圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、第四章 圓與方程4.1 圓的方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教材分析本節(jié)內(nèi)容數(shù)學(xué)必修2 第四章第一節(jié)的起始課，是在學(xué)習(xí)了直線的有關(guān)知識(shí)后學(xué)習(xí)的，圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中就已學(xué)過(guò)圓的定義這節(jié)課主要是根據(jù)圓的定義，推出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握；難點(diǎn)是會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法，幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的能力，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成，主要講解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn): 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的已知

2、條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)：會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能力點(diǎn)：根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.教育點(diǎn)：嘗試用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的思想方法.自主探究點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法.考試點(diǎn)：會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.易錯(cuò)易混點(diǎn)：不同的已知條件，如何恰當(dāng)?shù)那髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程.拓展點(diǎn)：如何根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)結(jié)構(gòu)平面直角坐標(biāo)系圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用坐標(biāo)法教具準(zhǔn)備 多媒體課件和三角板課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課問(wèn)題 1：圓在我們的生活中無(wú)處不在，日出

3、東方，車(chē)行天下，這些都是圓的具體表現(xiàn)形式.請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題：車(chē)輪為何設(shè)計(jì)為圓形，而不是其他的形狀？學(xué)生回答：若是方形，走起來(lái)顛簸，不舒服；不是圓形，轉(zhuǎn)不起來(lái).老師點(diǎn)評(píng)：正是圓，可以讓車(chē)輪上的每一點(diǎn)到軸心的距離相等，才保證了輪子轉(zhuǎn)起來(lái)而不顛簸. 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考讓學(xué)生體會(huì)圓的性質(zhì)，回顧圓的定義.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)實(shí)例引入問(wèn)題，緊扣問(wèn)題的本質(zhì)提出矛盾問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生興趣并自然切入圓的定義.問(wèn)題 2：圓是如何定義的？學(xué)生回答：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓 【設(shè)計(jì)意圖】回顧圓的定義便于問(wèn)題3的回答 【設(shè)計(jì)說(shuō)明】回顧圓的定義，通過(guò)分析定義引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題3.問(wèn)題3：在平面直角坐

4、標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也可以確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個(gè)圓？【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合圓的定義回答出確定圓的兩個(gè)要素圓心（定位）和半徑（定形）【設(shè)計(jì)說(shuō)明】教師引導(dǎo)，學(xué)生回答問(wèn)題4：在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用一個(gè)二元一次方程表示，圓也可以用一個(gè)方程來(lái)表示嗎？如果能，這個(gè)方程又有什么特征呢？【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，探索新知，引出本課題【設(shè)計(jì)說(shuō)明】教師指出：建立圓的方程正是我們本節(jié)課要探究的問(wèn)題并板書(shū)本節(jié)課題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、探究新知問(wèn)題5：類(lèi)比直線點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)方法，你能否總結(jié)出求曲線的方程的一般步驟？師生共同回顧和探究：教

5、師引導(dǎo)學(xué)生回答如何求曲線的方程 (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)|；(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0；(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程其中步驟(1)(3)(4)必不可少.下面我們用求曲線方程的一般步驟來(lái)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【設(shè)計(jì)意圖】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是學(xué)生第一次接觸的曲線方程的推導(dǎo)問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)曲線方程的推導(dǎo)步驟，提高學(xué)生對(duì)求曲線方程問(wèn)題的理解.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】系統(tǒng)總結(jié)求曲線方程的步驟，幫助學(xué)生掌握求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.問(wèn)題6：已知圓的圓心

6、坐標(biāo)為，半徑為（其中、都是常數(shù)，），如何確定圓的方程？教師：對(duì)于這一問(wèn)題而言？是否已經(jīng)建立了坐標(biāo)系？學(xué)生：已經(jīng)建立了坐標(biāo)系.教師：設(shè)M(x,y)是圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)圓的定義如何建立x,y滿(mǎn)足的關(guān)系式？yxOAM學(xué)生：寫(xiě)出圓上的點(diǎn)的集合P=M|MC|=r，利用兩點(diǎn)間的距離公式，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)適合的條件：教師：如何進(jìn)一步化簡(jiǎn)上述關(guān)系式得出圓的方程？學(xué)生：學(xué)生自己化簡(jiǎn)得出圓的方程為【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法【設(shè)計(jì)說(shuō)明】讓學(xué)生自己化簡(jiǎn)得出結(jié)論便于學(xué)生理解記憶三、理解新知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中圓心為，半徑為教師強(qiáng)調(diào)：熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能觀察出圓心和半

7、徑教師：那么確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)獨(dú)立條件？學(xué)生：只要、三個(gè)量確定了且，圓的方程就給定了教師：圓心在原點(diǎn)圓的方程是什么？學(xué)生：【設(shè)計(jì)意圖】便于學(xué)生理解掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生自己歸納總結(jié)基礎(chǔ)檢測(cè)：1. 圓的圓心A的坐標(biāo)為_(kāi),半徑為_(kāi).2. 圓的圓心和半徑分別是？【設(shè)計(jì)意圖】熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓心坐標(biāo),半徑長(zhǎng)的關(guān)系【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生口答四、運(yùn)用新知例1.寫(xiě)出圓心為,半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上分析：判斷圓心是否在圓上，可以從計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離入手【設(shè)計(jì)意圖】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直接應(yīng)用，并會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【設(shè)計(jì)說(shuō)明】培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、

