彈塑性力學(xué)習(xí)題集(有圖)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上彈塑性力學(xué)習(xí)題集殷綏域 李同林 編中國(guó)地質(zhì)大學(xué)·力學(xué)教研室二三年九月目 錄彈塑性力學(xué)習(xí)題 （1）第二章 應(yīng)力理論·應(yīng)變理論（1）第三章 彈性變形·塑性變形·本構(gòu)方程（6）第四章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立及基本解法 （8）第五章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 （9）第六章 平面問題的極坐標(biāo)解答（11）第七章 柱體的扭轉(zhuǎn)（13）第八章 彈性力學(xué)問題一般解·空間軸對(duì)稱問題（14）第九章* 加載曲面·材料穩(wěn)定性假設(shè)·塑性勢(shì)能理論（15）第十章 彈性力學(xué)變分法及近似解法（16）第十一章* 塑性力學(xué)極限分析定理與塑性

2、分析 （18）第十二章* 平面應(yīng)變問題的滑移線場(chǎng)理論解 （19）附錄一 張量概念及其基本運(yùn)算·下標(biāo)記號(hào)法·求和約定 （21）習(xí)題參考答案及解題提示 （22）前 言彈塑性力學(xué)是一門理論性較強(qiáng)的技術(shù)基礎(chǔ)課程，它與許多工程技術(shù)問題都有著十分密切地聯(lián)系。應(yīng)用這門課程的知識(shí)，能較真實(shí)地反映出物體受載時(shí)其內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變的分布規(guī)律，能為工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的設(shè)計(jì)提供可靠的理論依據(jù)，因而受到工程類各專業(yè)的重視。彈塑性力學(xué)習(xí)題集是專為彈塑性力學(xué)（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)李同林、殷綏域編，研究生教學(xué)用書。）教材的教學(xué)使用而編寫的配套教材。本習(xí)題集緊扣教材內(nèi)容，選編了170余道習(xí)題。作者期望通過不同類型習(xí)題的訓(xùn)

3、練能有助于讀者理解和掌握彈塑性力學(xué)的基本概念、基礎(chǔ)理論和基本技能，并培養(yǎng)和提高其分析問題和解決問題的能力。鑒于彈塑性力學(xué)課程理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象、解題困難等特點(diǎn)，本書對(duì)所編習(xí)題均給出了參考答案，并對(duì)難度較大的習(xí)題給出了解題提示或解答。本習(xí)題集的編寫基本取材于殷綏域老師編寫的彈塑性力學(xué)習(xí)題集，由李同林老師重新修編，進(jìn)一步充實(shí)而成。書中大部分內(nèi)容都經(jīng)過了多屆教學(xué)使用。為保證教學(xué)基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，習(xí)題中帶“*”號(hào)的題目可酌情選做。由于編者水平所限，錯(cuò)誤和不妥之處仍在所難免，敬請(qǐng)讀者指正。 編 者2003年9月彈塑性力學(xué)習(xí)題第二章 應(yīng)力理論·應(yīng)變理論21 試用材料力學(xué)公式計(jì)算：直徑為1cm的圓桿

4、，在軸向拉力P = 10KN的作用下桿橫截面上的正應(yīng)力及與橫截面夾角的斜截面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并按彈塑性力學(xué)應(yīng)力符號(hào)規(guī)則說明其不同點(diǎn)。22 試用材料力學(xué)公式計(jì)算：題22圖所示單元體主應(yīng)力和主平面方位（應(yīng)力單位MPa），并表示在圖上。說明按彈塑性力學(xué)應(yīng)力符號(hào)規(guī)則有何不同。 題22圖 題23圖23 求題23圖所示單元體斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa），并說明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力的公式應(yīng)用于彈塑性力學(xué)計(jì)算時(shí)，該式應(yīng)作如何修正。24 已知平面問題單元體的主應(yīng)力如題24圖(a)、(b)、(c)所示，應(yīng)力單位為MPa。試求最大剪應(yīng)力，并分別畫出最大剪應(yīng)力作用面（每組可畫一個(gè)面）及

5、面上的應(yīng)力。題24圖25* 如題25圖，剛架ABC在拐角B點(diǎn)處受P力，已知?jiǎng)偧艿腅J，求B、C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移。（E為彈性模量、J為慣性矩）26 懸掛的等直桿在自重W的作用下如題26圖所示。材料比重為，彈性模量為E，橫截面積為A。試求離固定端z處一點(diǎn)c的應(yīng)變與桿的總伸長(zhǎng)。27* 試按材料力學(xué)方法推證各向同性材料三個(gè)彈性常數(shù)：彈性模量E、剪切彈性模量G、泊松比v之間的關(guān)系： 題25圖題26圖 28 用材料力學(xué)方法試求出如題28圖所示受均布載荷作用簡(jiǎn)支梁內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并校核所得結(jié)果是否滿足平衡微分方程。題28圖29 已知一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：試求外法線n的方向余弦為：，的微斜面上的全應(yīng)力，正應(yīng)力和剪

