數(shù)學(xué)建模--人口增長詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上摘要:人口的增長是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題作為世界上人口最多的國家，我國的人口問題是十分突出的由于人口基數(shù)大盡管我國已經(jīng)實行了20多年的計劃生育政策人口的增長依然很快，巨大人口壓力會給我國的社會 政治經(jīng)濟醫(yī)療就業(yè)等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國顯得尤為重要。我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于人口增長預(yù)報，說到本世紀(jì)，或下世紀(jì)中葉，全世界的人口將達到多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預(yù)報在數(shù)字商場有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計算出來的結(jié)果。 人類社會進入20世紀(jì)以來，在科學(xué)和技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時世界人口也以空前的規(guī)模增長。

2、人口每增加十億的時間，有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經(jīng)攜帶著他的60億子民踏入下一個世紀(jì)。長期以來，人類的繁殖一直在自然地進行著，只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律以及如何驚醒人口控制等問題。本文件里兩個模型： （1）：中國人口的指數(shù)增長模型，并用該模型進行預(yù)測，與實際人口數(shù)據(jù)進行比較。 （2）：中國人口的Logistic圖形，標(biāo)出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行比較。而且利用MATLAB圖形 ，標(biāo)出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測曲線和兩種預(yù)測模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差。關(guān)鍵詞：指數(shù)增長模型

3、Logistic模型 MATLAB軟件 人口增長預(yù)測1.問題的提出下表列出了中國1982-1998年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，取1982年為起始年（），萬人，萬人。年198219831984198519861987198819891990人口（萬）年19911992199319941995199619971998人口（萬）要求：（1）建立中國人口的指數(shù)增長模型，并用該模型進行預(yù)測，與實際人口數(shù)據(jù)進行比較。（2）建立中國人口的Logistic模型，并用該模型進行預(yù)測，與實際人口數(shù)據(jù)進行比較。（3）利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測曲線。（4）利用MATLAB圖形，畫出兩

4、種預(yù)測模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差?！咀ⅰ砍Ｎ⒎址匠桃浑A初值問題的MATLAB庫函數(shù)為：ode45。語法為：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)2.問題的分析 人口的變化受到眾多方面因素影響，因此對人口的預(yù)測與控制復(fù)雜，很難再一個模型中綜合考慮到各個因素的影響。要預(yù)報未來若干年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長率（即人口出生率減去死亡率），根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)進行人口預(yù)報是十分容易的。例如根據(jù)我國國家統(tǒng)計局1990年10月30日歸表的公報。1990年7月1日我國人口總數(shù)為11.6億過去8年的平均年增長率為1.48%。如果今后的年增長率保持這個數(shù)字，那么

5、容易算出，一年后我國人口為11.6*（1+1.0148）=11.77（億），10年后即2000年警衛(wèi)116*（1+0.0148）10=13.44(億)。這種算法用式子表示也十分簡單。記人口為X0，k年后人口為Xk，年增長率為r則預(yù)報公式為:Xk=X0（1+r）k (1)顯然，這個公式的基本前提是年增長率r保持不變。這個條件在什么情況下才能成立，如果不成立又該怎么辦。在歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答這個問題。早在18世紀(jì)人們就開始進行人口預(yù)報工作了，一二百來年發(fā)展了許多模型，指數(shù)增長模型和Logistic模型是其中最簡單的兩種模型。3模型一 3.1模型假設(shè)： （1）假設(shè)不存在某抽樣年齡段出現(xiàn)0死

6、亡概率 （2）假設(shè)人口平穩(wěn)增長，無大行自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭等因素影響 （3）假設(shè)境內(nèi)外遷移率對我國未來人口影響不計 （4）人口凈增長率（即出生率減去死亡率）為常數(shù) （5）時刻t的人口函數(shù)是連續(xù)可微的3.2 名詞解釋與符號說明 t 表示年份（選定初始年份t=0） r 表示人口增長率 x表示人口數(shù)量3.3 模型的建立及求解 記 時刻t的人口為x（t）當(dāng)烤翅一個國家或一個很大的地區(qū)人口時，x（t）是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x（t）視為連續(xù)的，可微的函數(shù)。記初始時刻（t=0）的人口為X0，人口增長率為r，r是單位時間內(nèi)x（t）的增長量與x（t）的比例系數(shù)。根據(jù)r是常數(shù)的基本假設(shè)，t到t+t

7、時間內(nèi)人口的增量為： x(t+t)-x(t)=rx(t)t于是x（t）滿足如下的微分方程：dx/dt=rx x(0)=x0 （2）有這個線性常系數(shù)微分方程容易得出 x（t）=x0 *e(rt)表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長（r>0）。將t以年為單位離散化，（3）是表明，人口以er為公比的等比數(shù)列增長因為這時候r表示年增長率通常r<<1，所以可用近似關(guān)系er=1+r可得出 x（t）x0（1+r）t (4)(1) 式與（4）式比較克制前面給出的預(yù)報公式（1）不過是指數(shù)增長模型離散形式得近似表示。(2) 由（3）或（2）式給出的模型，與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好的

