預(yù)測(cè)與決策--8.增長(zhǎng)曲線預(yù)測(cè)法G

1、第第 五五 章章 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)原理趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)原理當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象依時(shí)間變化當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象依時(shí)間變化呈現(xiàn)某種上升或下降的趨向，呈現(xiàn)某種上升或下降的趨向，且無(wú)明顯的季節(jié)波動(dòng)時(shí)，且無(wú)明顯的季節(jié)波動(dòng)時(shí)，若能找到一條若能找到一條合適的函數(shù)合適的函數(shù)曲線曲線反映這種變化趨勢(shì)，就可用時(shí)間反映這種變化趨勢(shì)，就可用時(shí)間t t為自變量，為自變量，時(shí)序數(shù)值時(shí)序數(shù)值y y為因變量建立趨勢(shì)模型為因變量建立趨勢(shì)模型 y yf(tf(t) )如果有理由相信這種趨勢(shì)能夠延伸到未來(lái)，在上式如果有理由相信這種趨勢(shì)能夠延伸到未來(lái)，在上式中賦予變量中賦予變量t t 在未來(lái)時(shí)刻的一個(gè)具體數(shù)值，可以得在未來(lái)時(shí)刻

2、的一個(gè)具體數(shù)值，可以得到相應(yīng)時(shí)刻的時(shí)間序列未來(lái)值。這就是趨勢(shì)外推法。到相應(yīng)時(shí)刻的時(shí)間序列未來(lái)值。這就是趨勢(shì)外推法。 趨勢(shì)外推法的假設(shè)條件： (1) (1)假設(shè)事物發(fā)展過(guò)程假設(shè)事物發(fā)展過(guò)程沒(méi)有沒(méi)有跳躍式變化跳躍式變化，即事物的發(fā)展變，即事物的發(fā)展變化是漸進(jìn)型的?；菨u進(jìn)型的。 (2)(2)假設(shè)所研究假設(shè)所研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、功能等基本保持不變功能等基本保持不變，即假定，即假定根據(jù)過(guò)去資料建立的趨勢(shì)外推根據(jù)過(guò)去資料建立的趨勢(shì)外推模型能適合未來(lái)，能代表未來(lái)模型能適合未來(lái)，能代表未來(lái)趨勢(shì)變化的情況。趨勢(shì)變化的情況。基本思想基本思想v第一節(jié)第一節(jié) 直線模型預(yù)測(cè)法直線模型預(yù)測(cè)法v第二節(jié)第二節(jié) 指數(shù)

3、曲線預(yù)測(cè)模型指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型 v第三節(jié)第三節(jié) 修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型v第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線預(yù)測(cè)模型龔伯茲曲線預(yù)測(cè)模型 v第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯曲線預(yù)測(cè)模型羅吉斯曲線預(yù)測(cè)模型第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢(shì)模型直線趨勢(shì)模型v 直線預(yù)測(cè)模型為：直線預(yù)測(cè)模型為：tyabt式中：式中：a代表當(dāng)代表當(dāng)t=0時(shí)的預(yù)測(cè)值。時(shí)的預(yù)測(cè)值。直線預(yù)測(cè)模型的特點(diǎn)是：一階差分為常數(shù)直線預(yù)測(cè)模型的特點(diǎn)是：一階差分為常數(shù)b。 直線預(yù)測(cè)模型中參數(shù)直線預(yù)測(cè)模型中參數(shù)a、b的求法可采用的求法可采用“最小二乘法最小二乘法”或或“折扣最小平方和法折扣最小平方和法”。1tttyyyb第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢(shì)模型直線趨勢(shì)模型年份

4、年份199819992000200120022003200420052006時(shí)間時(shí)間432101234銷(xiāo)售量銷(xiāo)售量265297333370405443474508541一階差分一階差分3236373538313433采用最小二乘法求參數(shù)的方法與步驟同前。采用最小二乘法求參數(shù)的方法與步驟同前。 例例1：某市：某市19982006年某產(chǎn)品銷(xiāo)售量如表所示，試預(yù)年某產(chǎn)品銷(xiāo)售量如表所示，試預(yù)測(cè)測(cè)2007年銷(xiāo)量。年銷(xiāo)量。解：采用最小二乘法，代入相關(guān)公式得解：采用最小二乘法，代入相關(guān)公式得36364049tyan2209234.8760ttybt40434.87yt所求方程為：所求方程為：2007578.3

