計(jì)算方法考查論文

1、鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)值分析考查論文(第一組)班級(jí)師范132班學(xué)號(hào)13211201姓名卞秀麗內(nèi)容：1. 已知函數(shù)表如下： (40)x10111213141516f(x)2.30262.39792.48492.56492.63912.70802.7726用下列方法計(jì)算f(10.05), f(15.04), f(12.94)，并討論誤差分析.（1） 分段線性插值；（2） 牛頓插值多項(xiàng)式；（3） 全區(qū)間上的拉格朗日插值。一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)的目的是熟練數(shù)值分析第二章“差值逼近”的相關(guān)內(nèi)容，掌握分段插值法、拉格朗日差值法和牛頓插值法。二、相關(guān)背景知識(shí)介紹 （1）分段線性插值指的是：在n+1個(gè)差值節(jié)

2、點(diǎn)a=x0x1xn=b處，給定函數(shù)y=f（x）的值，尋求一函數(shù)P（x），使得在每個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上，P（x）G1。P（x）=yi，i=0,1，n.我們稱P（x）為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，, xn的分段線性插值多項(xiàng)式。（2）Nn（x）=f(x0)+fx0, x1( x-x0)+ fx0, x1,x2( x-x0)(x-x1)+ fx0, x1, xn( x-x0)(x-x1)(x-xn-1)為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，, xn的n次牛頓插值多項(xiàng)式。（3）Ln（x）=i=0nyil（x）稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，, xn的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。三、程序(1)分段插值法In1:=Data

3、=10,2.3026,11,2.3979,12,2.4849,13,2.5649,14,2.6391,15,2.7080,16,2.7726;F=InterpolationdateOut2=InterpolatingFunction10,16,In3:=pd=ListPlotdata,DisplayFunctionIdentity,PlotStyle-PointSize0.02;fd=Plotfx,x,10,16,DisplayFunctionIndentity;Showpd,fd,DispayFunction-$DisplayFunctionOut5=-Graphics-In6=f10.05

4、Out6=2.307365In7=f15.04Out7=2.710584In8=f12.94Out8=2.5601(2)牛頓插值法clearallclcsymsxx0=10,11,12,13,14,15,16;y0=2.3026,2.3979,24849,2.5649,2.6391,2.7080,2.7726;fork=1:7fori=1:ka=1;b=0;forj=1:kifj=ia=a*(x0(i)， x0(j);endendb=b+y0(i)/a;endA(k)=b;endB=1,(x-x0(1),(x-x0(1)*(x-x0(2),(x-x0(1)*(x-x0 (2)*(x-x0(3)

5、,(x-x0(1)*(x-x0(2)*(x-x0(3)*(x-x0 (4);L1=A.*B;l=0;form=1:7l=l+L1(m);endL=expand(l)（3）拉格朗日插值法symsxx0=10,11,12,13,14,15,16;y0=2.3026,2.3979,24849,2.5649,2.6391,2.7080,2.7726;fori=1:7a=1;forj=1:5ifj=ia=expand(a*(x-x0 (j);endendb=1;fork=1:7ifk=ib=b*(x0(i)-x0(k);endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:7L=L+

6、y0(p)*A(p);endL四、數(shù)值結(jié)果（1）分段插值法x10,11時(shí)，L（x）=0.0953x+1.3496則f10.05=L（10.05）=2.307365x15,16時(shí)，L（x）=0.0646x+1.739則f15.04=2.710584x12,13時(shí)，L（x）=0.08x+1.5249則f12.94=2.5601(2)牛頓插值法x0=10，x1=11，x2=12，x3=13，x4=14，x5=15，x6=16Fx0, x1=0.0953Fx1, x2=0.087 Fx0, x1, x2=-0.00415Fx2, x3=0.08 Fx1, x2, x3=-0.0035Fx3, x4=0

7、.0742 Fx2, x3, x4=-0.0029Fx4, x5=0.0689 Fx3, x4, x5=-0.00265Fx5, x6=0.0646 Fx4, x5, x6=-0.00215Fx0,x1, x2, x3=0.0002166667Fx1,x2, x3, x4=0.0002Fx2,x3, x4, x5=0.0000833Fx3,x4, x5, x6=0.00016666667Fx0,x1, x2, x3, x4=-0.000004166675Fx1,x2, x3, x4, x5=-0.000029175Fx2,x3, x4, x5, x6=0.000020842Fx0,x1, x2

8、, x3, x4, x5=-0.000005001664Fx1,x2,x3, x4, x5, x6=0.0000100034Fx0,x1, x2, x3, x4, x5, x6=0.000002500843f10.05=N（10.05）=2.30758063f15.04=N（15.04）=2.710601f12.94=N（12.94）=2.534746（3）拉格朗日插值法f10.05=2.30747621f15.04=2.7106203f12.94=2.55249562. 計(jì)算下列積分, 并討論其誤差分析. (40)(1) 用辛普生公式;(2) 用復(fù)合牛頓-柯特斯公式;(3) 龍貝格求積法1、

