兩圓方程作差所得方程對(duì)應(yīng)的直線與兩圓的位置關(guān)系

1、兩圓方程作差所得方程對(duì)應(yīng)的直線與兩圓的位置關(guān)系兩圓方程作差所得方程對(duì)應(yīng)的直線與兩圓的位置關(guān)系簡(jiǎn)介：對(duì)于兩個(gè)非同心圓的一般方程，若把它們作差，消去二次項(xiàng)后會(huì)得到一個(gè)二元一次方程，即得到一條直線的方程。所得直線在兩圓的5 種位置關(guān)系下的幾何意義以及已知兩圓、 的位置關(guān)系如何？筆者針對(duì)以上問題探討如下：一、預(yù)備知識(shí)：圓冪定理:二、預(yù)備知識(shí)：定義點(diǎn)到圓的冪與兩圓的根軸三、定理：根軸與兩圓連心線垂直四、兩圓相交根軸的幾何意義就是公共弦所在直線五、兩圓相切（內(nèi)切或外切）根軸的幾何意義就是公切線六、兩圓相離根軸的幾何意義與位置七、兩圓內(nèi)含根軸的幾何意義與位置八、結(jié)論：正文對(duì)于兩個(gè)非同心圓的一般方程，若把它們

2、作差，消去二次項(xiàng)后會(huì)得到一個(gè)二元一次方程，即得到一條直線的方程。設(shè)兩圓， ，把這兩個(gè)圓的方程作差，消去二次項(xiàng)后，得到的一條直線方程為?，F(xiàn)在我想探討的問題是：所得直線在兩圓的5 種位置關(guān)系下的幾何意義以及已知兩圓、 的位置關(guān)系如何？筆者針對(duì)以上問題探討如下：一、預(yù)備知識(shí)：圓冪定理:1. 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。2. 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P 引兩條割線與圓分別交于A、 B；C、D,貝U有 PAPB=PCPD統(tǒng)一歸納為圓冪定理：過任意不在圓上的一點(diǎn)P 引兩條直線L1、 L2

3、， L1 與圓交于A、 （B 可重合，即切線），L2與圓交于 C、D （可重合），則有 PAPB=PCPD4 圓冪定理推論：設(shè)圓半徑為r ，圓心為O，若 P 在圓外，則；若 P 在圓內(nèi)，。（事實(shí)上所有的過P 點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）二、預(yù)備知識(shí)：定義點(diǎn)到圓的冪與兩圓的根軸1 定義點(diǎn)到圓的冪：平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為 這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對(duì)值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的哥。（若P在圓外，這個(gè)值就是切線長(zhǎng)的平方）2 定義兩圓的根軸：兩個(gè)非同心圓相減總是得到一條直線：因由此可知：直線是到兩圓冪相等的點(diǎn)的集合。兩圓的根軸定義：兩圓方程相減所得的方程對(duì)應(yīng)的直線叫兩圓的根軸，即到兩

4、圓冪相等的點(diǎn)的集合。（不相交時(shí)，就是兩圓切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的集合）三、定理：根軸與兩圓連心線垂直圓 的圓心坐標(biāo)是，圓 的圓心坐標(biāo)是。 1 。當(dāng) 時(shí)，兩圓非同心，則得過兩圓心的直線的斜率不存在，而直線 的斜率為零，故直線與過兩圓心的直線垂直；2。當(dāng)時(shí)，兩圓非同心，則得過兩圓心的直線的斜率為零，而直線 的斜率不存在，故直線與過兩圓心的直線垂直；3。當(dāng) 且 時(shí)，得過兩圓心的直線的斜率是，而直線的斜率是 ，故直線與過兩圓心的直線垂直。四、兩圓相交根軸的幾何意義就是公共弦所在直線設(shè) 、 是兩圓的交點(diǎn)，則有和 成立，即滿足方程，即 ；同理 也滿足它，所以直線表示兩圓相交弦所在直線。五、兩圓相切（內(nèi)切或外切）根

5、軸的幾何意義就是公切線1. 設(shè) 是兩圓的切點(diǎn)，則有和 成立，即滿足方程，即；2. 又 由三知根軸與兩圓連心線垂直由 1.2. 知，根軸的幾何意義就是公切線六、兩圓相離根軸的幾何意義與位置兩圓相離根軸的幾何意義是到兩圓冪相等的點(diǎn)的軌跡 （既到兩圓切線長(zhǎng)相等的軌跡），但是，結(jié)論比較抽象，具體直線在哪里？由三定理知根軸與兩圓連心線垂直，因此只需探求根軸與兩圓連心所在直線垂直的垂足位置即可設(shè)兩圓 ， ，設(shè)兩圓的圓心分別為半徑為 ，以 為圓心 , 為半徑作圓, 以 為圓心 , 為半徑作圓, 滿足 ，|那么 , 新得到的兩圓是外切的；再令顯然 , 原來兩圓方程相減所得的方程和新得到的兩圓方程相減所得的方程

6、一樣 , 為同一直線, 即為新得兩圓的公切線. ；所以 , 只需解方程組 : 解得 :內(nèi)分 所稱比 內(nèi)分點(diǎn)又；同理 ；故 K 在兩圓連心線上兩圓之間的線段上且圓心 與線段 中點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線上；時(shí)，垂足在圓心與線段中點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線上。由以上可知：垂足的求法與位置已明朗化，抽象的直線的位置也已明朗化。舉例如下：設(shè)，直線 斜率為 1，所以所求根軸方程為：此結(jié)果驗(yàn)證與直接相減結(jié)果一致。七、兩圓內(nèi)含根軸的幾何意義與位置同樣兩圓內(nèi)含根軸的幾何意義是到兩圓冪相等的點(diǎn)的軌跡（既到兩圓切線長(zhǎng)相等的軌跡）結(jié)論同樣抽象，具體直線在哪里？根軸與兩圓連心線垂直，仍需探求根軸與兩圓連心所在直線垂直的垂足的位置。圓方程、圓

7、心、半徑設(shè)法同上，同樣以為圓心 , 為半徑作圓, 以 為圓心 , 為半徑作圓, 滿足 ，| 那么 , 新得到的兩圓是內(nèi)切的；再令顯然 , 原來兩圓方程相減所得的方程和新得到的兩圓方程相減所得的方程一樣為同一直線 , 即為新得兩圓的公切線. ；所以，只需解方程組不妨設(shè)（既）時(shí)：方程組等價(jià)于外分所稱比） ；又在圓心 的延長(zhǎng)線上且在圓外部；的求法與位置已明朗化，抽象的直線 的位置也已明朗化。舉例如下：設(shè)， 直線 斜率為 1，所以所求根軸方程為：，此結(jié)果驗(yàn)證與直接相減結(jié)果一致。八、結(jié)論：1. 根軸與兩圓連心線垂直2. 兩圓相交根軸的幾何意義就是公共弦所在直線兩圓相切 （內(nèi)切或外切）根軸的幾何意義就是公切