5、5y例例1的點(diǎn)估計(jì)：的點(diǎn)估計(jì)：21()32.9342.169192ntttyyySnm0.025(7)2.365t2020072211()yttyt Sntt計(jì)算結(jié)果為：（計(jì)算結(jié)果為：（572.01，584.69）預(yù)測(cè)區(qū)間：預(yù)測(cè)區(qū)間：05,0tt第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢(shì)模型直線趨勢(shì)模型v折扣最小平方和法折扣最小平方和法 最小二乘法的缺陷：把遠(yuǎn)期誤差與近期誤差最小二乘法的缺陷：把遠(yuǎn)期誤差與近期誤差的重要性等同看待。的重要性等同看待。 為了克服上述缺陷，常采用為了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方折扣最小平方和法和法”，進(jìn)行合理的加權(quán)，對(duì)近期誤差比對(duì)，進(jìn)行合理的加權(quán)，對(duì)近期誤差比對(duì)遠(yuǎn)期誤差給以較大的

6、權(quán)重。遠(yuǎn)期誤差給以較大的權(quán)重。折扣最小平方和法折扣最小平方和法v 折扣最小平方和法就是對(duì)誤差平方在進(jìn)行指數(shù)折扣加折扣最小平方和法就是對(duì)誤差平方在進(jìn)行指數(shù)折扣加權(quán)后，使其總和達(dá)到最小。權(quán)后，使其總和達(dá)到最小。21min:()nn ttttQyy為折扣系數(shù)，為折扣系數(shù)，01效果分析：效果分析： 1、越近期的數(shù)據(jù)權(quán)重越大，越遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)權(quán)重越小；、越近期的數(shù)據(jù)權(quán)重越大，越遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)權(quán)重越?。?2、折扣程度視、折扣程度視 值大小而異：值大小而異：越接近越接近0，折扣程度越大；，折扣程度越大；越接近越接近1，折扣程度越小；，折扣程度越??；折扣最小平方和法折扣最小平方和法v折扣最小平方和法的參數(shù)估計(jì)：折扣最小平

7、方和法的參數(shù)估計(jì)：21min :()nn ttttQyy21()nn tttyabt上式對(duì)上式對(duì)a和和b分別求偏導(dǎo)，整理得：分別求偏導(dǎo)，整理得：1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt上述方程組可求出上述方程組可求出a和和b 的值。的值。折扣最小平方和法折扣最小平方和法0.8v例例2：對(duì)例：對(duì)例1的數(shù)據(jù)試用折扣最小平方和法進(jìn)行計(jì)算的數(shù)據(jù)試用折扣最小平方和法進(jìn)行計(jì)算 （ ），預(yù)測(cè)），預(yù)測(cè)2007年銷(xiāo)量。年銷(xiāo)量。解：列表進(jìn)行計(jì)算，得到方程組：解：列表進(jìn)行計(jì)算，得到方程組：1958.74464.328927.684413349.934727.

8、6844200.8408abab解得：解得：231.1832,34.6034ab模型為：模型為：231.183234.6034tyt 將各年將各年t值代入，可得各年的追溯預(yù)測(cè)值（見(jiàn)計(jì)算表），值代入，可得各年的追溯預(yù)測(cè)值（見(jiàn)計(jì)算表），并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差：并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差：21()15.71651.498492nn ttttyyySnm折扣最小平方和法折扣最小平方和法2007577.22y預(yù)測(cè)：以預(yù)測(cè)：以t0=10值代入模型，計(jì)算得：值代入模型，計(jì)算得：0.0250(7)2.365,1027.68446.39524.3289n tn ttttt2()23.7933n ttt20200722121()yn

