2017屆九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)21一元二次方程學(xué)案1新華東師大版

1、22.1一元二次方程課前知識(shí)管理3一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程.理解一元二次方程的概念時(shí)應(yīng)注意：形如ax2+bx+c=0的方程不一定是一元二次方程.當(dāng)a#0時(shí)，是一元二次方程；當(dāng)a=0,且b#0時(shí)，是一元一次方程.注意一元二次方程應(yīng)滿足的條件：（1）是整式方程，即方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（即一種未知數(shù)）；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2（即未知數(shù)的指數(shù)最高是4.2 .要判定一個(gè)整式.方程是不是一元二次方程，一般需要將這個(gè)整式方程變形成為ax2+bx長(zhǎng)=0的形式.變形時(shí)，允許去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng).在

2、變形之后的形式ax2+bx+c=0中，若a#0,則原來(lái)的方程便是一元二次方程；否則就不是一元二次方程.如：x（2x3）=1=2x23x1=0,所以它是一元二次方程；而2x2+3x=2x21=3x+1=0,它不是一元二次方程.3一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c是已知數(shù)，a#0）.它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c 叫做常數(shù)項(xiàng).任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理都可以化為一般形式，在理解一元二次方程的一般形式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：在求一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，首先必須把一元二次方

3、程化成一般形式；二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的4一元二次方程的根：能夠使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)典例精析1.一元二次方程的識(shí)別【例【例 1】下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）211-A.3（x+1）=2（x+1）B.22=0 xxC.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x21【解題思路】因 B 中的分母含有未知數(shù)，所以它不是一元二次方程.C 中字母a沒(méi)有強(qiáng)調(diào)不為0,若a=0,則 C 中未知數(shù)的最高次數(shù)低于 2,因此，不能肯定 C 中的方程是否是一元二次方程.D中方程化簡(jiǎn)后是一元

4、一次方程.只有 A 中的方程符合一元二次方程的三個(gè)條件.【解】選【解】選 A.【方法歸納】（1）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，應(yīng)以化簡(jiǎn)后的結(jié)果為準(zhǔn).如化簡(jiǎn)前含有未知數(shù)是 2 次的項(xiàng)，但是化簡(jiǎn)后未知數(shù)最高次數(shù)是 1,那它就不是一元二次方程；（2）當(dāng)方程中含有字母系數(shù)（又叫參數(shù)）時(shí)，應(yīng)區(qū)分未知數(shù)和字母.如“關(guān)于x的方程”，則表明x是未知數(shù)，而方程中其它字母均是常數(shù)；（3）“X元X次方程”中的“元”指未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)8 .確定方程中未知字母的值【例【例 2】方程（mix1m+3mx1=0 是關(guān)于x的一元二次方程，則（）【解】選【解】選 B.【方法歸納】二次項(xiàng)系數(shù)不為 0 是一元二次

5、方程的前提條件，未知數(shù)指數(shù)含字母常常出現(xiàn)討論不全面而造成漏解或增解.9 .確定一元二次方程例 3設(shè)a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)，且滿足石二1十（b2）2+|a+b+c=0,求滿足條件的一元二次方程為la-1-022【解題思路】由Ja-1+(b2)+|a+b+c=0,得b-2=0,解得abc=0a=1,b=2c=.-3a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)，所求的方程為x2+2x-3=0.【解】【解】x22x-3=0. .【方法歸納】此題關(guān)鍵是理解算術(shù)平方根、完全平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性，即aT0,（b-22之0,a+b+c之0.求解時(shí)主要應(yīng)用性質(zhì)：有且只有使各項(xiàng)為 0

6、時(shí)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和才為 0.無(wú)論題中的非負(fù)數(shù)是哪種形式，都可以應(yīng)用此結(jié)論列方程組求出多個(gè)未知數(shù)的值.4、一元二次方程的根32.【例【例 4】已知 2 是關(guān)于x的萬(wàn)程3x2a=0的一個(gè)根，則a的值為（）2A、2B、一 C、3D、一一12【解題思路】利用方程根的定義，可以先將關(guān)于x的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，從而求出a2232的值.因?yàn)?2 是關(guān)于x的萬(wàn)程x2a=0的一個(gè)根，所以一M22a=0,解得a=3.22【解】選【解】選 A.【方法歸納】由本題分析，我們可得以下發(fā)現(xiàn)：涉及基本概念的問(wèn)題應(yīng)充分利用基本概念；代解、求解是解決與方程有關(guān)的問(wèn)題的兩個(gè)基本方法易錯(cuò)警示k2_2【例【例 5】如果關(guān)于x的萬(wàn)

7、程（k-2）x+kx+1=0是一元二次方程，則k的值是A、2B、2C、2 或2D、0A.n=2B.m=2C.【解題思路】由于一元二次方程中未知數(shù)的最高時(shí)，原方程變?yōu)?x+1=0,它是一元一次方程4x2+6x+1=0,它是一元二次方程.m=-2D.2次數(shù)是 2,所以|m=2,即 m=2.但當(dāng) m=-2,不合題意，舍去.當(dāng)m=2 時(shí)，原方程變?yōu)椤惧e(cuò)解】由k22=2,得k=2,故選C.2.【鎬因分析】一兀一次萬(wàn)程ax+bx+c=0中隱含著一個(gè)相等關(guān)系和一個(gè)不等關(guān)系，相等關(guān)系是未知數(shù)x的最高指數(shù)等于 2；不等關(guān)系是二次項(xiàng)系數(shù)a#0,錯(cuò)解正是忽視了這個(gè)不等關(guān)系造成的.【正解】由k22=2,得k=2,由k

