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文檔簡介

1、-1-4反證法目標導航1.了解間接證明的一種基本方法反證法.2.了解反證法的思考過程、特點.知識梳理1.反證法的定義(1)在證明數學命題時,要證明的結論要么正確,要么錯誤,二者必居其一.我們可以先假定命題結論的反面成立,在這個前提下,若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結論的反面不可能成立,由此斷定命題的結論成立.這種證明方法叫作反證法.(2)反證法是一種間接證明的方法.【做一做1】 在應用反證法推出矛盾的推導過程中,下列可以作為條件使用的是()與結論相反的判斷,即假設;原命題的條件;公理、定理、定義等;原結論.A.B.C.D.答案:C

2、知識梳理2.反證法的證題步驟(1)作出否定結論的假設;(2)進行推理,導出矛盾;(3)否定假設,肯定結論.知識梳理名師點撥常見的“結論詞”與“反設詞” 知識梳理【做一做2】 命題“在ABC中,若AB,則ab”的結論的否定應該是()A.a0,即a+b+c0,這與a+b+c0矛盾,所以a,b,c中至少有一個大于0. 反思結論中含有“至少”“至多”等詞的命題,常用反證法證明,注意假設要寫正確,這是反證法證題的關鍵.典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】 用反證法證明:若函數f(x)在區(qū)間a,b上是增加的,則方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多有一個實根.證明:假設方程f(x)=0在區(qū)間a,b上

3、至少有兩個實根,不妨設,為其實根,且,則f()=f()=0.因為函數f(x)在區(qū)間a,b上是增加的,又,所以f()f(),這與假設f()=f()=0相矛盾.所以方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多有一個實根.典例透析題型一題型二題型三題型四唯一性命題的證明【例3】 求證:函數f(x)=2x+1有且只有一個零點.分析:一般先證存在性,再用反證法證唯一性.典例透析題型一題型二題型三題型四反思1.結論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現的“唯一”性命題,由于假設結論不成立易于導出矛盾,所以用反證法證明簡單明了.2.“有且只有”的含義有兩層:(1)存在性:本題中只需找到函數f(x)=2x+1

4、的一個零點即可;(2)唯一性:正面直接證明較為困難,故可采用反證法尋求矛盾,從而證明原命題的正確性.典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 過平面內一點A,作直線a,求證:a是唯一的.證明:假設a不是唯一的,則過點A至少還有一條直線b滿足b.a,b是交于點A的相交直線,a,b可以確定一個平面.設和相交于過點A的直線c.a,b,ac,bc.又ab=A,c.這與c矛盾.故過點A垂直于平面的直線有且只有一條,即a是唯一的.典例透析題型一題型二題型三題型四易錯辨析易錯點證明時因未涉及假設而致誤【例4】 已知實數p滿足不等式(2p+1)(p+2)0,則實數p的取值范圍是.解析:本題從正面解答較難,可利用反證法,先求在0,1內

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