9、 tttytnSntt預(yù)測(cè)區(qū)間為：預(yù)測(cè)區(qū)間為：計(jì)算結(jié)果為：（計(jì)算結(jié)果為：（572.66，581.78）第二節(jié)第二節(jié) 指數(shù)曲線指數(shù)曲線指數(shù)曲線指數(shù)曲線第二節(jié)第二節(jié) 指數(shù)曲線指數(shù)曲線指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表結(jié)論：指數(shù)曲線的結(jié)論：指數(shù)曲線的一階環(huán)比為常數(shù)一階環(huán)比為常數(shù) 。be例例3：某城市近：某城市近5年來(lái)電視機(jī)的家庭擁有率的抽樣調(diào)查數(shù)年來(lái)電視機(jī)的家庭擁有率的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)見(jiàn)表。試建立指數(shù)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)第據(jù)見(jiàn)表。試建立指數(shù)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)第6年的擁有率。年的擁有率。 ln4.18360.62514.1836.6251abyt ln0.40.67yy 第第6年的擁有率年的擁

10、有率第二節(jié)第二節(jié) 指數(shù)曲線指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線圖修正指數(shù)曲線圖第三節(jié)第三節(jié) 修正指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線第三節(jié)第三節(jié) 修正指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線時(shí)序（t） ttabky 一階差分一階差分 （1ttyy） 一階差分比率一階差分比率)(211ttttyyyy 1 abk 2 2abk ) 1( bab 3 3abk ) 1(2bab 4 4abk ) 1(3bab b t-1 1tabk ) 1(2babt b t tabk ) 1(1babt b 修正指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表修正指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表結(jié)論：修正指數(shù)曲線的結(jié)論：修正指數(shù)曲線的一階差分比率一階差分比率為常數(shù)為常數(shù) b。三和法（三段法）v將整

11、個(gè)序列分成三個(gè)相等的時(shí)間周期，并對(duì)每一個(gè)時(shí)間周期的數(shù)據(jù)求和以估計(jì)參數(shù)。1212221223(1,),(2,),( ,)(1,),(2,),(2 ,)(21,),(22,),(3 ,)nnnnnnnyyn ynynyn ynynyn y1122101122122nnnnnnnttt nnnyKabyKabyynKabbbbyKab 112011211nntttnnyKabyKabyynKab bbbyKab2121223210112232133nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab第三節(jié)第三節(jié) 修正指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線011112101121321011321nnt

12、ttnnnttt nnnntttnyynKab bbbyynKabbbbyynKabbbb 11110bbbbbnn112213111111ntnntnntbynKabbbynKabbbynKabbttttttttnnttttyyyyyynKyybbbayyyyb231223112212232111第三節(jié)第三節(jié) 修正指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線 生物的生長(zhǎng)過(guò)程一般經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個(gè)生物的生長(zhǎng)過(guò)程一般經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個(gè)階段，在不同的生長(zhǎng)階段，生物生長(zhǎng)的速度也不一樣。階段，在不同的生長(zhǎng)階段，生物生長(zhǎng)的速度也不一樣。 發(fā)生初期成長(zhǎng)速度較慢，由慢到快；

13、發(fā)生初期成長(zhǎng)速度較慢，由慢到快； 發(fā)展時(shí)期生長(zhǎng)速度則較快；發(fā)展時(shí)期生長(zhǎng)速度則較快； 成熟時(shí)期，生長(zhǎng)速度由達(dá)到最快而后逐漸變慢；成熟時(shí)期，生長(zhǎng)速度由達(dá)到最快而后逐漸變慢； 到衰老期則幾乎停止生長(zhǎng)。到衰老期則幾乎停止生長(zhǎng)。v 指數(shù)曲線模型不能預(yù)測(cè)接近極限值時(shí)生物生長(zhǎng)的特性值，指數(shù)曲線模型不能預(yù)測(cè)接近極限值時(shí)生物生長(zhǎng)的特性值，因?yàn)橼吔鼧O限值時(shí)，生物生長(zhǎng)特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。因?yàn)橼吔鼧O限值時(shí)，生物生長(zhǎng)特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。龔帕茲生長(zhǎng)曲線龔帕茲生長(zhǎng)曲線 -6-4-20246800.511.52-3-2-10123400.250.50.7511.251.51.7502460510152025-0.