8、吻合。3.4 模型檢驗98年由指數(shù)增長模型預(yù)測出的人口數(shù)與實際人口數(shù)相差最小，而且其他年份的真實值與預(yù)測值之間有差別年實際人口（萬人）指數(shù)增長模型（萬人）誤差199119922071993257199429119952971996227199713819983其中人口的自然增長率為這幾年的平均增長率r=0.01116，指數(shù)增長模型預(yù)測的結(jié)果很好額反映了實際情況。按此模型預(yù)測現(xiàn)在中國人口已超過13億，到2016年中國人口將超過15億。我們看到，盡管中國人口調(diào)控政策比較得力，但中國近幾年處于高生育期，按指數(shù)增長模型預(yù)測的結(jié)果均比實際人口要少。同時由于中國人口調(diào)控政策比較得力，中國人口的自然增長率在

9、逐年下降，已經(jīng)從1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近幾年的平均增長率r=0.01116預(yù)測，肯定和實際之間有一定的誤差。隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越明顯。如果當(dāng)人口較少時人口增長率還可以看做常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少，許多國家人口增長的實際情況完全證明了這點。為了生存及人類文明程度的不斷提高，順其自然地會采取有效措施來控制人口的增長，使增長率成為一個遞減數(shù)，而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強硬的限制。這就導(dǎo)致了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生

10、。3.5 模型的應(yīng)用于推廣用指數(shù)增長模型的確可以預(yù)測人口的增長 但是他只適合與短期的人口預(yù)測，為了使人口預(yù)報特別是長時期預(yù)報更好的符合實際情況，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個假設(shè)了。為了生存及人類文明成都的不斷提高，順其自然的回采取有效措施來控制人口增長，式增長率成為一個遞減數(shù)而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強硬的限制。這就導(dǎo)致了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。4 模型二4.1 假設(shè)（1）地球上的資源有限，設(shè)為1；而一個人的正常生存需要占用資源1/P*（2）在時刻t，人口增長速率與當(dāng)時人口數(shù)成正比，為簡單起見也假設(shè)與當(dāng)時剩余資源s-1-P/

11、P*成正比；比例系數(shù)r*表示人口固有增長率；（3）社人口數(shù)P（t）足夠大，可以視為連續(xù)變量處理，且P（t）關(guān)于t連續(xù)可微。4.2 符號說明t 年份（初始年份t=0）r 人口增長率p 人口數(shù)4.3 模型建立與求解 由模型假設(shè)可將人口數(shù)的凈增長率r視為人口數(shù)P（t）的函數(shù)，由于資源對人口增長的限制，r（P）應(yīng)是P（t）的減函數(shù)，特別是當(dāng)P（t）達到極限承載人口數(shù)P*時，應(yīng)有凈增長率r(P)=0,當(dāng)人口數(shù)P(t)超過P*時，應(yīng)當(dāng)發(fā)生負增長?；谌缟舷敕?，可令 r（P）=r*s=r*(1-P/P*).用r（P）代替指數(shù)增長模型中的r到處如下微分方程模型 dP/dt=r*P(1-P/P*) P(t0)=

12、P0 （2） 這是個伯努利方程的初值問題 ，其解為： P(t)=P*1+(P*P0-1)e-r*(t-t0) 在這個模型中，我們考慮了資源量對人口增長率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長模型（或Logistic模型）其圖形如圖3-34.4 模型檢驗從圖3-3可以看出人口總數(shù)具有如下規(guī)律：當(dāng)人口數(shù)的初始值P0>P*時人口曲線（虛線）單調(diào)遞減，而當(dāng)人口數(shù)的初始值P0<P*時，人口曲線（實線）單調(diào)遞增；無論人口處置如何，當(dāng)t趨向正無窮他們街趨于極限值P*。4.5 模型討論 阻滯增長模型從一定程度上克服了指數(shù)增長模型的不足，可以被用來做相對較長時期的人口預(yù)測。但我們可以從一些有關(guān)我國人口預(yù)測的資

13、料發(fā)現(xiàn)這樣的預(yù)測結(jié)果：在直到2030年這一段時間內(nèi)，我國的人口一直將保持增加的勢頭，到2030年前后我國人口將達到最大峰值的16億，之后，將進入緩慢減少的過程這是一條非單調(diào)的曲線，即說明其預(yù)測方法不是本節(jié)提到的兩種方法的任何一種。還有比指數(shù)增長模型、阻滯模型更好的人口預(yù)測方法嗎？事實上，人口的預(yù)測是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，影響人口增長的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測時，我們希望得到滿足一定預(yù)測精度的結(jié)果，比如在剛剛經(jīng)歷過戰(zhàn)爭或是由于在特定的歷史條件下特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動就會變的相當(dāng)重要，進而需要必須予以考慮。5.模型作圖圈：人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)綠線：人口的指數(shù)增長曲線（x0=(1982年人口)），xk=x0(1+r)k，P(t)=P*1+(P*P0-1)e-r*(t-t0)，r=0.01116）紅線：人口的Logistic增長曲線（P*=，P0=x0）左圖為指數(shù)增長曲線與真實數(shù)據(jù)的誤差圖，右圖為Logistic增長曲線與真實數(shù)據(jù)的誤差圖6 參考文獻1 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型M.