壓電陶瓷測(cè)量原理

1、壓電陶瓷及其測(cè)量原理近年來(lái),壓電陶瓷的研究開(kāi)展迅速,取得一系列重大成果,應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大,已深入到國(guó)民經(jīng)濟(jì)和尖端技術(shù)的各個(gè)方面中,成為不可或缺的現(xiàn)代化工業(yè)材料之一.由于壓電材料的各向異性,每一項(xiàng)性能參數(shù)在不同的方向所表現(xiàn)出的數(shù)值不同,這就使得壓電陶瓷材料的性能參數(shù)比一般各向同性的介質(zhì)材料多得多.同時(shí),壓電陶瓷的眾多的性能參數(shù)也是它廣泛應(yīng)用的重要根底.一壓電陶瓷的主要性能及參數(shù)1壓電效應(yīng)與壓電陶瓷在沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中央的晶體上施加壓力、張力或切向力時(shí),那么發(fā)生與應(yīng)力成比例的介質(zhì)極化,同時(shí)在晶體兩端將出現(xiàn)正負(fù)電荷,這一現(xiàn)象稱(chēng)為正壓電效應(yīng)；反之,在晶體上施加電場(chǎng)時(shí),那么將產(chǎn)生與電場(chǎng)強(qiáng)度成比例的變形或機(jī)械應(yīng)力

2、,這一現(xiàn)象稱(chēng)為逆壓電效應(yīng).這兩種正、逆壓電效應(yīng)統(tǒng)稱(chēng)為壓電效應(yīng).晶體是否出現(xiàn)壓電效應(yīng)由構(gòu)成晶體的原子和離子的排列方式,即晶體的對(duì)稱(chēng)性所決定.在聲波測(cè)井儀器中,發(fā)射探頭利用的是正壓電效應(yīng),接收探頭利用的是逆壓電效應(yīng).2壓電陶瓷的主要參數(shù)1、介質(zhì)損耗介質(zhì)損耗是包括壓電陶瓷在內(nèi)的任何電介質(zhì)的重要品質(zhì)指標(biāo)之一.在交變電場(chǎng)下,電介質(zhì)所積蓄的電荷有兩種分量：一種是有功局部同相,由電導(dǎo)過(guò)程所引起；另一種為無(wú)功局部異相,由介質(zhì)弛豫過(guò)程所引起.介質(zhì)損耗是異相分量與同相分量的比值,如圖1所示,1c為同相分量,Ir為異相分量,1c與總電流I的Ir1夾角為6,其正切值為tand=-=-其中3為交變電場(chǎng)的角頻率,R為損耗

3、IcCR電阻,C為介質(zhì)電容圖1交流電路中電壓-電流矢量圖有損耗時(shí)2、機(jī)械品質(zhì)因數(shù)機(jī)械品質(zhì)因數(shù)是描述壓電陶瓷在機(jī)械振動(dòng)時(shí),材料內(nèi)部能量消耗程度的一個(gè)參數(shù),它也是衡量壓電陶瓷材料性能的一個(gè)重要參數(shù).機(jī)械品質(zhì)因數(shù)越大,能量的損耗越小.產(chǎn)生能量損耗的原因在于材料的內(nèi)部摩擦.機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Qm的定義為：機(jī)械品質(zhì)因數(shù)可根據(jù)等效電路計(jì)算而得式中Ri為等效電阻Q,3s為串聯(lián)諧振角頻率Hz,Ci為振子諧振時(shí)的等效電容F,Li為振子諧振時(shí)的等效電感.Qm與其它參數(shù)之間的關(guān)系將在后續(xù)詳細(xì)推導(dǎo).不同的壓電器件對(duì)壓電陶瓷材料的Qm值的要求不同,在大多數(shù)的場(chǎng)合下包括聲波測(cè)井的壓電陶瓷探頭,壓電陶瓷器件要求壓電陶瓷的Qm值要