9、用辛普森公式、復(fù)合牛頓柯特斯公式、以及龍貝格求積法計(jì)算積分，通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)清楚地認(rèn)識(shí)到龍貝格求積法更容易方便。 2、算法原理或計(jì)算公式辛森普公式N=2時(shí)S=f(a)+4()+f(b)余項(xiàng)3、數(shù)值分析由上述辛普森公式得出的積分為0.496362截?cái)嗾`差為0.000673 由復(fù)合柯特斯公式所求的積分為0.567340截?cái)嗾`差為0.000347由龍貝格求積法所求的積分為0.659938截?cái)嗾`差為0.000054、結(jié)論分析對于一個(gè)數(shù)值求積公式來說，收斂階越高，近似值收斂到真值的速度就越快. 由于三種求積公式的余項(xiàng)分別是h的2,4,6階無窮小量所以趨于定積分I的速度依次更快. 從這三種求積公式的構(gòu)造過程中

10、可以看出，它們都屬于機(jī)械求積公式，但不屬于插值行和牛頓柯特斯公式都具有穩(wěn)定性和收斂性，且收斂速 度一個(gè)比一個(gè)快，一個(gè)比一準(zhǔn)確在使用函數(shù)值個(gè)數(shù)相等的情況下，的精度逐漸升高. 容易從辛普生求積公式余項(xiàng)看出當(dāng)積分區(qū)間較大時(shí)，積分的精度很難保證為了提高精度又便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)往往采用復(fù)合牛頓柯特斯公式。復(fù)合求積的基本思想是將區(qū)間適當(dāng)分割成若干個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間使用低階求積公式計(jì)算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從而得到所求積。運(yùn)用龍貝格求積法更加容易，因?yàn)辇堌惛駭?shù)值積分法收斂速度快積分精度高，編程容易實(shí)現(xiàn)，使用面對程序設(shè)計(jì)方法，回避了函數(shù)指針的使用降低了編程的調(diào)試難度，增加了使用龍貝格積分法的靈

11、活性。.龍貝格算法又稱數(shù)值積分逐次分半加速收斂法。通過這次學(xué)習(xí)，我又學(xué)會(huì)了一種方法，在以后會(huì)更好的掌握和應(yīng)用。 三： 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：用Gauss消去法求解如下線性方程組。一，求解方程組：二.實(shí)驗(yàn)步驟：1.首先將方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組如下：(高斯消去法)2. 解得方程組如下： 由方程（1）和（4）得，再將方程（5）和（6）代入方程（2）和（3）中可得方程組； 由此可解得方程（7）和（8）：x2=1;x4=1 將結(jié)果代入方程（5）和（6）：x1=1;x3=1故解得方程組結(jié)果為3.Matlab編程程序如下：Functionb =Guass(A,b,n,m)For k=1:m-1 For i=k+1:m

12、A(j.k)= A(i.k) /A(k.k) For j=k+1:m A(i.j)= A(i.j)-A(i.k)* A(k.j)end b(i)=b（i）-A(i,k)*b(k)end b(m)=b（m）/A(m,m)end For i=m-1:-1:1 S=0 For j=i+1:m S=S+A(i.j)*b(j) End b(i)=(b（i）-S)/A(i,i) end disp(A) end 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析： 實(shí)驗(yàn)結(jié)果: 在輸入窗口輸入A=1，1，0，0：1，3，4，0：,0，1，5，9：0，0，1，7 b=2，8，15，8X=Gauss(A,b,n,4)得出結(jié)果x1=1 ，x2=1，

13、x3 =1，x4=1 實(shí)驗(yàn)分析： 高斯消去法，又稱高斯消元法，實(shí)際上就是我們俗稱的加減消元法。它是線性代數(shù)中的一個(gè)算法，用于決定線性方程組的解，決定矩陣的秩，以及決定可逆方矩陣的逆。當(dāng)用于一個(gè)矩陣時(shí)，高斯消去產(chǎn)生“行消去梯形形式”。如果是一個(gè)二元一次方程組，我們就可以設(shè)法對每個(gè)等式進(jìn)行變形，使兩個(gè)等式中的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，這兩個(gè)等式相減，得到一個(gè)新的等式，在這個(gè)新的等式中，系數(shù)相等的未知數(shù)就被除去了（系數(shù)為0），如此就可以得出線性方程組的x1,x2的確定的解。以此類推，這種方法同樣的也適合多元多次方程組（如本題的四元一次方程組）。高斯消元是求解線性方程組的重要方法，我們要知道什么是線性方

14、程組（本題為例）：含4個(gè)方程和4個(gè)未知量的方程組定義為 a(11)x(1)+a(12)x(2)+a(13)x(3)+a(14)x(4)=b(1);a(21)x(1)+a(22)x(2)+a(23)x(3)+a(24)x(4)=b(2);a(31)x(1)+a(32)x(2)+a(33)x(3)+a(34)x(4)=b(3) ;a(41)x(1)+a(42)x(2)+a(43)x(3)+a(44)x(4)=b(4)。這個(gè)方程組稱為4*4線性方程組，其中a(ij)和b(i)為實(shí)數(shù)，括號(hào)中為下標(biāo)。這個(gè)方程組有多種表示方法。我們知道4*4矩陣是一個(gè)4行4列的數(shù)陣，4維向量是4個(gè)數(shù)的數(shù)組，也就是一個(gè)4*1矩陣。另外，我們也了解知道矩陣乘法。因此一個(gè)4*4線性方程