6、應(yīng)力。210 已知物體的應(yīng)力張量為：試確定外法線的三個(gè)方向余弦相等時(shí)的微斜面上的總應(yīng)力，正應(yīng)力和剪應(yīng)力。211 試求以主應(yīng)力表示與三個(gè)應(yīng)力主軸成等傾斜面（八面體截面）上的應(yīng)力分量，并證明當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)它們是不變量。212 試寫出下列情況的應(yīng)力邊界條件。題212圖213 設(shè)題213圖中之短柱體，處于平面受力狀態(tài)，試證明在尖端C處于零應(yīng)力狀態(tài)。 題213圖 題214圖214* 如題214圖所示的變截面桿，受軸向拉伸載荷P作用，試確定桿體兩側(cè)外表面處應(yīng)力（橫截面上正應(yīng)力）和在材料力學(xué)中常常被忽略的應(yīng)力、之間的關(guān)系。215 如題215圖所示三角形截面水壩，材料的比重為，水的比重為，已求得其應(yīng)力解為： ，

7、其它應(yīng)力分量為零。試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a、b、c、d。216* 已知矩形截面高為h，寬為b的梁受彎曲時(shí)的正應(yīng)力，試求當(dāng)非純彎時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力公式。（利用彈塑性力學(xué)平衡微分方程） 題215圖217 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為：，試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。218* 在物體中某一點(diǎn)，試以和表示主應(yīng)力。219 已知應(yīng)力分量為計(jì)算主應(yīng)力、并求的主方向。220 證明下列等式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 221* 證明等式：。222* 試證在坐標(biāo)變換時(shí)，為一個(gè)不變量。要求：(a) 以普通展開式證明； (b) 用張量計(jì)算證明。223 已知下列應(yīng)力狀態(tài)：，試求八面體單元

8、的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。224* 一點(diǎn)的主應(yīng)力為：，試求八面體面上的全應(yīng)力，正應(yīng)力，剪應(yīng)力。225 試求各主剪應(yīng)力、作用面上的正應(yīng)力。226* 用應(yīng)力圓求下列(a)、(b) 圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力，并討論若(b)圖中有虛線所示的剪應(yīng)力時(shí)，能否應(yīng)用平面應(yīng)力圓求解。題226圖227* 試求：如(a) 圖所示，ABC微截面與x、y、z軸等傾斜，但試問該截面是否為八面體截面？如圖(b) 所示，八面體各截面上的指向是否垂直棱邊？題227圖228 設(shè)一物體的各點(diǎn)發(fā)生如下的位移：式中為常數(shù)，試證各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)。229 設(shè)已知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。(1) ，在（0，2）點(diǎn)處。(2) ，在（

9、1，3，4）點(diǎn)處。230 試證在平面問題中下式成立：231 已知應(yīng)變張量試求：（1）應(yīng)變不變量；（2）主應(yīng)變；（3）主應(yīng)變方向；（4）八面體剪應(yīng)變。232 試說明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能存在：（式中a、b、c為常數(shù)）(1) (2) (3) 233* 試證題233圖所示矩形單元在純剪應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，剪應(yīng)變與對(duì)角線應(yīng)變之間的關(guān)系為。（用彈塑性力學(xué)轉(zhuǎn)軸公式來證明）題233圖234 設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變分量為，試計(jì)算主應(yīng)變。235* 已知物體中一點(diǎn)的應(yīng)變分量為試確定主應(yīng)變及最大主應(yīng)變的方向。236* 某一應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)變分量和=0，試證明此條件能否表示、中之一為主應(yīng)變？237 已知下列應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時(shí)產(chǎn)生的：試求式

10、中各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系式。238* 試求對(duì)應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài)（）的位移分量。239* 若位移分量和所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變相同，試說明這兩組位移有何差別？240* 試導(dǎo)出平面問題的平面應(yīng)變狀態(tài)（）的應(yīng)變分量的不變量及主應(yīng)變的表達(dá)式。241* 已知如題241圖所示的棱柱形桿在自重作用下的應(yīng)變分量為：試求位移分量，式中為桿件單位體積重量，E、為材料的彈性常數(shù)。242 如題242圖所示的圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)得到的應(yīng)變分量為： 。試檢查該應(yīng)變是否滿足變形連續(xù)性條件，并求位移分量u、v、w。設(shè)在原點(diǎn)處dz在xoz和yoz平面內(nèi)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，dx在xoy平面內(nèi)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。 題241圖題242圖第三章 彈性變形·塑性變形&

11、#183;本構(gòu)方程31 試證明在彈性變形時(shí)，關(guān)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，下式成立。(1) (2) （設(shè)）32* 試以等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)與純剪切應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系，由應(yīng)變能公式證明G、E、之間的關(guān)系為：33* 證明：如泊松比，則，, ，并說明此時(shí)上述各彈性常數(shù)的物理意義。34* 如設(shè)材料屈服的原因是形狀改變比能（畸形能）達(dá)到某一極值時(shí)發(fā)生，試根據(jù)單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)確定屈服極限與的關(guān)系。35 試依據(jù)物體單向拉伸側(cè)向不會(huì)膨脹，三向受拉體積不會(huì)縮小的體積應(yīng)變規(guī)律來證明泊松比的上下限為：。36* 試由物體三向等值壓縮的應(yīng)力狀態(tài)來推證：的關(guān)系，并驗(yàn)證是否與符合。37 已知鋼材彈性常數(shù)= 210Gpa，=