4、高.3、壓電常數(shù)壓電陶瓷具有壓電性,即在其外部施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷.其產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例,對(duì)于壓力和張力來(lái)說(shuō),其符號(hào)是相反的,電位移D單位面積的電荷和應(yīng)力仃的關(guān)系表達(dá)式為：D=Q=drA式中Q為產(chǎn)生的電荷C,A為電極的面積m2,d為壓電應(yīng)變常數(shù)C/N.在逆壓電效應(yīng)中,施加電場(chǎng)E時(shí)將成比例地產(chǎn)生應(yīng)變S,所產(chǎn)生的應(yīng)變S是膨脹還是收縮,取決于樣品的極化方向.S=dEDS兩式中的壓電應(yīng)變常數(shù)d在數(shù)值上是相同的,即d=D=?二E另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù)g,它表示應(yīng)力與所產(chǎn)生的電場(chǎng)的關(guān)系,或應(yīng)變與所引起的電位移的關(guān)系.常數(shù)g與d之間有如下關(guān)系：g=式中名為介電系數(shù).在聲波測(cè)井儀器

5、中,壓電換能器希望具有較高的壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電電壓常數(shù),以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有較高的接受靈敏度.4、機(jī)電耦合系數(shù)當(dāng)用機(jī)械能加壓或者充電的方法把能量加到壓電材料上時(shí),由于壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng),機(jī)械能或電能中的一局部要轉(zhuǎn)換成電能或機(jī)械能.這種轉(zhuǎn)換的強(qiáng)弱用機(jī)電耦合系數(shù)k來(lái)表示,它是一個(gè)量綱為一的量.機(jī)電耦合系數(shù)是綜合反映壓電材料性能的參數(shù),它表示壓電材料的機(jī)械能和電能的耦合效應(yīng).機(jī)電耦合系數(shù)的定義為：k2=電能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能或者k2=機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔茌斎腚娔茌斎霗C(jī)械能機(jī)電耦合系數(shù)不但與材料參數(shù)有關(guān),還與具體壓電材料的工作方式有關(guān).對(duì)于壓電陶瓷來(lái)說(shuō),它的大小還與極化程度相關(guān).它只是反映機(jī)、電兩

6、類(lèi)能量通過(guò)壓電效應(yīng)耦合的強(qiáng)弱,并不代表兩類(lèi)能量之間的轉(zhuǎn)換效率.壓電材料的耦合系數(shù)在不同的場(chǎng)合有不同的要求,當(dāng)制作換能器時(shí),希望機(jī)電耦合系數(shù)越大越好.(二)壓電換能器的等效電路壓電換能器的等效電路表示法,是利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)術(shù)語(yǔ)表示壓電陶瓷的機(jī)械振動(dòng)特性,即把某些力學(xué)量模擬為電學(xué)量的方法.把壓電換能器用等效電路來(lái)表示,有很多優(yōu)點(diǎn)：其一,可以把力學(xué)上復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題有效地進(jìn)行簡(jiǎn)化；其二,為了得到換能器的各個(gè)參數(shù),從而定量地分析或篩選換能器；其三,實(shí)際應(yīng)用的需要,由于在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中,壓電換能器也是接入到具體的電子線路中的,得到壓電換能器的等效電路能夠更好地對(duì)其外圍電路進(jìn)行匹配設(shè)計(jì).由此可見(jiàn),得到壓電換能器

7、的等效電路是十分必要的.2.3壓電換能器的諧振特性將壓電換能器根據(jù)圖2-2所示線路連接.當(dāng)改變信號(hào)頻率時(shí),可以發(fā)現(xiàn),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流也隨著發(fā)生變化,其變化規(guī)律如圖2-3(a)所示.從圖2-3(a)可以看出,當(dāng)信號(hào)為某一頻率fm時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流出現(xiàn)最大值Imax；而當(dāng)信號(hào)變到另一頻率3時(shí),傳輸電流出現(xiàn)最小值Imin.由流經(jīng)它的電流隨頻率的變化可以看出,壓電陶瓷換能器的阻抗是隨頻率的變化而變化的,其變化規(guī)律同電流相反,如圖2-3(b)所示.圖2-2壓電陶瓷換能器諧振特性接線示意圖圖2-3壓電陶瓷換能器電流、阻抗同頻率的關(guān)系曲線(a)電流-頻率關(guān)系曲線(b)阻抗-頻率關(guān)系曲線從圖

