異方差檢驗(yàn)方法分析報告

1、 第10講 異方差檢驗(yàn)10.1同方差假定模型的假定條件給出Var(u) 是一個對角矩陣， Var(u) = s2I = s2(10.1)且u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素都是常數(shù)且相等，即每一誤差項(xiàng)的方差都是有限的一樣值（同方差假定）；且非主對角線上的元素為零（非自相關(guān)假定），當(dāng)這個假定不成立時，Var(u) 不再是一個純量對角矩陣。Var(u) = s2W= s2s2I (10.2)當(dāng)誤差向量u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素不相等時，稱該隨機(jī)誤差系列存在異方差，即誤差向量u中的元素ut取自不同的分布總體。非主對角線上的元素表示誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差值。比如W中的 sij與s2的乘積,（i j

2、）表示與第i組和第j組觀測值相對應(yīng)的ui與uj的協(xié)方差。若 W非主對角線上的部分或全部元素都不為零，誤差項(xiàng)就是自相關(guān)的。本章討論異方差。以兩個變量為例，同方差假定如圖10.1和10.2所示。對于每一個xt值，相應(yīng)ut的分布方差都是一樣的。圖10.1同方差情形 圖10.2 同方差情形10.2異方差表現(xiàn)與來源異方差通常有三種表現(xiàn)形式，（1）遞增型，（2）遞減型，（3）條件自回歸型。遞增型異方差見圖10.3和10.4。圖10.5為遞減型異方差。圖10.6為條件自回歸型異方差。圖10.3 遞增型異方差情形 圖10.4 遞增型異方差圖10.5 遞減型異方差 圖10.6 復(fù)雜型異方差(1) 時間序列數(shù)據(jù)和

3、截面數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差。(2) 經(jīng)濟(jì)時間序列中的異方差常為遞增型異方差。金融時間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。無論是時間序列數(shù)據(jù)還是截面數(shù)據(jù)。遞增型異方差的來源主要是因?yàn)殡S著解釋變量值的增大，被解釋變量取值的差異性增大。10.3異方差的后果回歸參數(shù)估計量仍具有無偏性和一致性。但是回歸參數(shù)估計量不再具有有效性。10.4 異方差檢驗(yàn)10.4.1 定性分析異方差(1) 經(jīng)濟(jì)變量規(guī)模差別很大時容易出現(xiàn)異方差。如個人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。(2) 利用散點(diǎn)圖做初步判斷。 (3) 利用殘差圖做初步判斷。10.4.2 異方差檢驗(yàn)(1) White檢驗(yàn)White檢驗(yàn)由H. White

4、1980年提出。Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。Glejser檢驗(yàn)通常要試擬合多個回歸式。White檢驗(yàn)不需要對觀測值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過一個輔助回歸式構(gòu)造 c2統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。White檢驗(yàn)的具體步驟如下。以二元回歸模型為例，yt = b0 +b1xt1+b2 xt2+ ut(10.3)首先對上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差。做如下輔助回歸式，= a0 +a1xt1 +a2xt2 + a3xt12 +a4xt22+ a5xt1xt2+vt(10.4)即用對原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行OLS回歸。

5、注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。求輔助回歸式(5.10)的可決系數(shù)R2。White檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是H0: (5.9)式中的ut不存在異方差，H1: (5.9)式中的ut存在異方差在不存在異方差假設(shè)條件下統(tǒng)計量T R 2 c2(5)(10.5)其中T表示樣本容量，R2是輔助回歸式(10.4)的OLS估計式的可決系數(shù)。自由度5表示輔助回歸式(10.4)中解釋變量項(xiàng)數(shù)（注意，不計算常數(shù)項(xiàng)）。T R 2屬于LM統(tǒng)計量。判別規(guī)則是若 T R 2 c2a(5), 接受H0 （ut具有同方差）若 T R 2 c2a(5), 拒絕H0 （ut具有異方差）（2）Glejser檢驗(yàn) 檢驗(yàn) | 是否與解釋變量xt