12、0.3，橡皮的彈性常數(shù)=5MPa，= 0.47，試比較它們的體積彈性常數(shù)（設(shè)K1為鋼材，K2為橡皮的體積彈性模量）。38 有一處于二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的微分體（），其主應(yīng)變?yōu)?，。已?= 0.3，試求主應(yīng)變。39 如題49圖示尺寸為1×1×1cm的鋁方塊，無間隙地嵌入有槽的鋼塊中。設(shè)鋼塊不變形，試求：在壓力P = 6KN的作用下鋁塊內(nèi)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力及主應(yīng)變，鋁的彈性常數(shù)E=70Gpa，= 0.33。310* 直徑D = 40mm的鋁圓柱體，無間隙地放入厚度為= 2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P = 40KN。若鋁的彈性常數(shù)E1 = 70GPa， = 0.35，鋼的E

13、 = 210GPa，試求筒內(nèi)一點(diǎn)處的周向應(yīng)力。 題39圖 題310圖題311圖311 將橡皮方塊放入相同容積的鐵盒內(nèi)，上面蓋以鐵蓋并承受均勻壓力p，如題311圖示，設(shè)鐵盒與鐵蓋為剛體，橡皮與鐵之間不計(jì)摩擦，試求鐵盒內(nèi)側(cè)面所受到橡皮塊的壓力q，以及像皮塊的體積應(yīng)變。若將橡皮塊換塊剛體或不可壓縮體時(shí)，其體積應(yīng)變又各為多少？312 已知畸變能，求證。題316圖313* 已知截面為A，體積為V的等直桿，受到軸向力的拉伸，試求此桿的總應(yīng)變能U及體變能UV與畸變能Ud，并求其比值： 隨泊松比的變化。314 試由應(yīng)變能公式根據(jù)純剪應(yīng)力狀態(tài)，證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體積應(yīng)變，且剪切彈性模量。315* 各向

14、同性體承受單向拉伸（ ），試確定只產(chǎn)生剪應(yīng)變的截面位置。316 給定單向拉伸曲線如題316圖所示，、E、均為已知，當(dāng)知道B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)闀r(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。317 給定下列的主應(yīng)力，試由Prandtl-Reuss，Levy-Mises理論求：和。由理論求。(a) ， 。 (b) ， 。318* 已知一長(zhǎng)封閉圓筒，平均半徑為r，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p的作用，而產(chǎn)生塑性變形，材料是各向同性的，如忽略彈性應(yīng)變，試求周向、徑向和軸向應(yīng)變?cè)隽恐取?19 已知薄壁圓筒承受軸向拉應(yīng)力及扭矩的作用，若使用Mises條件，試求屈服時(shí)剪應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎担骸?20 薄壁圓筒，平均半徑為r

15、，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p作用，設(shè)，且材料是不可壓縮的，討論下列三種情形：（1）管的兩端是自由的；（2）管的兩端是固定的；（3）管的兩端是封閉的。分別對(duì)Mises和Tresca兩種屈服條件，討論p多大時(shí)管子開始屈服。已知材料單向拉伸試驗(yàn)值。321* 按題320所述，如已知純剪試驗(yàn)值，又如何？322 給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：（1）如已知，受內(nèi)壓作用的封閉薄壁圓筒。設(shè)內(nèi)壓為q，平均半徑為r，壁厚為t。材料為理想彈塑性。（2）如已知，受拉力p和彎矩M作用的桿。桿為矩形截面，面積b×h。材料為理想彈塑性。323 設(shè)材料為理想彈塑性，當(dāng)材料加載進(jìn)入塑性狀態(tài)，試給出筒單拉伸時(shí)的P

16、randtl-Reuss增量理論與全量理論的本構(gòu)方程以及塑性應(yīng)變?cè)隽恐g與應(yīng)變分量之間的比值。324 設(shè)已知薄壁圓管受拉伸與扭矩，其應(yīng)力為，其它應(yīng)力為零。若使保持為常數(shù)的情況下進(jìn)入塑性狀態(tài)，試分別用增量理論與全量理論求圓管中的應(yīng)力值。325 已知某材料在純剪時(shí)的曲線，問曲線是什么形式？326* 由符合Mises屈服條件的材料制成的圓桿，其體積是不可壓縮的，若首先將桿拉至屈服，保持應(yīng)變不變，再扭至，式中R為圓桿的半徑，K為材料的剪切屈服極限，試求此時(shí)圓桿中的應(yīng)力值。第四章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立及基本解法41 設(shè)某一體力為零的物體的位移分量為：，試求位移函數(shù)。42* 試證明應(yīng)力分量，是兩端受彎