8、中可以看出,當(dāng)信號(hào)頻率為fm時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流最大,即其等效阻抗最小,導(dǎo)納最大；當(dāng)信號(hào)頻率為fn時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流最小,即其等效阻抗最大,導(dǎo)納最小.因此把fm稱(chēng)為最大導(dǎo)納頻率或最小阻抗頻率；而把fn稱(chēng)為最小導(dǎo)納頻率或最大阻抗頻率.而當(dāng)信號(hào)頻率繼續(xù)增大時(shí),還會(huì)出現(xiàn)一系列的電流的極大值和極小值,如圖2-4所示.圖2-4壓電陶瓷換能器電流隨頻率變化示意圖(多諧振模式)2.2.4壓電換能器的等效電路根據(jù)交流電路相關(guān)知識(shí),對(duì)于圖2-5所示好的LC電路來(lái)說(shuō),其阻抗Z也隨著頻率的變化而變化.在圖2-2所示的線路中,用LC電路代替壓電陶瓷換能器,可以發(fā)現(xiàn),在壓電陶瓷換能器的諧振頻率處,只要

9、選擇適宜的Li、C1、Ri和C0,通過(guò)LC電路的電流和LC電路的阻抗的絕對(duì)值隨頻率的變化曲線,分別同圖2-1中的b和c的關(guān)系曲線非常相似.也就是說(shuō),在串聯(lián)諧振頻率附近,壓電陶瓷換能器的阻抗特性和諧振特性同LC電路的阻抗特性和頻率特性非常相似.因此,利用機(jī)電類(lèi)比的方法,可以用一個(gè)LC電路來(lái)表示壓電陶瓷換能器的參數(shù)和特性,這個(gè)LC電路即為壓電陶瓷換能器的等效電路.圖2-5LC電路對(duì)壓電陶瓷換能器來(lái)說(shuō),在任何串聯(lián)諧振頻率附近,其電行為可以用圖2-3所示的LC電路來(lái)表示.在壓電陶瓷換能器的串聯(lián)諧振頻率附近,如果值存在一種振動(dòng)模式,即沒(méi)有其它寄生響應(yīng),那么在串聯(lián)諧振頻率附近很窄的頻率范圍內(nèi),可以認(rèn)為壓電

10、陶瓷換能器的等效參數(shù)Ri、Ci、Ri和Co與頻率無(wú)關(guān).在實(shí)際中通過(guò)選擇適宜的尺寸進(jìn)行加工處理,是可以將所需要的振動(dòng)模式同其他模式充分隔離開(kāi)來(lái)的.另外,考慮到在實(shí)際中,在通電之后,壓電陶瓷換能器必然會(huì)存在能量的損耗,這一能量損耗可用一個(gè)并聯(lián)電阻Ro來(lái)等效.所以其最終等效電路圖如圖2-6所示.圖2-6壓電陶瓷換能器等效電路圖圖中串聯(lián)支路中的Li稱(chēng)為壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電感,Ci稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電容,Ri稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電阻.這三個(gè)參數(shù)用來(lái)表征壓電陶瓷換能器在工作加電源鼓勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)的情況下,振動(dòng)局部所受到的力阻抗和介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的反作用的強(qiáng)弱.并聯(lián)電容Co又稱(chēng)靜態(tài)電容,表征壓電陶瓷換能器在未加鼓勵(lì)的情況下等效為一個(gè)純電

11、容,它的值的大小與換能器的形狀有關(guān).并聯(lián)電阻R0又稱(chēng)靜態(tài)電阻,表征換能器的電損耗的大小2.2.5壓電換能器的導(dǎo)納特性根據(jù)已得到的壓電換能器的等效電路圖,來(lái)進(jìn)一步分析其導(dǎo)納特性.為了簡(jiǎn)化推導(dǎo),先假定壓電陶瓷換能器沒(méi)有電損耗,即氏=0,此時(shí)其等效電路即為一個(gè)LC電路,如圖2-5所示.那么丫=丫.+丫12-1式中：Y為換能器的總的導(dǎo)納值,丫0=jBo=j00為并聯(lián)支路的導(dǎo)納值,Yi=G=jBi為串聯(lián)支路的導(dǎo)納值.1R1-j(-L1-)C_,.1、R1(二L1一)C1先對(duì)串聯(lián)支路進(jìn)行分析._11Z.1Z心,石為半徑的圓,也即是我們所說(shuō)的導(dǎo)納圓.如圖2-7中虛線所不RjLjCG1=R12R1(L11-(