6、存在函數(shù)關(guān)系。若有，則說明存在異方差；若無，則說明不存在異方差。通常應(yīng)檢驗(yàn)的幾種形式是 | = a0 + a1xt | = a0 + a1xt2 | = a0 + a1, .Glejser檢驗(yàn)的特點(diǎn)是：既可檢驗(yàn)遞增型異方差，也可檢驗(yàn)遞減型異方差。 一旦發(fā)現(xiàn)異方差，同時也就發(fā)現(xiàn)了異方差的具體表現(xiàn)形式。 計算量相對較大。當(dāng)原模型含有多個解釋變量值時，可以把 | 擬合成多變量回歸形式。(3) 自回歸條件異方差（ARCH）檢驗(yàn)異方差的另一種檢驗(yàn)方法稱作自回歸條件異方差 (ARCH) 檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)方法不是把原回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)st 2 看作是xt的函數(shù)，而是把st 2 看作誤差滯后項(xiàng)ut-12 ,

7、ut-22 , 的函數(shù)。ARCH是誤差項(xiàng)二階矩的自回歸過程。恩格爾（Engle 1982）針對ARCH過程提出LM檢驗(yàn)法。輔助回歸式定義為= a0 + a1 + +an (10.6)LM統(tǒng)計量定義為ARCH = T R 2 c2(n)其中R2是輔助回歸式（10.6）的可決系數(shù)。在H0：a1 = = an = 0 成立條件下，ARCH漸近服從c2(n) 分布。ARCH檢驗(yàn)的最常用形式是一階自回歸模型（n = 1），= a0 + a1在這種情形下，ARCH漸近服從c2(1)分布。10.5克服異方差的方法 （1）對模型yt= b0 + b1 xt1+ b2xt2+ ut (10.7)假定異方差形式是

8、Var(ut) = (s xt1)2。（因?yàn)閂ar(ut) = E(ut)2，相當(dāng)于認(rèn)為 | =s xt）用xt1同除上式兩側(cè)得yt /xt1= /xt1+ b2xt2 /xt1+ut/xt1, (10.8)因?yàn)閂ar(ut/xt1) =(1/ xt12) Var(ut) =(1/ xt12) s2 xt12 = s2， (10.8) 式中的隨機(jī)項(xiàng) (ut/xt) 是同方差的。對 (10.8) 式做OLS估計后，把回歸參數(shù)的估計值代入原模型 (10.7)。對 (10.8) 式應(yīng)用OLS法估計參數(shù)，求 S(ut/xt1)2 最小。其實(shí)際意義是在求 S(ut/xt1)2 最小的過程中給相應(yīng)誤差項(xiàng)分

9、布方差小的觀測值以更大的權(quán)數(shù)。所以此法亦稱為加權(quán)最小二乘法，是GLS估計法的一個特例。（2）通過對數(shù)據(jù)取對數(shù)消除異方差。圖10.7 菲律賓GDP和對數(shù)的GDP圖10.8中國進(jìn)出口貿(mào)易額差（1953-1998, file: pap1）和對數(shù)的中國進(jìn)出口貿(mào)易額之差問題：（1）1.2E+12表示什么含義？（2）LNEXT-LNIMP為什么不能改為LN(EXT-IMP)？10.6 案例分析案例1（file:hete01，hete02）取1986年中國29個省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值yt（億元）和農(nóng)作物播種面積xt（萬畝）數(shù)據(jù)研究二者之間的關(guān)系。得估計的線性模型如下，yt = -5.6610 + 0.0

10、123 xt(10.10)(12.4)R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29無論是從yt和xt觀測值的散點(diǎn)圖（見圖10.9）還是模型的殘差圖（見圖10.10）都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中存在異方差。圖10.9 農(nóng)作物產(chǎn)值yt和播種面積xt (file:hete01) 圖10.10 殘差圖(file:hete02)（1）用White方法檢驗(yàn)是否存在異方差。在上式回歸的基礎(chǔ)上，做White檢驗(yàn)。得，注意：輸出結(jié)果中的概率是指c2(2)統(tǒng)計量取值大于8.02的概率為0.018。示意如下圖。因?yàn)門R2 = 8.02 c2a(2) = 6，所以存在異方差。（2）用Glejser方法檢驗(yàn)是否存在異方