17、矩M作用的單位厚度狹長(zhǎng)矩形板的彈性解，并設(shè)。見題42圖。 題42圖 題44和題45圖43 已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)變分量為： ，試證此應(yīng)變分量能滿足變形諧調(diào)條件。44 題44圖所示的受力結(jié)構(gòu)中，1、2兩桿的長(zhǎng)度l和橫截面積F相同，兩桿材料的本構(gòu)關(guān)系為：(a) ；(b) ；試求載荷P與節(jié)點(diǎn)C的位移之間的關(guān)系。45 按上題44的條件，材料為理想彈塑性，并設(shè)，試求該靜定結(jié)構(gòu)的彈性極限載荷與塑性極限載荷。第五章 平面問題的直角坐標(biāo)解答51 已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)變分量為： 。試由平衡微分方程求出該彈性體所承受的體力分量及。52 給出函數(shù)，試問：（1）檢查是否可以作為應(yīng)力函數(shù)；（2）如以為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng)力分

18、量的表達(dá)式；（3）指出在圖示矩形板邊界上對(duì)應(yīng)著怎樣的邊界面力。 題52圖 題53圖53* 試檢查能否做為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并畫出如題53圖所示板條上的面力，指出該應(yīng)力函數(shù)所能解的問題。54 試分析下列應(yīng)力函數(shù)對(duì)一端固定直桿可解什么樣的平面問題： 題54圖 題55圖55* 懸臂梁沿下邊界受均勻剪力S作用，而上邊界和x = l的端邊界不受載荷作用時(shí)，可用應(yīng)力函數(shù)：求出應(yīng)力解答。并說明，此解答在哪些方面必須用圣維南原理解釋。56* 已求得三角形壩體的應(yīng)力場(chǎng)為：， ，其中為壩體材料的容重，為水的容重。試根據(jù)邊界條件求常數(shù)a、b、c、d的值。57* 很長(zhǎng)的直角六面體在均勻壓力q的

19、作用下，放置在絕對(duì)剛性和光滑的基礎(chǔ)上，不計(jì)體力，試確定其應(yīng)力分量和位移分量。58 如題53圖所示的兩端簡(jiǎn)支梁，全梁只承受自重的作用，設(shè)材料的比重為，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成立，并求出各系數(shù)及應(yīng)力分量。 題56圖 題57圖59* 上端固定懸掛的棱柱桿，設(shè)其內(nèi)部應(yīng)力為： 。試求此桿所受的體力及側(cè)面和上、下端面所受的外載荷。A是桿的橫截面積。 題59圖 題510圖510 設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的比重為p，試用純?nèi)问剑?的應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。511* 設(shè)有矩形截面的柱體，在一邊側(cè)面上受均勻剪力p如題511圖所示，若柱的體力不計(jì)，試求應(yīng)力分量。512* 圖中的懸臂梁受均布載荷q = 10

20、0KN/m作用，試求其最大應(yīng)力：（1）用應(yīng)力函數(shù)（2）用材料力學(xué)求解，并比較以上結(jié)果。513* 設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：，試問函數(shù)應(yīng)滿足什么樣的條件？514* 如圖所示梁的上部邊界作用著載荷：，試求梁內(nèi)的應(yīng)力分量。 題511圖 題512圖 題514圖 題515圖題516圖515* 由于考慮材料的塑性性質(zhì)，試求受彎桿件承載能力增加的百分比，設(shè)桿件的截面為：(a) 正方形；(b) 圓形；(c) 內(nèi)外半徑比為的圓環(huán)；(d) 正方形沿對(duì)角線受彎；(e) 工字梁；其尺寸如圖所示。516 設(shè)截面為2b×2h，跨度為l的懸臂梁受均勻布載荷，梁為理想彈塑性材料，試用初等理論假設(shè)求彈性與塑性極限載荷，并計(jì)算彈塑

21、性分界線方程與梁的塑性段長(zhǎng)度。第六章 平面問題的極坐標(biāo)解答61 試判斷題61圖中所示的幾種不同受力情況是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？是否是軸對(duì)稱問題？62* 考察函數(shù)是否可作為極坐標(biāo)的應(yīng)力函數(shù)，其中c為常數(shù)。若可以作為應(yīng)力函數(shù)，則在及的環(huán)形邊界上對(duì)應(yīng)著怎樣的邊界條件？63 在極坐標(biāo)中取，式中A與C皆為常數(shù)。（1）檢查可否為應(yīng)力函數(shù)？（2）寫出應(yīng)力分量的表達(dá)式。（3）在和的邊界上對(duì)應(yīng)著怎樣的邊界條件？64* 試求題64圖中給出的圓弧曲梁內(nèi)的應(yīng)力分量，選取應(yīng)力函數(shù)。題61圖 題64圖 題65圖65 試確定應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)c值，使?jié)M足題65圖中的條件：在面上 ，在面上， ，并證明楔頂端沒有集中力與

