任意角的概念與弧度制

1、任意角的概念與弧度制一、角的概念的推廣（一）角的概念的推廣知識點(diǎn)：1角的定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置，形成一個(gè)角，點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線分別是角的終邊、始邊.說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為2角的分類：正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角。說明：零角的始邊和終邊重合。3象限角：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)軸重合，則（1）象限角：若角的終邊（端點(diǎn)除外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。例如：都是第一象限角；是第四象限角。（2）非象

2、限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。例如：等等。說明：角的始邊“與軸的非負(fù)半軸重合”不能說成是“與軸的正半軸重合”。因?yàn)檩S的正半軸不包括原點(diǎn)，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點(diǎn)為其端點(diǎn)的射線。4終邊相同的角的集合：由特殊角看出：所有與角終邊相同的角，連同角自身在內(nèi)，都可以寫成的形式；反之，所有形如的角都與角的終邊相同。 從而得出一般規(guī)律：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。5各象限角的集合與軸線角的集合 （1）象限角的集

3、合 第一象限角集合為； 第二象限角集合為； 第三象限角集合為； 第四象限角集合為. （2）軸線角（終邊在坐標(biāo)軸上的角）的集合 終邊落在軸的非負(fù)半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非正半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非負(fù)半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非正半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸上，角的集合為：； 終邊落在坐標(biāo)軸上，角的集合為：；例題：1. 在與范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？ （1） （2） （3） 2. 若，試判斷角所在象限。3. 寫出下列各邊相同的角的集合，并把中適合不等式的元素寫出來： （1）； （2）； （3）

4、4.寫出所夾區(qū)域內(nèi)的角的集合。5.以下四個(gè)命題：（1）小于90°的角是銳角 （2）第二象限的角一定是鈍角（3）銳角必是第一象限角 （4）負(fù)角也可能是第一象限角其中不正確的命題的個(gè)數(shù) （ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.（1）寫出與角終邊相同的角的集合；（2）在（1）的集合中，將適合不等式的元素求出來7.已知是第三象限角，則是第幾象限角？8.設(shè)為銳角，B=為小于90°的角，C=為第一象限角，D=為小于90°的正角，則下列等式中成立的是（ ）A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D9.已知角是第三象限角，則角的終邊在（ ）A.第一象限 B.第二象限

5、C.第三象限 D.第四象限10.與120°角終邊相同的角是（ ）A. B. C. D. 11.的終邊經(jīng)過點(diǎn)M（0，）,則（ ）A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.既是第三象限角又是第四象限角 D.不是任何象限角12.終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是（ ）A. B. C. D. （二） 弧度制和弧度制與角度制的換算知識點(diǎn)1弧度角的定義：規(guī)定：我們把長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記此角為2弧度的推廣及角的弧度數(shù)的計(jì)算：規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；角的弧度數(shù)的絕對值是，3角度與弧度的換算 rad 1=4用弧度制各象限角的集合與軸線角的集合

6、（1）象限角的集合 第一象限角集合為； 第二象限角集合為； 第三象限角集合為； 第四象限角集合為. （2）軸線角（終邊在坐標(biāo)軸上的角）的集合 終邊落在軸的非負(fù)半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非正半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非負(fù)半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸的非正半軸上，角的集合為：； 終邊落在軸上，角的集合為：； 終邊落在坐標(biāo)軸上，角的集合為：；5一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°3

7、60°06弧長公式：在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式又如何表示？（其中表示所對的弧長），所以，弧長公式為7扇形面積公式：扇形面積公式為：說明：弧度制下的公式要顯得簡潔的多了；以上公式中的必須為弧度單位例題：1. 把化成弧度2. 把化成度。3. 將下列各角化為的形式，并判斷其所在象限。（1）； （2）； （3）4.填空：（1）_,_;(2) 5.已知一扇形的圓心角是72°，半徑為，求扇形的面積6.（1）已知扇形的圓心角為，半徑，求弧長及扇形面積。（2）已知扇形周長為，當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí)它有最大面積，最大面積是多少？7. 如圖，扇形的面積是，它的周長是，求扇形的中心角及弦

8、的長。任意角的概念與弧度制一、角的概念的推廣（一）角的概念的推廣1.【答案與解析】 解：（1），所以，與角終邊相同的角是，它是第三象限角；（2），所以，與角終邊相同的角是角，它是第四象限角；（3），所以，角終邊相同的角是角，它是第二象限角。2. 【答案與解析】 與終邊相同, 所以，在第三象限。3. 【答案與解析】解：（1），中適合的元素是 （2），S中適合的元素是 （3）S中適合的元素是 4. 【答案與解析】解：當(dāng)終邊落在上時(shí)，角的集合為； 當(dāng)終邊落在上時(shí)，角的集合為；所以，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)有集合：5. 【答案與解析】解：銳角的范圍為0°90°，而小于90°的角可

9、以為正也可以為負(fù)，所以（1）是不正確的；鈍角的范圍為：90 °180°，而第二象限角為：，所以（2）也是不正確的；（3）顯然是正確的；（4）中負(fù)角也可能在第一象限是對的，如是第一象限角，所以選B.6. 【答案與解析】【解析】（1）與角終邊相同的角的集合是： （2）在M中適合的元素是：取時(shí)，取時(shí)，取時(shí)，取時(shí)，即元素、為所求.7. 【答案與解析】解：（1）終邊落在射線OM上的角的集合為：（2）終邊落在射線OM上的角的集合為：終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為：則終邊落在直線OM上的角的集合為的偶數(shù)倍的奇數(shù)的整數(shù)（3）同理可得終邊落在子線ON上的角的集合為，則終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為8. 【答案與解析】解法一：是第三象限角（1）當(dāng)時(shí)，可得,故的終邊在第一象限；（2）當(dāng)時(shí)，可得,故的終邊在第三象限；（3）當(dāng)時(shí)，可得故的終邊在第四象限；綜上可知是第一或第三或第四象限角解法二：如圖1-1-1-6可知是第一或第三或第四象限角（二） 弧度制和弧度制與角度制的換算1. 【答案與解析】解：因?yàn)?，所?2. 【答案與解析】解：3. 【答案與解析】解：（1），所以，此角為第一象限角；（2），所以此角為