12、L1-)Bl為2*R12(L)2C1C1(2-2)212一-2_1._.,一假設(shè)令R1十L1下=*那么小R1=8L二.由式2-2可得:C1C1R1x=G1B12=*、/)*(x_R12)f2NG11、21、22,1.2所以,B1+G1-m=0兩邊同時(shí)加上=,可得G1-；m+B1=而2-3r|2R12rv1211假設(shè)以電導(dǎo)為橫坐標(biāo),電納為縱坐標(biāo),那么式2-3表示一個(gè)以/,0為圓2K1可得到Gi=0或Gi=1/R.由于實(shí)際的壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電阻R不可能為零,根據(jù)式2-2中Gi的表達(dá)式可以知道,只有Gi=1/Ri滿(mǎn)足串聯(lián)諧振的條件.r.1即：sLi卞=0,所以可以得到串聯(lián)支路的諧振頻率又稱(chēng)機(jī)械共

13、振頻率：1-C1is=LC-2-4i接著考慮參加靜態(tài)電容后的情況.由式2-1可知,考慮靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納相當(dāng)于在串聯(lián)支路的電納虛部加上丫.鑒于一般情況下,壓電陶瓷換能器的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)都較大,也即在串聯(lián)諧振頻率Q附近,K=j6C的值隨頻率的變化很小,可以近似認(rèn)為是一個(gè)常數(shù).因此,只需將串聯(lián)支路所得到的導(dǎo)納圓的縱坐標(biāo)向上平移一個(gè)常數(shù),而橫坐標(biāo)保持不變即可得到參加靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納關(guān)系圖,如圖2-7中點(diǎn)劃線所示.假設(shè)再考慮到換能器的靜態(tài)電阻并不為零,那么實(shí)際中的導(dǎo)納圓不可能與縱軸相切,而是向橫軸的正向平移一定的量平移距離的大小取決于靜態(tài)電阻的阻值,如圖2-7中實(shí)線圓所示對(duì)導(dǎo)納圓圖進(jìn)行簡(jiǎn)要白分

14、析可知：當(dāng)ffs即切fs即.時(shí),電納值小于零.所以,隨著頻率的增加,導(dǎo)納圓是沿順時(shí)針?lè)较蜃兓?另外,在串聯(lián)諧振頻率的附近,還存在著兩個(gè)頻率點(diǎn)使得換能器總的電納為零,此時(shí)電源信號(hào)經(jīng)過(guò)換能器之后只有幅值的改變,而沒(méi)有相位的變化,也即電壓和電流信號(hào)同相位.這兩個(gè)頻率中,值較小的那個(gè)頻率fr稱(chēng)為諧振頻率,較大fa的稱(chēng)為反諧振頻率.另外還存在使得換能器的導(dǎo)納值取得最大的頻率fm,導(dǎo)納值最小的頻率fn.連接原點(diǎn)和串聯(lián)諧振頻率點(diǎn),與導(dǎo)納圓的交點(diǎn)處的頻率fp稱(chēng)為并聯(lián)諧振頻率.另外,需要特別指出的是,上述討論是在一個(gè)振動(dòng)模態(tài)諧振頻率8s附近較小的頻率變化范圍內(nèi)進(jìn)行的,并且只有在導(dǎo)納圓的直徑遠(yuǎn)大于這個(gè)頻率范圍內(nèi)

15、0Co的變化時(shí)才是正確的,否那么換能器的導(dǎo)納曲線將變得十分復(fù)雜,具有蔓葉曲線的特征.根據(jù)以上導(dǎo)納圓圖的推導(dǎo)過(guò)程,下面介紹一下壓電陶瓷換能器等效電路中各個(gè)參數(shù)和導(dǎo)納圓圖的關(guān)系,并給出各自的計(jì)算公式.在換能器的導(dǎo)納圓圖中作平行于縱軸的直徑,交導(dǎo)納圓于兩點(diǎn),分別記作fl、f2.在fi點(diǎn)處,串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等,即Gi=Bi.由式2-2可得：,i、Ri2Ri(1L1(2-5)一(,iLi一),iCi2i2R(iLi-),iCi在f2點(diǎn)處,串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等,但符號(hào)相反,即Gi=-Bi2Li-,R由式(2-2)可得：Ff(-)Ri(兒2g,2Ci-Ji12Ci(2-6)結(jié)合式2-5