22、力偶作用。66 試求內(nèi)外徑之比為1/2的厚壁圓筒在內(nèi)外壓力相等（即）時(shí)的極限荷載，并根據(jù)平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題分別討論之。67 試用Tresca條件求只有外壓力作用（）時(shí)的厚壁筒的應(yīng)力分布和塑性區(qū)應(yīng)力公式。68 楔形體在兩側(cè)面上受均布剪力q（題68圖所示）作用，試求應(yīng)力分量。取應(yīng)力函數(shù)：69* 薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時(shí)，壁內(nèi)剪應(yīng)力為，若管壁上有一圓孔，試證孔邊上的最大正應(yīng)力為。610* 如題610圖所示，在半平面體邊界的區(qū)間上受到勻布載荷p的作用，試求半平面體中的應(yīng)力、和。 題68圖 題69圖題610圖第七章 柱體的扭轉(zhuǎn)71* 試用半逆解法求圓截面柱體扭轉(zhuǎn)問題的解。72 試證柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)，任一橫截面上邊界

23、點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向與邊界切線方向重合。73 一等截面直桿，兩端受扭矩，取桿的中心軸線為z軸，變形滿足下式： ， 。證明桿的橫截面必為一圓形。74 試證明既可以用來求解實(shí)心圓截面柱體，也可求解圓管的扭轉(zhuǎn)問題，并求出用表示的A。75* 函數(shù)，試問它能否作為題75圖所示的高度為a的正三角形截面桿件的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)？若能，求其應(yīng)力分量。坐標(biāo)如圖所示。 題75圖 題76圖76 試比較邊長(zhǎng)為2a的正方形截面桿1與面積相等的圓截面桿2承受同樣大小扭矩作用時(shí)所產(chǎn)生的最大剪應(yīng)力與抗扭剛度。77 試求題77圖（a）、(b)所示截面形狀的柱體受扭矩作用下的扭轉(zhuǎn)剛度。78* 試求具有相等尺寸的無縫和有縫薄壁圓形管如題78

24、圖（a）、（b）所示在相同扭矩作用下的最大剪應(yīng)力之比與扭轉(zhuǎn)剛度之比。 題78圖 題79圖79* 試比較截面積相等的槽形薄壁桿件與正方形管狀薄壁桿件如題79圖（a）、（b）所示的最大剪應(yīng)力之比及抗扭剛度之比（）。710 求邊長(zhǎng)為2c的等邊三角形截面柱體的極限扭矩。711* 試求外半徑為b，內(nèi)半徑為a的圓筒的塑性極限扭矩。712 已知空心圓柱內(nèi)外半徑之比為。試求此圓柱受扭時(shí)，塑性極限扭矩M。比彈性極限扭矩M。提高了多少比值？試給出時(shí)所提高的值。第八章 彈性力學(xué)的一般解·空間軸對(duì)稱問題81 試用位移法基本（Lame）方程推導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的協(xié)調(diào)方程：82 已知等直桿純彎曲時(shí)的位移分量為證明

25、它們滿足位移法基本（Lame）方程和相應(yīng)的邊界條件。83* 當(dāng)體力為零時(shí)，應(yīng)力分量為：式中，試檢查它們是否是彈力問題的解？84 如題84圖假定地基巖層在自重作用下只能向下位移，不能側(cè)向移動(dòng)。試求地下巖體所受的鉛直壓力和側(cè)向壓力。 題84圖 題85圖85 設(shè)應(yīng)力分量為 ，試求怎樣的應(yīng)力分布可作彈性應(yīng)力解的條件。86 試證明在集中力P作用的彈性半空間體內(nèi)，應(yīng)力分布有下述特點(diǎn)：設(shè)有在原點(diǎn)與邊界面相切的球（如題86圖），則在球面相截的所有水平面上的點(diǎn)的總應(yīng)力p指向坐標(biāo)原點(diǎn)，且其大小等于。題89圖87* 當(dāng)布氏硬度計(jì)的鋼球壓入鋼質(zhì)零件的平表面時(shí)，設(shè)，鋼球直徑為10mm，如不計(jì)鋼球自重，試求所產(chǎn)生的最大接

26、觸壓力，相對(duì)位移和接觸圓的半徑a。88* 已知半徑為R2 = 50mm的凹球面與半徑為R1 = 10mm的球面接觸，受到壓力p = 10N的作用，材料均為鋼制，試求接觸面的半徑a，球中心的相對(duì)位移，最大壓應(yīng)力，最大拉應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。89 已知如圖89所示的半無限彈性體的邊界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，試用位移法法求位移及應(yīng)力公式。第九章* 加載曲面·材料穩(wěn)定性假設(shè)·塑性勢(shì)能理論91 試證在比例加載下Lode應(yīng)力參數(shù)及應(yīng)力狀態(tài)特征角保持不變。92* 設(shè)，證明。93* 試證Lode應(yīng)力參數(shù)。94 在平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)有哪些形式？并作應(yīng)力圓說明。95*