11、差。下面克服異方差。對yt和xt同取對數(shù)。得兩個新變量Lnyt和Lnxt（見圖10.11）。用Lnyt對Lnxt回歸，得Lnyt= - 4.1801 +0.9625 Lnxt . (10.13)(16.9)R2 = 0.91, F = 285.6, (t = 1, , 29)圖10.11 Ln yt和 Ln xt 圖10.12 殘差圖經(jīng)White檢驗(yàn)不存在異方差。因?yàn)門R2 = 2.58 c20.05 (2) = 6.0，所以不存在異方差。 (文件：Statis) 用Glejser法檢驗(yàn)異方差用 (10.10) 式, yt = -5.6610 + 0.0123 xt, 的殘差的絕對值對xt回歸

12、| = 0.0024 xt (8.0) R2 = 0.22可見誤差項(xiàng)的異方差形式是Var(ut) = E(ut)2 = 5.7610-6xt2?？朔惙讲畹姆椒ㄊ怯脁t分別除(10.10) 式兩側(cè)，得變換變量yt* =yt / xt，xt* = 1 / xt。用yt*對xt*回歸（見圖10.13），得yt* = 0.0113 + 0.8239 xt*(10.14)(13.8) (0.8)R2 = 0.63, F = 46.1圖10.13 yt* 和 xt* 圖10.14 殘差圖注意，回歸系數(shù)0.8239沒有顯著性，截距項(xiàng)0.0113卻有很強(qiáng)的顯著性，而0.0113正是還原后模型的回歸系數(shù)，所以

13、模型通過檢驗(yàn)。把yt* =yt / xt，xt* = 1 / xt代入上式并整理得廣義最小二乘估計結(jié)果如下：yt = 0.8239 + 0.0113 xt(10.15)(0.8) (13.8)R2 = 0.63, F = 46.1由式 (10.14) 得到的殘差見圖10.14。經(jīng)檢驗(yàn)已不存在異方差。(10.14) 式，即 (10.15) 式中的回歸參數(shù)具有最佳線性無偏特性。(10.16) 式是最小二乘估計結(jié)果。比較(10.16)和 (10.15) 式，yt = -5.6610 + 0.0123 xt(10.16)雖然0.0113和0.0123相差不多，但從估計原理分析，0.0113有比0.01

14、23更大的可能性接近回歸參數(shù)真值。經(jīng)濟(jì)含義是平均每一萬畝耕地的農(nóng)業(yè)產(chǎn)出值是113萬元人民幣。通過這個例子說明，在實(shí)際中直接用解釋變量除原變量的變換方法克服異方差是可行的。附錄：用EViews給序列中的數(shù)據(jù)排序。在Workfile窗口點(diǎn)擊Proc鍵并選擇Sort Current Page功能，將出現(xiàn)一個要求填寫以哪一個序列為標(biāo)準(zhǔn)（基準(zhǔn)序列）排序的對話框。填寫基準(zhǔn)序列名，并在下側(cè)的另一個選擇框中說明是按從小到大排列（Ascending），還是從大到小排列（Descending）。缺省的選擇是從小到大排列。注意，這種操作是把工作文件中所有的變量都以選定的變量為標(biāo)準(zhǔn)排序。所以若希望保留原序列數(shù)據(jù)時，應(yīng)

15、先備份一個工作文件。obs 原始數(shù)據(jù) 排序以后XYXY1907.516.31316.53.532873.217.14761.76.33313159.2125.24873.217.1445928.142.24907.516.3156834.440.281018.516.8365495.584.471235.210.0776055.270.73601.549.72812694.6101.674275.144.7891018.516.834701.344.371012770.9211.515252.537.29116542.71015495.584.471212244.3155.875928.142.24133601.549.726036.151.79148158.169.76055.270.71516564.5255.926542.71011617729.2183.656821.761.241711061.5146.796834.440.281811304.7129.637016.559.45199166.2154.288158.169.7206821.761.2491