16、和式2-6,可得:Li-Ri2-i(2-7)再由式2-4可得:Ci(2-8)i2sLi.八isLiiLi機(jī)械品質(zhì)因數(shù)：qmtz-=才=(2-9)tJsCiRiRiRYCi結(jié)合式2-7和2-8可得：Qm=T0s,2-ifsf2i所以：Qm=J1k(2-10)f2-fl動(dòng)態(tài)電阻的值可以通過(guò)導(dǎo)納圓的直徑求得：Ro=1/D(2-11)Vn靜態(tài)電谷Co的值也可由導(dǎo)納圓偏離橫軸的距離來(lái)確定：Co=(2-12)1s式中Vo為圓心的縱坐標(biāo).靜態(tài)電阻R0的值可由導(dǎo)納圓偏離縱軸的距離(或圓心的橫坐標(biāo))來(lái)確定：Ro=(2-13)Xo-2R1式中X.為圓心的橫坐標(biāo).至此,我們已得到壓電陶瓷換能器等效電路中所有參數(shù)的計(jì)

17、算公式.2.3 測(cè)量原理在上一節(jié)中,得到的壓電陶瓷換能器等效電路參數(shù)的計(jì)算公式都是基于導(dǎo)納圓的,也即是基于各個(gè)頻率下的電導(dǎo)和電納值的,因此我們需要得到每個(gè)頻率點(diǎn)的導(dǎo)納值.為此采用圖2-8所示的測(cè)量原理圖進(jìn)行測(cè)量.圖2-8壓電陶瓷換能器測(cè)量原理示意圖圖2-8中,AC為頻率可控的交流信號(hào)源,R表示源內(nèi)阻,Rm稱(chēng)為精密電阻,Ua為加在壓電陶瓷換能器山的電壓信號(hào)Ub為經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào).根據(jù)前面章節(jié)所介紹的壓電陶瓷的導(dǎo)納特性可以知道,在經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào)Ub相對(duì)于Ua會(huì)有一個(gè)幅度和相位的變化.不失一般性,在這里設(shè)定：UA=UAmej*UB=UBmej.相(2-14)其中：UAm,UBm分別

18、表示兩路信號(hào)的幅值,缶為信號(hào)的角頻率,巾為信號(hào)的初始相位,日為兩路信號(hào)的相位差根據(jù)習(xí)慣表達(dá),先求壓電陶瓷換能器的阻抗,再取倒數(shù)得到導(dǎo)納將式2-14代入得UAm-F=Rm(UAmcosn-1)-jUAmsinU=RjXUBmUBm(2-15)對(duì)應(yīng)得至J：R=Rm(UAm-cos9-1)5X=-RmUAmsinHUBmUBm再由導(dǎo)納和阻抗的關(guān)系可得(2-16)RX即：G二二,B二-二R2X2R2X2由以上推導(dǎo)可以看出,換能器的導(dǎo)納和阻抗值僅與加在其兩端的電壓信號(hào)的幅值比和相位差有關(guān),因此只需要得到兩路信號(hào)的幅值和相位信息即可得到換能器等效電路的各個(gè)參數(shù).而實(shí)際中,只需要對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行采樣,再通過(guò)對(duì)

19、采樣所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理便可得到幅值和相位信息.2.4 正弦信號(hào)的測(cè)量方法根據(jù)上一節(jié)介紹的測(cè)量原理可知,要得到壓電換能器在測(cè)試頻率下的電導(dǎo)和電納值,就需要測(cè)得其兩端正弦信號(hào)的幅值比和相位差.但是實(shí)際中,硬件電路實(shí)現(xiàn)的僅是對(duì)兩路信號(hào)的A/D轉(zhuǎn)換采集,也即是得到的是兩路正弦信號(hào)的一系列的離散的點(diǎn).在這一節(jié)中,將介紹從這些采集到的離散的點(diǎn)計(jì)算其幅值和相位的方法.2.4.1 數(shù)字相關(guān)法隨著微處理器和大規(guī)模集成電路的迅速開(kāi)展,在測(cè)試系統(tǒng)中,越來(lái)越多的傳統(tǒng)的測(cè)量方法被數(shù)字化測(cè)量方法所取代.近年來(lái),由于相關(guān)函數(shù)法具有提升測(cè)試精度,減少或簡(jiǎn)化硬件設(shè)計(jì),能夠充分利用測(cè)試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計(jì)算機(jī),提升測(cè)試系統(tǒng)

