加法原理例題講解(一)

1、第 2020 講加法原理（一）例 1 1 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有 4 班，汽車有 3 班，輪船有 2 班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？分析與解：一天中乘坐火車有 4 種走法，乘坐汽車有 3 種走法，乘坐輪船有 2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4+3+2=9（種）不同走法。例 2 2 旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？分析與解：根據(jù)掛信號旗的面數(shù)可以將信號分為兩類。第一類是只掛一面信號旗，有紅、黃、藍(lán) 3 種；第二類是掛兩面信號旗，

2、有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃 6 種。所以一共可以表示出不同的信號3+6=9（種）。以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任務(wù)有 n n 類方法，在第一類方法中有 m mi種不同方法，在第二類方法中有 m m2種不同方法在第 n n 類方法中有 m mn種不同方法， 那么完成這件任務(wù)共有N=mN=mi+m+m2+ +m+mn種不同的方法。乘法原理和加法原理是兩個(gè)重要而常用的計(jì)數(shù)法則，在應(yīng)用時(shí)一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能

3、完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。例 3 3 兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？分析與解：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€(gè)奇數(shù)， 所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有 3X3=9 （種） 情況； 同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有 9 種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有 9+9=18（種）。例 4 4 用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？分析與解：本題與上一講的例 4 表面上十分相似，但解法上卻不相同。因?yàn)樯弦恢v例 4 中，區(qū)域 A 與其

4、它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域 A 與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒有一個(gè)區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域 A 開始討論，那么就要分區(qū)域 A 與區(qū)域 E 的顏色相同與不同兩種情況。當(dāng)區(qū)域 A 與區(qū)域 E 顏色相同時(shí)，A 有 5 種顏色可選；B 有 4 種顏色可選；C 有 3 種顏色可選；D 也有 3 種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有5X4X3X3=180（種）。當(dāng)區(qū)域 A 與區(qū)域 E 顏色不同時(shí)，A 有 5 種顏色可選；E 有 4 種顏色可選；B 有 3 種顏色可選；C 有 2 種顏色可選；D 有 2 種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有5X4X3X2X2=240（種）。

5、再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有180+240=420（種）。例 5 5 用 1,2,3,4 這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是 1的五位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：將至少有連續(xù)三位數(shù)是 1 的五位數(shù)分成三類：連續(xù)五位是 1、恰有連續(xù)四位是 1、恰有連續(xù)三位是 1。連續(xù)五位是 1,只有 11111 一種；恰有連續(xù)四位是1,有食與五田兩種情況，其中&可以是2,3,4中任一個(gè)，所以有 3+3=6（種）；恰有連續(xù)三位是1,有1UAB,BA11LA111C三種情況,其中4C可以是2,3,4之一，E可以是1,2,3,4之一.所以時(shí)于111KB有3X4（種），對于BA11侑4X3（種

6、）.對于A111C有3X3（種），合起來有3X4+4X3+3X3=33（種）。由加法原理，這樣的五位數(shù)共有1+6+33=40（種）。在例 5 中，我們先將這種五位數(shù)分為三類，以后在某些類中又分了若干種情況，其中使用的都是加法原理。例 6 6 右圖中每個(gè)小方格的邊長都是 1。一只小蟲從直線 AB 上的 O 點(diǎn)出發(fā)，沿著橫線與豎線爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到 AB 上（不一定回到 O 點(diǎn)）。如果小蟲爬行的總長是 3,那么小蟲有多少條不同的爬行路線？分析與解：如果小蟲爬行的總長是 2,那么小蟲從 AB 上出發(fā)，回到 AB 上，其不同路線有 6 條（見左下圖）；小蟲從與 AB 相鄰的直線上出發(fā)，回到 AB 上，其不同路線有 4 條（見右下圖）。實(shí)際上，小蟲爬行的總長是 3。小蟲爬行的第一步有四種情況：向左，此時(shí)小蟲還在 AB 上，由上面的分析，后兩步有 6