14、500.511.520255075100125150 (a) ln a0, 0b1 (b) ln a1 (c) ln a0, 0b0, b1第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線 結(jié)論：龔伯茲曲線的結(jié)論：龔伯茲曲線的對(duì)數(shù)一階差分比率對(duì)數(shù)一階差分比率為常數(shù)為常數(shù) b。龔珀茲曲線模型一階差的比率計(jì)算表龔珀茲曲線模型一階差的比率計(jì)算表第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線查反對(duì)數(shù)表，求出參數(shù)查反對(duì)數(shù)表，求出參數(shù)k、a、b，并將，并將k、a、b代入公式代入公式tbkay ，即得龔珀茲預(yù)測(cè)模型。，即得龔珀茲預(yù)測(cè)模型。 32212121lnlnl

15、nln1lnlnln111lnlnln1ttnttttnntyybyybayybbbKybanb 例例4：設(shè)某軍工企業(yè)從：設(shè)某軍工企業(yè)從1993年年1月開(kāi)始為海軍月開(kāi)始為海軍批量生產(chǎn)某型裝備，從元月到批量生產(chǎn)某型裝備，從元月到9月平均每臺(tái)節(jié)月平均每臺(tái)節(jié)省原材料如表所示，試用龔伯茲曲線預(yù)測(cè)法預(yù)省原材料如表所示，試用龔伯茲曲線預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)測(cè)10月份，每臺(tái)可能節(jié)約原材料費(fèi)多少？月份，每臺(tái)可能節(jié)約原材料費(fèi)多少？第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線求解過(guò)程求解過(guò)程32333321lnln7.711 7.3400.3710.42110.7495lnln7.3406.4590.881ttttyybyy0.517

16、8a14.2962K ttbtKay7495. 05178. 02962.14龔伯茲曲線方程為：龔伯茲曲線方程為： 將將t10代入，得：代入，得： 78.135178. 02962.145178. 02962.140559. 07495. 01010y第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯羅吉斯曲線曲線羅吉斯曲線圖羅吉斯曲線圖 1938年比利時(shí)數(shù)學(xué)家年比利時(shí)數(shù)學(xué)家P.F.Verhulst在研究人口增殖規(guī)在研究人口增殖規(guī)律時(shí)，歸納出了著名的羅吉斯曲線律時(shí)，歸納出了著名的羅吉斯曲線(Logistic curve)，又稱(chēng)，又稱(chēng)生長(zhǎng)理論曲線或推理曲線生長(zhǎng)理論曲線或推理曲線，廣泛用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型。廣泛用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的

17、數(shù)學(xué)模型。適合用羅吉斯曲線表示：適合用羅吉斯曲線表示：某種耐用消費(fèi)品的普及過(guò)程某種耐用消費(fèi)品的普及過(guò)程流行商品的累積銷(xiāo)售額流行商品的累積銷(xiāo)售額被置于孤島的動(dòng)植物生長(zhǎng)現(xiàn)象等被置于孤島的動(dòng)植物生長(zhǎng)現(xiàn)象等 1atKybe倒數(shù)總和法倒數(shù)總和法v求倒數(shù)v三和法求參數(shù)11,1,2,3attbetnyK(1)1112(1)(21)(1)21213(2321321(1)111(1)1111naa naanatnaatttna nana nanatnaat nt ntnaatntntnteeeenbenbnbeeSyKKKeeeenbenbnbeeSyKKKenbenbSyK 1)(31)(21)(1)11na

18、nananaaeeenbeeKK倒數(shù)總和法倒數(shù)總和法v構(gòu)造v則(1)(21)2(1)12(1)()(1)(1)(1)()ana na naaanaa nanaanaanaanaDbeeeKeDKebeeeeeeeeeee (1)112(1)(21)223(1)()(1)(1)()(1)anaa naana nanabeeeDSSKebeeeDSSKe121(lnln)aDDn倒數(shù)總和法倒數(shù)總和法v構(gòu)造v則2111122112()1(1)aanaDK nSD DeDb KeeD D 2(1)211(1)(21)12(1)()(1)(1)(2)(1)anaa nanaaaa nanaDbeeebe