20、的可靠性和可維護(hù)性的諸多優(yōu)點(diǎn),使得相關(guān)技術(shù)原理在相位差的測(cè)量及數(shù)字信號(hào)處理中得到了廣泛應(yīng)用,并展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景1、相關(guān)函數(shù)法原理相關(guān)函數(shù)法利用兩同頻正弦信號(hào)的延時(shí)為零時(shí)的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差.設(shè)兩路被測(cè)信號(hào)為：x(t)=Asin(2wft)+Nx(t),y(t)=Bsin(2nft+中)+Ny(t)(2-17)其中：A、B分別表示兩路信號(hào)的幅值,f表示信號(hào)的頻率,心、Ny(t)分別表示兩路信號(hào)的干擾噪聲信號(hào),戶(hù)表示兩路信號(hào)的相位差.顯然,信號(hào)x(t)和y(t)是相關(guān)的,那么兩路信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為：_1TRxy()0x(t)y(t)dtT(2-18)1TRxy

21、()=Asin(2二ft)Nx(t)Bsin(2二f(t)：)Ny(t)dt式中T為信號(hào)的周期,即T=；當(dāng)T=0時(shí),有由于噪聲信號(hào)之間不相關(guān),噪聲和信號(hào)之間也不相關(guān),將上式進(jìn)一步展開(kāi)得：所以,可以得到相位差的計(jì)算公式：=arccos(2R,y)(2-19)AB而信號(hào)幅值的大小可由信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)求得1T1TRx()I2Ry(0)一y(i)ni=0式中：n表示米樣個(gè)數(shù),i表示第i個(gè)米樣點(diǎn),x(i)、y(i)分別表示兩路信號(hào)的第i個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到數(shù)值.由式(2-23)分別求出兩路信號(hào)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)值之后,再由式(2-21)和式(2-22)即可得到兩路信號(hào)各自的幅值和它們之間的相位差.但是,需要

22、指出的是,由數(shù)字相關(guān)法求得的相位差,并不能區(qū)分是超前還是滯后,這就需要采用其他方法來(lái)確定相位差符號(hào)的正負(fù)號(hào).根據(jù)前面測(cè)量原理中的介紹,由式(2-15)和式(2-16)可知,壓電陶瓷換能器的電導(dǎo)值僅取決于兩路信號(hào)相位差的余弦值,而電納的值是在電導(dǎo)值取得最大的時(shí)候發(fā)生變號(hào).由此,可以先求得電導(dǎo)的值,再通過(guò)循環(huán)找其最大值,并從使電導(dǎo)取得最大值時(shí)的相位差開(kāi)始,把相位差變號(hào),Tx(t)x(t)dt2rAsin(2二ft)Asin(2二f(t)dt(2-20)T-2T-2T=0時(shí),有所以可得信號(hào)幅值的計(jì)算公式:A=.2Rx(0)B=2Ry(0)(2-21)將上式代入式(2-19),可得相位差計(jì)算公式的另一

23、種表達(dá)式:rccos(小).Rx(0)Ry(0)(2-22)而在實(shí)際中,是沒(méi)有完整精確的信號(hào)的表達(dá)式的,有的是對(duì)信號(hào)的模數(shù)轉(zhuǎn)換所得到的離散的數(shù)據(jù),離散序列的自相關(guān)和互相關(guān)的計(jì)算公式如下：1n1Rxy(0)一x(i)y(i)ni/1nRx(0)1x(i)2(2-23)nif2-9表示的為米得到新的相位差序列,再由新的相位差序列求電納的值即可.圖用數(shù)字相關(guān)法對(duì)一號(hào)壓電換能器測(cè)量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果,其中(a)表示的是導(dǎo)納圓圖,(b)表示的是電導(dǎo)和電納值隨測(cè)試頻率的變化曲線.(a)(b)圖2-9數(shù)字相關(guān)法處理結(jié)果2、相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)及誤差分析通過(guò)上面對(duì)相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的理論推導(dǎo)過(guò)程可以看出,相關(guān)函數(shù)法測(cè)