27、薄壁管在拉伸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)為 ，如知簡(jiǎn)單拉伸的屈服極限，推導(dǎo)Tresca和Mises條件在平面內(nèi)的屈服曲線。96* 試證明Tresca條件可以寫成下列形式：，式中或。97* 將Mises屈服條件用：（1）第一、第二應(yīng)力不變量（、）表示；（2）主應(yīng)力偏量表示。98 物體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)題99圖該物體在單向拉伸時(shí)屈服極限為= 190MPa，試用Tresca和Mises屈服條件來判斷該點(diǎn)是處于彈性狀態(tài)還是處于塑性狀態(tài)。如主應(yīng)力方向均作相反的改變（即同值異號(hào)）則對(duì)被研究點(diǎn)所處狀態(tài)的判斷有無變化？99 求如題99圖Tresca條件所示D點(diǎn)處的流動(dòng)法則（即）。910 已知主應(yīng)力，并當(dāng)兩種特殊情況：(

28、a) ；(b) 。試列出Tresca和Mises條件，并比較之。第十章 彈性力學(xué)變分法及近似解法101 試證：102 試給出平面應(yīng)力狀態(tài)極坐標(biāo)系的單位體積應(yīng)變能表達(dá)式。103 設(shè)有圖示懸臂梁右端受P作用，如取撓曲線為： 試求a、b的值。 題103圖 題104圖104 試給出題104圖的余能表達(dá)式（不計(jì)均布力q引起的偏心彎矩）。105 題105圖所示中點(diǎn)受集中力P作用的簡(jiǎn)支梁，設(shè)位移函數(shù)，試求梁的撓曲線方程，最大撓度，及其與材料力學(xué)解的比較。 題105圖 題106圖106 試用卡氏第二定理求題106圖示三桿桁架中A點(diǎn)的位移。已知桿的拉壓剛度為EA。107* 試用虛功原理求題107圖所示梁的撓度曲

29、線。設(shè)題107圖108* 已知一簡(jiǎn)支梁，跨度為l，承受均布載荷q的作用，抗彎剛度EJ為常數(shù)，設(shè)試用虛位移原理系數(shù)、及梁的最大撓度。109* 已知如題109圖所示兩端固支梁，跨度為l，抗彎剛度EJ為常數(shù)，中點(diǎn)受集中力P作用，試用最小勢(shì)能原理求，設(shè)位移函數(shù)。 題109圖 題1010圖1010 已知如題1010圖所示的一端固定，一端自由的壓桿，截面抗彎剛度EJ為常數(shù)，試用Ritz法確定端頂受臨界壓力的近似值。設(shè)位移函數(shù)為。1011* 上題1010如設(shè)位移函數(shù)，求臨界壓力。1012* 已知如題1012圖示一端固定，一端自由的壓桿，長(zhǎng)度為l，截面抗彎剛度EJ為常數(shù)。試用Ritz法求在自重q (N/mm)

30、作用下的臨界載荷。設(shè)位移函數(shù)。1013 試用最小余能原理求題1013圖所示超靜定梁AB的支座反力，已知梁的抗彎剛度EJ，其載荷為兩個(gè)集中力P，跨度為2l，中點(diǎn)有支點(diǎn)C。1014* 如題1014圖示，載荷為均布荷載q，跨度為l。求中間支點(diǎn)C的支座彎矩。 題1012圖 題1013圖 題1014圖1015 已知如題1015圖所示的桁架ABC，AB和BC桿的截面面積均為A。在B點(diǎn)作用力P，材料具有非線性彈性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，式中k為常數(shù)（拉壓時(shí)均適用）。試用卡氏第二定理求結(jié)點(diǎn)B的水平位移及垂直位移。 題1015圖 題1016圖1016* 矩形薄板不計(jì)體力，三邊固定，一邊受有均布?jí)毫，如題1016所示。

31、設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：試用應(yīng)力變分法求解應(yīng)力分量（計(jì)算應(yīng)變能時(shí)，取泊松比 = 0）。第十一章 塑性力學(xué)極限分析定理及塑性分析111 兩端固定等截面梁受均布載荷作用（題111圖），塑性彎矩為M，試確定極限荷載。 題111圖 題112圖112 試用靜力法和機(jī)動(dòng)法求出一端固定，一端簡(jiǎn)支如題112圖所示離固定端處受集中力的極限載荷。113* 試用靜力法和機(jī)動(dòng)法求出一端固定，一端簡(jiǎn)支如題113圖所示簡(jiǎn)支端半梁受均布載荷的極限載荷。 題113圖 題114圖114* 試用機(jī)動(dòng)法求題114圖示連續(xù)梁的極限載荷，設(shè) ,梁為等截面，極限彎矩為M。第十二章 理想剛塑平面應(yīng)變問題121 設(shè)有均勻受拉應(yīng)力狀態(tài)的自由邊界，如題1

32、21圖所示，試畫出其滑移線場(chǎng)的形式。 題121圖 題122圖 122 試求圖示直角邊坡的滑移線場(chǎng)及極限荷載。123 如圖所示滑移線，試證明在D點(diǎn)的曲率半徑為常數(shù)。124 試求題125圖示斜坡的滑移場(chǎng)及極限荷載。 題123圖 題124圖125 求圖中有無限窄切口的長(zhǎng)條板的極限荷載P0（滑移線場(chǎng)如圖所示）。 題125圖 題126圖126 通過一方形硬模進(jìn)行無磨擦擠出工藝過程，截面尺寸收縮率50%，中心扇形區(qū)由直的徑向射線和圓周線組成，如圖所示。用進(jìn)入的速度V及極坐標(biāo)、來表達(dá)沿這兩族滑移線的速度分量。題127圖127 繪出下列題126圖中所示圓弧形邊界附近的滑移場(chǎng)。128 有平頭沖模，壓入空腔內(nèi)擠出

