二階常微分方程邊值問題

1、課程名稱： 數(shù)值代數(shù)課程設(shè)計(jì) 指導(dǎo)教師： 劉蘭冬 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱：二階常微分方程邊值問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙螅憾A常微分方程邊值問題，（該問題真解為：）步長(zhǎng)h自己選定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函數(shù)畫出比較圖形。實(shí)驗(yàn)原理：一、微分方程：微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的分支，從早期的微積分時(shí)代起，這個(gè)學(xué)科就成為了理論研究和實(shí)踐應(yīng)用的一個(gè)重要領(lǐng)域。在微分方程理論中，定解條件通常有兩種提法：一種是給出了積分曲線在初始時(shí)刻的性態(tài)，相應(yīng)的定解條件稱為初值問題；另一種是給出了積分曲線首末兩端的性態(tài)，這類條件則稱為邊界條件，相應(yīng)的定解問題稱為邊值問題。常微分方程邊值問題在應(yīng)用科學(xué)

2、與工程技術(shù)中有著非常重要的應(yīng)用，例如工程學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及生物學(xué)等領(lǐng)域中的許多實(shí)際問題通常會(huì)歸結(jié)為常微分方程邊值問題的求解。雖然求解常微分方程邊值問題有很多解析方法可以求解，但這些方法只能用來(lái)求解一些特殊類型的方程，對(duì)從實(shí)際問題中提煉出來(lái)的微分方程往往不再適用，因而對(duì)常微分方程邊值問題的數(shù)值方法的研究顯得尤為重要。經(jīng)典的數(shù)值方法主要有：試射法（打靶法）和有限差分法。許多物理現(xiàn)象隨著時(shí)間而發(fā)生變化、如熱傳導(dǎo)過程、氣體擴(kuò)散過程和波的傳播過程都與時(shí)間有關(guān)。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質(zhì)；若初始時(shí)刻t=t0的解已給定，則t>t0時(shí)刻的解完全取決于初始條件和某些邊界條件。利用差分

3、法解這類問題，就是從初始值出發(fā)，通過差分格式沿時(shí)間增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時(shí)間有關(guān)，在初始時(shí)刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時(shí)間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題。與時(shí)間有關(guān)而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時(shí)帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。定解問題往往不具有解析解，或者其解析解不易計(jì)算。所以要采用可行的數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法，它的基本思想是先把問題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點(diǎn)上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問題

4、中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計(jì)、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時(shí)是否趨于真解（即收斂性），等等。有限差分方法具有簡(jiǎn)單、靈活以及通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。二、二階常微分方程二階常微分方程一般可表示成如下的形式：， (2.1)邊值條件有如下三類9：第一類邊值條件， (2.2)第二類邊值條件， (2.3)第三類邊值條件19， (2.4)其中， ， ， 。在對(duì)邊值問題用數(shù)值方法求解之前，應(yīng)該從理論上分析該邊值問題的解是否存在，若問題的解不存在，用數(shù)值

5、方法計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)沒有任何意義。下面的定理給出了邊值問題存在唯一解的充分條件。定理：設(shè)方程(2.1)中的函數(shù)及，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，并且() ；() 在內(nèi)有界，即存在常數(shù)，使得， ，則邊值問題(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。我們假設(shè)函數(shù)可以簡(jiǎn)單地表示成，即邊值問題(2.1)-(2.2)為具有如下形式的二階線性邊值問題 (2.5)三、有限差分法：有限差分方法是用于微分方程定解問題求解的最廣泛的數(shù)值方法，其基本思想是用離散的、只含有有限個(gè)未知量的差分方程去近似代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件，并把相應(yīng)的差分方程的解作為微分方程定解問題的近似解。有限差分逼近的相關(guān)概念設(shè)函數(shù)光滑，且，利用Taylor

6、展開，可得 (2.19) (2.20)由(2.19)可以得到一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 (2.21a)或者 (2.21b)同理由(2.20)式可得 (2.22a)或者 (2.22b)其中表示截?cái)嗾`差項(xiàng).因此，可得一階導(dǎo)數(shù)的的差分近似表達(dá)式為 (2.23) (2.24)由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商的精度為一階，即為，為了得到更精確的差分表達(dá)式，將(2.19)減(2.20)可得 (2.25)從而可以的到 (2.26a)或者 (2.26b)其中，.可得一階導(dǎo)數(shù)的差分近似表達(dá)式為 (2.27)由此可知，(2.16)差商逼近微商的精度為二階，即為。類似地，我們還可以給出

7、二階微商和高階微商的差分近似表達(dá)式。例如將(2.19)和(2.20)兩式相加可得進(jìn)而有 (2.28)其中.因此，二階導(dǎo)數(shù)的差分近似表達(dá)式8為 (2.29)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（方法和步驟）： 差分法代碼如下clc;clear allh=0.05;%x屬于【a,b】a=-1;b=1;x=a:h:b;n=length(x);%定義ysyms y;y=(x+2).*(x+2).(-1);hold ongrid onyx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n);for i=2:n-1 yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1)/(2*h); yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i

8、)/h2;endplot(x,y,'r','linewidth',2)plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);legend('原函數(shù)','差分一階導(dǎo)數(shù)','差分二階導(dǎo)數(shù)')xlabel('$x$','Interpreter','latex','color',

9、'r','fontsize',28);ylabel('$y$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析：差分法結(jié)果如下：從圖上我們可以看到，可以得到函數(shù)圖像確實(shí)十分接近理論上的解答，差分二階導(dǎo)數(shù)比起差分一階導(dǎo)數(shù)來(lái)說，更加接近原函數(shù)。差分二階導(dǎo)數(shù)在后面幾乎能跟原函數(shù)重合，是非常好的求邊值問題的方法。我們?cè)谡麄€(gè)實(shí)驗(yàn)中，感覺最困難的就是對(duì)于差分法的理解以及程序的編寫上面。我們查詢了各種有關(guān)于常微分方程邊值問題、有限差分法、二階常微分方程的資料以及論文，差分法實(shí)際上就是