèi)元素”，“語(yǔ)文得滿分”稱(chēng)為“B類(lèi)元

3、 素”，“語(yǔ)、數(shù)都是滿分”稱(chēng)為“既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元 素”，“至少有一門(mén)得滿分的同學(xué)”稱(chēng)為“A類(lèi)和B類(lèi)元素個(gè) 數(shù)”的總和。答案15+12-4 二 23試一試 電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62 人看過(guò)2頻道，34人看過(guò)8頻道，其中11人兩個(gè)頻道都看 過(guò)。兩個(gè)頻道都沒(méi)看過(guò)的有多少人？100-(62+34-11)=15編輯本段容斥原理2歐陽(yáng)文創(chuàng)編歐陽(yáng)文創(chuàng)編如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類(lèi)，那么，A類(lèi)和B類(lèi)和C 類(lèi)元素個(gè)數(shù)總和二A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+ B類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù) 既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)一既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè) 數(shù)一既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+既是A類(lèi)又是B類(lèi)而且是C 類(lèi)的

4、元素個(gè)數(shù)。例2 某校六（1）班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體 育訓(xùn)練隊(duì)，其屮參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22 人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足 球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問(wèn)： 三項(xiàng)都參加的有多少人？分析：參加足球隊(duì)的人數(shù)25人為A類(lèi)元素，參加排球隊(duì)人 數(shù)12人為B類(lèi)元素，參加游泳隊(duì)的人數(shù)24人為C類(lèi)元素，既 是A類(lèi)又是B類(lèi)的為足球排球都參加的12人，既是B類(lèi)又C類(lèi) 的為足球游泳都參加的9人，既是C類(lèi)又是A類(lèi)的為排球游泳 都參加的8人，三項(xiàng)都參加的是A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)的總和設(shè)為Xo 注意：這個(gè)題說(shuō)的每人都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，所以這個(gè)班的總 人數(shù)

5、既為A類(lèi)B類(lèi)和C類(lèi)的總和。答案：25+22+24-12-9-8+X二45 解得 X二3例3 在1到1000的自然數(shù)屮，能被3或5整除的數(shù)共有多 少個(gè)？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？歐陽(yáng)文創(chuàng)編歐陽(yáng)文創(chuàng)編分析：顯然，這是一個(gè)重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題（當(dāng)然，如果不怕麻煩你 可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5 整除的數(shù)”分別看成A類(lèi)元素和B類(lèi)元素，能“同時(shí)被3或5 整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復(fù)計(jì)算的數(shù)，即“既是A類(lèi) 又是B類(lèi)的元素”。求的是“A類(lèi)或B類(lèi)元素個(gè)數(shù)”。現(xiàn)在我 們還不能直接計(jì)算，必須先求出所需條件。10004-3=3331,能被3整除的數(shù)有333個(gè)（想一想,這是 為什么？）

6、同理，可以求出其他的條件。例4 分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？分析：這一題實(shí)際上就是找分子中不能與1001進(jìn)行約分的 數(shù)。由于1001=7X11X13,所以就是找不能被7, 11, 13整除 的數(shù)。解答:T1001中，有7的倍數(shù)1001/7 = 143 （個(gè)）；有11的倍數(shù) 1001/11 二 91 （個(gè)），有 13 的倍數(shù) 1001/13 二 77（個(gè)）；有 7´ 11=77 的倍數(shù) 1001/77 = 13 （個(gè)），有 7´13=91 的倍數(shù) 1001/91 = 11 （個(gè)），有 ll´ 13=143 的倍數(shù) 1001/4

7、3 = 7 （個(gè)）.有 1001 的倍數(shù) 1 個(gè).由容斥原理知：在1'1001中，能被7或11或13整除的數(shù)有 （143+91+7）-（13+11+7）+1 二281（個(gè)），從而不能被 7、11 或 13 整 除的數(shù)有1001-281二720（個(gè)）.也就是說(shuō)，分母為1001的最簡(jiǎn)分 數(shù)有720個(gè).例5歐陽(yáng)文創(chuàng)編歐陽(yáng)文創(chuàng)編某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、投擲三個(gè)項(xiàng)目的 測(cè)試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每 人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，達(dá)到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下 表：游泳投擲投擲游泳.投擲求這個(gè)班的學(xué)生共有多少人？分析：這個(gè)班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達(dá)到優(yōu)秀和沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀 的

8、。試一試：一個(gè)班有42人，參加合唱隊(duì)的有30人，參加美術(shù)組的有25人，有5人什么都沒(méi)有參加，求兩種都參加的有多少人？在一根長(zhǎng)的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析很顯然，要計(jì)算木棍被鋸成多少段，只需要計(jì)算出木棍上共有多少 條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開(kāi)，木棍有9條刻度線。在此 木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù) 的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度歐陽(yáng)文創(chuàng)編歐陽(yáng)文創(chuàng)編線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來(lái)解決此問(wèn)題。用容 斥原理的那一個(gè)呢？想一想，被計(jì)數(shù)的事物有那幾類(lèi)？每一類(lèi)的元素個(gè) 數(shù)是多少？解答不計(jì)木棍的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9, 11, 14（相 應(yīng)于10, 12, 15等分），共計(jì)34個(gè)由于5, 6的最小公倍數(shù)為30,所以10與12等份的等分點(diǎn)在30單位處相重，必須從34中減1.又由于4, 5的最小公倍數(shù)為20,所以12與15等份的等分點(diǎn)在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2,同樣，6,