33、材料，接觸面為光滑面，求滑移場(chǎng)、極限荷載及速度場(chǎng)。已知沖頭以P的壓力及V的速度向下運(yùn)動(dòng)。129 有截錐楔體，頂面寬度為2a，頂角為2，受均勻分布?jí)毫作用，接觸面為光滑面。求：1）滑移場(chǎng)，標(biāo)出、線及中心角度數(shù)；2）求極限荷載；3）作速度圖，設(shè)AB面以V的速度向下運(yùn)動(dòng)。 題128圖 題129圖附錄一 張量概念及其運(yùn)算·下標(biāo)記號(hào)法·求和約定附1 由張量求和約定展開下列各式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 附2 證明下式成立(1) (2) (3) (4) 附3* 試展開方向余弦關(guān)系式，并說明其幾何意義：(1) (2) 習(xí)題參考答案及解題提示第二章

34、應(yīng)力理論·應(yīng)變理論21 =127MPa, = 110MPa, = 95.5MPa, 55.1MPa（彈塑性力學(xué)中該剪應(yīng)力為負(fù)值）22 72.4MPa，27.6MPa，與的交角。彈性力學(xué)與材料力學(xué)主方向計(jì)算的結(jié)果一致。23 MPa，3.6MPa（彈塑性力學(xué)中該剪應(yīng)力為正值）24* (a)、(b)、(c) 。最大剪切面為：25* 26 27* 參見一般材料力學(xué)教材。28 滿足，不滿足的平衡微分方程。29 ， （應(yīng)力單位：Mpa）210 211 （a）（b）（c）（d）（e）（f）邊界；邊界：，。212 提示：分別列出尖角兩側(cè)AC與BC自由面的應(yīng)力邊界條件。214* 。215 。216*

35、當(dāng)上、下表面時(shí)，可求得，式中。217 17.08MPa，與x軸間的夾角，或，MPa。218* ， 。219 ， ；的主方向 。222* (b) 提示：應(yīng)用及來計(jì)算。223 5.333MPa，8.654MPa。224* 。225 。226* （a） (MPa)； （b） (MPa)； （b）圖有時(shí)，不能用平面應(yīng)力圓計(jì)算。227* （a）按定義不為八面體面。(b) 指向不一定垂直棱邊，其方向由主應(yīng)力的大小來決定。229 ； 。231 （1）； （2）； （3） ； （4）。232 （1）為可能應(yīng)變狀態(tài)。（2）、（3）為不可能應(yīng)變狀態(tài)。234 。235* ，的方向余弦（0.862, 0.503, 0

36、.058）。236* 是主應(yīng)變。237 238* 提示：如求，要根據(jù)幾何方程對(duì)du積分，因?yàn)?，所以要先?jì)算u的偏導(dǎo)數(shù)：。即，其中如計(jì)算又要先求它的偏導(dǎo)數(shù)，即，依次進(jìn)行才可得u。同樣方法再求v、w。答案為：式中、為物體沿x、y、z軸方向的剛性平移，、為物體繞x、y、z軸的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。它們都是積分常數(shù)，由位移約束條件來確定。239* 兩組位移之間僅相差一個(gè)剛性位移。240* 。；。241* 提示：由幾何方程積分(a)引用式（a），由，得 (b)式（b）表明與z無關(guān)（由于對(duì)z軸的對(duì)稱性，u、v與z關(guān)系相同，如有z項(xiàng)，上式不為零）且僅是為x，為y的一次函數(shù)。故，又(c)由（c） 得：，于是得位移表達(dá)式為

37、：(d)式（d）線性部分為剛性位移。設(shè)上端位移邊界條件處， u = v = w = 0， 微線段dx不發(fā)生繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：，微線段dz不發(fā)生繞y和x軸轉(zhuǎn)動(dòng)：和，于是有代入式（d）可得位移：。 242* 。第三章 彈性變形·塑性變形·本構(gòu)方程34* 37 ，鋼的體積彈性模量數(shù)值大。38 39* 19.8MPa，60MPa，310* 提示：先利用鋼套與鋁柱側(cè)向應(yīng)變相等計(jì)算出相互側(cè)向壓力：q = 2.8MPa，再由薄壁筒公式求出鋼套周向應(yīng)力：= 28MPa。311 ， ，換成剛體時(shí)，。換成不可壓縮體時(shí)。313* 。315* 提示：注意本題應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，而由于橫向變形的產(chǎn)生