24、量信號(hào)的幅值和相位差與信號(hào)的頻率無(wú)關(guān).也即是說(shuō)相關(guān)函數(shù)法不受頻率的影響,可以用來(lái)測(cè)量未知頻率的信號(hào)的相位差.同時(shí),相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的推導(dǎo)都是基于正弦函數(shù)的,因此,它只能用于測(cè)量正弦或余弦信號(hào),并不能測(cè)量一般的周期信號(hào).由于噪聲干擾信號(hào)和原信號(hào)并不相關(guān),所以相關(guān)函數(shù)法能夠有效的抑制噪聲干擾.但是,如果在系統(tǒng)中存在相關(guān)性較強(qiáng)的干擾信號(hào),并且信噪比又比擬低的情況下,相關(guān)函數(shù)法測(cè)量誤差就會(huì)比擬大.由相關(guān)函數(shù)法離散序列的最終計(jì)算公式可以看出,其計(jì)算結(jié)果與采樣的點(diǎn)數(shù)有關(guān),也即是說(shuō)測(cè)量誤差的大小與采樣點(diǎn)數(shù)是相關(guān)的,采樣點(diǎn)數(shù)越大,計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值,測(cè)量誤差也就越小.綜合以上對(duì)相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)的分析,可知

25、相關(guān)函數(shù)法對(duì)于采樣轉(zhuǎn)換信號(hào)中的直流偏移和噪聲等干擾具有很強(qiáng)的抑制水平,它的誤差主要是由于采用有限長(zhǎng)度的樣本代替了高斯白噪聲和均勻分布的A/D量化誤差,使得被檢正弦信號(hào)與噪聲信號(hào)并非完全不相關(guān).所以,相關(guān)函數(shù)法的測(cè)量誤差與A/D轉(zhuǎn)換的位數(shù)、信號(hào)的信噪比和采集點(diǎn)數(shù)有關(guān).2.4.2快速離散傅里葉變換法現(xiàn)代信號(hào)分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn),其核心是離散傅立葉變換,它完成了從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換,不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析,而且還是均方譜分析的關(guān)鍵.離散傅立葉變換(DFD實(shí)現(xiàn)了信號(hào)首次在頻域表示的離散化,使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理,但由于用于實(shí)際時(shí)計(jì)算量太大而使應(yīng)用受到限制.直到1965年由Cooly和Tukey

26、建立了一種快速傅立葉變換一一FFT時(shí),DFT的應(yīng)用才成為現(xiàn)實(shí)1、FFT獲取正弦波幅值和相位的原理設(shè)采集正弦信號(hào)得到的離散序列為x(n),n=1,2,KK那么該序列的離散傅里葉變換為：k=0,1,2,N-1(2-24)那么其初始相位為：其中：fs是信號(hào)的采樣頻率,N是采樣長(zhǎng)度.在對(duì)時(shí)域離散序列進(jìn)行傅立葉變換之后,可以得到其離散的幅度譜和相位譜,在幅度譜和相位譜中找到對(duì)應(yīng)時(shí)域波形的頻率的譜線就可以得到時(shí)域的正弦波形的幅值和相位信息.圖2-10所示的是采用快速離散傅里葉變換法對(duì)采集到的數(shù)據(jù)處理的結(jié)果.(a)(b)圖2-10快速離散傅里葉變換法處理結(jié)果2、FFT的特點(diǎn)及誤差分析通過(guò)傅里葉變換可以只提取

27、基波參數(shù),因此諧波的存在并不影響基波成分,所以諧波的存在對(duì)應(yīng)用這種方法測(cè)量相位差幾乎沒(méi)有影響；對(duì)于噪聲干擾,只有當(dāng)高斯白噪聲接近基波的頻率分量時(shí)才會(huì)影響到基波的相位,所以應(yīng)用FFT法測(cè)量相位差也能有效地抑制高斯白噪聲干擾.但是,實(shí)際上信號(hào)是連續(xù)的無(wú)限長(zhǎng)的序列,用FFT對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí),必須截短形成有限長(zhǎng)序列,再進(jìn)行周期延拓,這樣就不可防止的造成信號(hào)頻譜的泄漏,由此便產(chǎn)生了相位差測(cè)量誤差.誤差現(xiàn)象主要是：混疊現(xiàn)象、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng).要想減小相位差測(cè)量誤差,就必須提升譜分辨率.實(shí)際中可通過(guò)提升采樣頻率或者增加采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來(lái)提升譜分辨率,進(jìn)而到達(dá)減小相位差測(cè)量誤差的目的.2.4.3正弦曲線參數(shù)擬合