19、enSDDKeeeeKeK第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯曲線羅吉斯曲線v 例例5：某石油公司的天然氣歷年產(chǎn)量見(jiàn)表。試建立羅吉：某石油公司的天然氣歷年產(chǎn)量見(jiàn)表。試建立羅吉斯增長(zhǎng)曲線，并用模型預(yù)測(cè)未來(lái)一年的天然氣產(chǎn)量。斯增長(zhǎng)曲線，并用模型預(yù)測(cè)未來(lái)一年的天然氣產(chǎn)量。解：由表中數(shù)據(jù)求得解：由表中數(shù)據(jù)求得235. 0819. 021DD0.3125.5023.247aKb0.3125.5021 3.247tye得得增長(zhǎng)曲線特征比較增長(zhǎng)曲線特征比較曲線類(lèi)型曲線類(lèi)型特特 點(diǎn)點(diǎn)指數(shù)曲線一階環(huán)比為常數(shù)一階環(huán)比為常數(shù)eb（或?qū)?shù)的一階差分近似為一常數(shù)）修正指數(shù)曲線一階差分環(huán)比為常數(shù)一階差分環(huán)比為常數(shù)b龔伯茲曲線其對(duì)數(shù)的一階

20、差分的環(huán)比為一常數(shù)其對(duì)數(shù)的一階差分的環(huán)比為一常數(shù)b羅吉斯曲線倒數(shù)的一階差分環(huán)比為一常數(shù)倒數(shù)的一階差分環(huán)比為一常數(shù)e-a預(yù)測(cè)模型的識(shí)別方法預(yù)測(cè)模型的識(shí)別方法v1.繪圖目估法繪圖目估法v2.離差平方和最小法離差平方和最小法v3.增長(zhǎng)特征法增長(zhǎng)特征法曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析 一、曲線的擬合優(yōu)度分析一、曲線的擬合優(yōu)度分析 如前所述，實(shí)際的預(yù)測(cè)對(duì)象往往無(wú)法通過(guò)圖形如前所述，實(shí)際的預(yù)測(cè)對(duì)象往往無(wú)法通過(guò)圖形直觀確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時(shí)，直觀確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時(shí)，一般先初選幾個(gè)模型，待對(duì)模型的擬合優(yōu)度分析后一般先初選幾個(gè)模型，待對(duì)模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模

21、型。再確定究竟用哪一種模型。 擬合優(yōu)度指標(biāo)：擬合優(yōu)度指標(biāo)： 評(píng)判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)作評(píng)判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)作 為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：2()yySEn曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析年份年份時(shí)序時(shí)序（t）總額總額 （ yt ）年份年份時(shí)序時(shí)序（t）總額總額 （ yt ）年份年份時(shí)序時(shí)序（t）總額總額（ yt ）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977

22、261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7 例例 6：下表是我國(guó)：下表是我國(guó)1952年到年到1983年社會(huì)商品零售總額年社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國(guó)社會(huì)商品零售

23、總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國(guó)社會(huì)商品零售總額 。曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（1）對(duì)數(shù)據(jù)畫(huà)折線圖分析，以社會(huì)商品零售總額為）對(duì)數(shù)據(jù)畫(huà)折線圖分析，以社會(huì)商品零售總額為 y軸，年份軸，年份為為x軸。軸。曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（2）從圖形可以看出大致的曲線增長(zhǎng)模式，較符合）從圖形可以看出大致的曲線增長(zhǎng)模式，較符合 的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無(wú)法確的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無(wú)法確 定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲線，則我們將定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲線，則我們將 分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。 適用的二次曲線模型為：適用的二次曲線模型為： 適用的指數(shù)曲線模型為適用的指數(shù)曲線模型為： 2012tybbtb tbttyae曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（3）進(jìn)行二次曲線擬合進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生