38、，所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)為三向應(yīng)變狀態(tài)，可用應(yīng)力與應(yīng)變圓對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算。所求截面與橫坐標(biāo)軸方向余弦為： 316 317 （a）10-1 （b）10-1；318 319 320 提示：對(duì)于（2）情形，兩端固定，因徑向內(nèi)壓力會(huì)促使薄壁圓筒漲開并縮短，故軸向?yàn)槔瓚?yīng)力。答案：Mises：（1） （2）和（3）均為：Tresca：（1）、（2）和（3）均為：321* Mises （1）；Mises （2）（3）與Tresca（1）（2）（3）均為：322 （1）Tresca、Mises：（2）Tresca、Mises： 323 增量： 全量：式中為單拉時(shí)的總應(yīng)變，。324 ，。325 提示：根據(jù)純剪計(jì)算，代換的

39、函數(shù)形式。答案：。326* 。第四章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立及基本解法41 ， （無剛性平移時(shí)）。42 (a) ； (b) 。45 第五章 平面問題的直角坐標(biāo)解答51 提示：本題為平面應(yīng)力問題，因?yàn)?，不能由三維Lame公式解，可由平面應(yīng)力問題廣義Hooke定律，計(jì)算應(yīng)力分量再求解。答案： ； 52 （1）滿足，能作為應(yīng)力函數(shù)；（2）應(yīng)力分量為。53* 為偏心距的拉伸解。54 懸臂梁在自由端受拉力2cq及集中力F彎曲的解。55* 。56 。57* 提示：取應(yīng)力函數(shù)： 58 ； 。59* ，為上端懸掛，下端受拉力p的解。510 。511* 提示：假設(shè)縱向纖維互不擠壓，由代入選取應(yīng)力函數(shù) 。512

40、* 提示：計(jì)算應(yīng)力分量后檢驗(yàn)邊界條件，要求。彈性力學(xué)解：KN/m2，-100KN/m2，KN/m2，材料力學(xué)解： KN/m2，150 KN/m2。513* 提示：將代入，得 514* 515* ； （a）；(b) ； （c）；（d）k = 1 = 100% ； （e）k = 24% 。516 ，彈塑性段交界線為一橢圓方程： ，塑性段長(zhǎng)度：。第六章 平面問題的極坐標(biāo)解答61 （a）平面應(yīng)力軸對(duì)稱問題，（b）非平面非軸對(duì)稱問題，（c）平面應(yīng)變非軸對(duì)稱問題，（d）（擬）平面應(yīng)變非軸對(duì)稱問題。62* （1） 滿足能作為應(yīng)力函數(shù)；（2）應(yīng)力分量為：； （3）邊界面力為： 繪于題62圖中。63 （1）滿足

41、，可以作為應(yīng)力函數(shù)；（2）應(yīng)力分量為：；（3）邊界面力為：；所給函數(shù)實(shí)際上是厚壁筒在內(nèi)、外壓作用下的解。答案：； ；式中。65 提示：關(guān)于楔頂沒有集中力與力偶的證明，可設(shè)其有集中力與力偶作用，再按截面法取楔頂半徑為r的弧形段，建立該段的外力（矩）與內(nèi)力（矩）的平衡方程，證明它們?yōu)榱?。答案?6 平面應(yīng)力問題：，由于圓筒內(nèi)外壓力相等，各點(diǎn)為均勻受壓狀態(tài)，由彈性狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄誀顟B(tài)，不出現(xiàn)彈塑性狀態(tài)。平面應(yīng)變問題：由于，為三向等值擠壓狀態(tài)，不出現(xiàn)塑性極限狀態(tài)。67 提示：注意厚壁圓筒受外壓作用時(shí)，在內(nèi)孔壁處，材料首先發(fā)生屈服。答案：68 提示：注意問題的對(duì)稱性。答案：； 。610*第七章 柱體的扭轉(zhuǎn)

42、71* 提示：參考材料力學(xué)的解答，設(shè)柱體的軸線為z軸，則假定，位移分量：。72 提示：可以利用柱體側(cè)面的自由邊界條件進(jìn)行。75* 提示：截面的邊界方程為：當(dāng)時(shí)可作為扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力分量為： 。76 。77 （a） (b) 4.704Ga4。78* 。79* 。710 711* 提示：若柱體截面有對(duì)稱形的孔，沙堆比擬法可推廣使用。根據(jù)復(fù)連通域截面要求，外邊界取為零，內(nèi)邊界取為一個(gè)不為零的常數(shù)，故此題可考慮與沙堆相應(yīng)的按圓臺(tái)（截頭圓錐）進(jìn)行計(jì)算。712 ，塑性極限扭矩比彈性極限扭矩提高比值為k。當(dāng) 當(dāng)時(shí)：。第八章 彈性力學(xué)的一般解·空間軸對(duì)稱問題8 1 提示：將Lame方程式第一、二式分別對(duì)x、y求導(dǎo)并相加，且由3Ke =, 即可得證。83* 應(yīng)力分量滿足平衡方程，但不滿足協(xié)調(diào)方程，因而所給應(yīng)力狀態(tài)是不可能的。 84 由題意u = u (x), , 可由Lame方程計(jì)算，且邊界條件有 ；， 。