28、法設(shè)被測(cè)的正弦信號(hào)為：f(t)=A0sin(2二ft；)D(2-25)其中：f表示信號(hào)頻率,A.表示被測(cè)信號(hào)幅值,4表示被測(cè)信號(hào)的初始相位角,D表示被測(cè)信號(hào)的直流分量.由于被測(cè)信號(hào)的頻率為的,故只需對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)的正弦曲線擬合,即可得到被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息.為此,進(jìn)一步將上式展開(kāi)可得：f=Asin(2二ft)Bcos(2二ft)D(2-26)其中：A=A0cos,B=A0sin從而將被測(cè)信號(hào)的幅值和初始相角轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)A、B的求取.其根本思想就是尋找適宜的A、B和D的值,使得其測(cè)量殘差的平方和取得1最小.設(shè)每個(gè)頻率下測(cè)量的時(shí)間序列為ti=,(i=1,2,3n)n為測(cè)量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),f

29、sfs為采樣頻率,fi為每個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值.那么測(cè)量殘差的表達(dá)式為：n；Cf(t)-Asin(2二ftj-Bcos(2二ftj-D2(2-27)i1要使得上式取得最小值,可對(duì)其參數(shù)求偏導(dǎo),并令其為零.即:nf(i)-Asin(2;ifti)-Bcos(2;rfti)-D2)=0J二nnf(i)Asin(2;ifti)Bcos(27ifti)D2=0(2-28)三=工行f(i)Asin(2nfti)Bcos(2nfti)D2=0cDcD進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：nnZsin(2jrfti)Asin(2nfti)+Bcos(2nfti)+D=sin(2nfti)f(i)i=0i=0nnEcos(2itfti)A

30、sin(2Jtfti)+Bcos(2?ifti)+D=Ecos(2nfti)f(i)(2-29)i=0iz0nnAsin(2加ti)+Bcos(2酒tJ+D=2f(i)J=0i=0對(duì)于式(2-29),構(gòu)造如下三個(gè)矩陣：式(2-29)可寫(xiě)成如下矩陣形式:上式中X的解為:X=(1-t,-)j(,-tF)(2-30)那么被測(cè)信號(hào)幅值的計(jì)算公式為：A0一/A2B2(2-31)初始相角的計(jì)算公式為：,B、marctan()A*0中=(A(2-32),B、,一.八arctan(一)+冗A0LA至此,得到了被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息.采用同樣的方法對(duì)第二路信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,即可得到第二路信號(hào)的幅值和相位

31、信息,從而求出兩路信號(hào)的幅值比和相位差,進(jìn)一步便可得到每個(gè)頻率下?lián)Q能器的電導(dǎo)和電納值.圖2-11為參數(shù)擬合法的處理結(jié)果.圖2-11正弦曲線參數(shù)擬合法處理結(jié)果2.5導(dǎo)納圓的帶約束最小二乘曲線擬合通過(guò)以上章節(jié)的介紹,我們已經(jīng)得到了各個(gè)測(cè)試頻率下壓電換能器的電導(dǎo)和電納值,繪制出了導(dǎo)納圓圖,但這還是不夠的.由壓電換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式可以看出,我們還需要得到導(dǎo)納圓的圓心和半徑的值.為此,就需要對(duì)所得到的離散點(diǎn)進(jìn)行圓曲線擬合.擬合圓的方法有很多種,常用的有平均值法、加權(quán)平均法和最小二乘法.平均值法的思想是分別計(jì)算各個(gè)離散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的平均值,作為圓心的橫、縱坐標(biāo),將圓心到各個(gè)離散點(diǎn)的距離的平均值作為半徑.這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單,適用于離散點(diǎn)分布較均勻的情況,但對(duì)于分布不均的情況,所計(jì)算的圓心位置會(huì)偏向離散點(diǎn)分布較密集的一側(cè),半徑的計(jì)算值也會(huì)偏小,誤差較大.加權(quán)平均法是對(duì)平均值法的改良,它在計(jì)算圓心坐標(biāo)時(shí)參加一個(gè)與兩相鄰點(diǎn)間弧長(zhǎng)相關(guān)的系數(shù),降低了離散點(diǎn)分布不均的影響,減小了誤差.但是,由于兩相鄰點(diǎn)間的弧長(zhǎng)是無(wú)法精確得到的實(shí)