8、解決問(wèn)題的能力和良好的解題習(xí)慣探究：怎樣判斷點(diǎn)在圓上？圓內(nèi)？還是圓外？（1），點(diǎn)在圓外;（2），點(diǎn)在圓上;（3），點(diǎn)在圓內(nèi).【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自己探討發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法，從而歸納出下列結(jié)論【設(shè)計(jì)說(shuō)明】培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力練習(xí)：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（ ）在圓外 在圓上 在圓內(nèi) 在圓上或圓外2.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1)，圓心在點(diǎn)C(8,-3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3.求以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)圓心和半徑熟練寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生爬黑板例2.的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，求它的外接圓的方程師生共同分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓

9、從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 可知，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定三個(gè)參數(shù)解法一：設(shè)所求圓的方程是 (1)因?yàn)槎荚趫A上，所以它們的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程（1）于是 所以，的外接圓的方程為 【設(shè)計(jì)意圖】掌握待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生自己運(yùn)算解決教師：除上述方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程外還有沒(méi)有其它方法？教師畫(huà)圖引導(dǎo)OxyL1L2MABCDE讓學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：還可利用幾何法求的外接圓的方程教師：確定一個(gè)圓只需確定圓心位置與半徑大小那么如何確定圓心？學(xué)生探討發(fā)現(xiàn)：弦的垂直平分線與弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心教師：如何確定半徑？學(xué)生：圓心M與圓上任一點(diǎn)的距離即為半徑解法二：（師生共同完成）因?yàn)?，所以線段

10、的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率，因此線段的垂直平分線的方程是 ，即 ，同理可得線段的垂直平分線的方程是 圓心的坐標(biāo)是方程組 的解解此方程組，得 ，所以圓心的坐標(biāo)是圓心的圓的半徑長(zhǎng) 所以，的外接圓的方程為 總結(jié)歸納：（教師啟發(fā)，學(xué)生自己比較、歸納）比較例2得出外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法：方法一：代數(shù)法待定系數(shù)法；方法二：幾何法數(shù)形結(jié)合【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合例2的理解，學(xué)生自己歸納出求任意三角形外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法，并比較兩種方法的優(yōu)劣【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生自己歸納總結(jié)練習(xí)：課本第120頁(yè)，例3（不看課本，結(jié)合例2的理解，學(xué)生自己解決例3）ABCDOxyl已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上，求圓心為的圓的

11、標(biāo)準(zhǔn)方程（給學(xué)生充分思考的時(shí)間，教師引導(dǎo)）教師：本題求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能否用上述兩種不同方法解決？學(xué)生：學(xué)生畫(huà)圖思考教師：找兩位同學(xué)分別用兩種不同的方法到黑板上解該題【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合對(duì)例2的理解，學(xué)生根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程，并比較兩種方法的優(yōu)劣【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生爬黑板板書(shū)解題過(guò)程，以規(guī)范學(xué)生的解題步驟五、課堂小結(jié) 教師提問(wèn)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1知識(shí)：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)； （2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定；（3）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：待定系數(shù)法；幾何法.2思想：數(shù)形結(jié)合的思想教師總結(jié): 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法用到了前面

12、學(xué)過(guò)的知識(shí)，提醒學(xué)生: 在學(xué)習(xí)新知時(shí)，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過(guò)的內(nèi)容,“溫故而知新”在應(yīng)用中增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，及時(shí)查缺補(bǔ)漏,從而更好地運(yùn)用知識(shí),解題要有目的性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的認(rèn)識(shí)與自覺(jué)運(yùn)用【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)六、布置作業(yè) 1書(shū)面作業(yè) 必做題： P124習(xí)題4.1 A組 第2，3，4題選做題： P124習(xí)題4.1 A組 第5題2課外思考 圓的標(biāo)準(zhǔn)的方程形式是，該式展開(kāi)后形式是什么？展開(kāi)后的形式都表示圓嗎？【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)書(shū)面作業(yè)必做題，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書(shū)面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程；選做題是鼓勵(lì)學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解；課外思考的安排，是讓學(xué)生理解圓除了標(biāo)準(zhǔn)形式，還有一般形式，起讓學(xué)生課下探索發(fā)現(xiàn)、預(yù)習(xí)新課的作用 七、教后反思 1.本教案的亮點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)以及任意三角形外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法的得出，都是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上得到，不是生硬的拋出，而是水到渠成例題也是變講為練，都是學(xué)生在獨(dú)立或小組討論中解決的，很好的調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，提高了學(xué)生的解題能力2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時(shí)靈活掌握，但必須在公式的推導(dǎo)過(guò)程上下足功夫3.本節(jié)課的弱項(xiàng)是課容量大，時(shí)間所限，在課堂上沒(méi)有充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，感覺(jué)