8、200,得k/2,故只能是k=2,選B.課堂練習(xí)評(píng)測(cè)知識(shí)點(diǎn) 1：列一元二次方程1(2010 貴州畢節(jié))某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2008 年投入 3000萬(wàn)元，預(yù)計(jì) 2010 年投入 5000 萬(wàn)元.設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為 X,根據(jù)題意，下面所列方程正確的是()A.3000(1+x)2=5000B.3000 x2=50003000(1x%)2=500023000(1x)3000(1x)2=5000知識(shí)點(diǎn) 2:一元二次方程的識(shí)別2.下列方程一定是關(guān)于 x 的一元二次方程的是()(A)1x2+1-2=0(B)ax2+bx+c=0(C)(n2+1)x2+n=0(D)m2+3x=

9、n11.有下列萬(wàn)程：2x23=0;=1;yy2+1=0；ay2+2y+c=0(其x2-12，3中a為常數(shù))；(x+1)(x3)=x2+5;x-x2=0.其中是整式方程的有,是一元二次方程的有.(只需填寫(xiě)序號(hào))知識(shí)點(diǎn) 3：確定一元二次方程.(2010 年福建德化)已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是 1,寫(xiě)出一個(gè)符合條件的方程：.a21.右萬(wàn)程(a1)x+5x=4 是一元二次萬(wàn)程，則a=.關(guān)于x的方程(m216)x2+(m+4)x+2m+3=0.當(dāng) m 時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)m時(shí)，是一元二次方程.知識(shí)點(diǎn) 4:一元二次方程的根.下列各組取值是方程(x1Xx8)=-12的根的是()A、x=24x=3B

10、、x=3 或x=4C、x=4x=5D、x=5 或x=6課后作業(yè)練習(xí)基本能力1.方程(x-1jx+3)=12化為ax2+bx+c=0形式后，a,b,c的值為()(A)1,-2,15(B)1,-2,15(C)1,2,15(D)-1,2,-15.把方程(13x)(x+3)=2x2+1 化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出二次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).(2010 大興安嶺)代數(shù)式 3x24x5 的值為 7,則x24x5 的值為.32.萬(wàn)程6x=5x+2中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為2_.在一 3,2,1,0,1,2,3 這七個(gè)數(shù)中，是萬(wàn)程x3x+2=0的根的是拓展能力.(201

11、0 年浙江臺(tái)州)某種商品原價(jià)是 120 元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是 100 元，求平均每次降價(jià)的百分率.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,可列方程為.1227.在解萬(wàn)程+2x=x-3時(shí)，如果設(shè)y=x-2x,那么原方程可化為關(guān)于y的一x-2x元二次方程的一般形式是.在下列方程：3x2+J2(1+x)+1=0;3x2+1+1=0;4x2=ax(其中a為常數(shù))；x2x2+3x;3x+1=2x;J(x2+x)2=2x；|x2+2xI=4.其中是一元二次方程的5有.(只需填寫(xiě)序號(hào)).方程 5(x2-%/2x+1)=3&x+2 的一般形式是,其二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是.關(guān)于x的方程(a1)x2

12、2ax+a=0,當(dāng)a為何值時(shí)該方程是一元一次方程？當(dāng)a為何值時(shí)該方程是一元二次方程？拓展探究.請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)有一根為 1 的一元二次方程：.方程(m+2km+3mx+1=0是關(guān)于 x 的一元二次方程，則m的值為.若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1.（2010 年佛山市）教材或資料出現(xiàn)這樣的題目：把方程 1x2_x=2 化為一元二次方2程的一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).現(xiàn)在把上面的題目改編成下面的兩個(gè)小題，請(qǐng)回答問(wèn)題：（1）下面式子中有哪些是方程 1x2X=2化為一元二次方程的一般

13、形式？（只填寫(xiě)序號(hào)）21x2-x-2=0，Lx2+x+2=0，x22x=4,_x2+2x+4=0,22、.3x22、3x-4.3=0（2）方程Lx2-x=2 化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和 2常數(shù)項(xiàng)之間具有上面關(guān)系？課堂作業(yè)練習(xí)答案.答案：A.答案：C.答案：、.、；、.答案：先寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于 1 的平方的等式，然后再用未知數(shù)x代替 1 即可等到符合題意的一元二次方程.答案不惟一，如x2=1等.答案：1.答案：4,w4.答案：C課后作業(yè)答案：7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205

14、f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：C7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解析：原方程化為一般形式是：5x2+8x2=0（若寫(xiě)成一 5x28x+2=0,則不符合人們的習(xí)慣）,2其中二次項(xiàng)是 5x,二次項(xiàng)系數(shù)是 5,一次項(xiàng)是 8x,一次項(xiàng)系數(shù)是 8,常數(shù)項(xiàng)是2（因?yàn)橐回６畏匠痰囊话阈问绞侨齻€(gè)單項(xiàng)式的和，所以不能漏寫(xiě)單項(xiàng)式系數(shù)的負(fù)號(hào)）.7-Numbered_88b9fac2-6e3

15、2-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：17-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：17-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：1,2

16、7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：120（1-x）2=1007-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：y23y1=07-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de

17、4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：、.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案:5x22/x+3=0,5,2亞,3.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，當(dāng)a#1時(shí)，該方程是一元二次方程，而當(dāng)a=1且a#0時(shí)，該方程是一元一次方程.227-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解：答案不唯一，如x1=0,x+x2=0等.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d