韋達定理及方程解的應(yīng)用

1、韋達定理及方程解的應(yīng)用一、選擇題1若x=2是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則a的值為（ ）A1或4 B1或4 C1或4 D1或42如果a、b是方程x2-3x+1=0的兩根，那么代數(shù)式a2+2b2-3b的值為（ ）A.6 B.6 C.7 D.73方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk14已知關(guān)于x的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）Am Bm Cm且m2 Dm且m2二、填空題5已知a26a5=0和b26b5=0中，ab，則的值是 6已知一元二次方程的兩根為、，則= 7一元二次方程x2+mx+2m=0（m0）

2、的兩個實根分別為x1，x2，則= 8若實數(shù)x滿足，則= 9已知a，b為一元二次方程x2+2x9=0的兩個根，那么a2+ab的值為 10已知m是關(guān)于x的方程的一個根，則= 11已知直角三角形兩邊x、y的長滿足|x24|+=0，則第三邊長為 12設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x2018=0的兩個實數(shù)根，則m2+3m+n= 13已知一元二次方程的兩根為，那么的值是_；14已知(x2y2)(x2y21)12，則x2y2的值是_15已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則的值是 。16關(guān)于x的方程(m-3) -3x-4=0是一元二次方程，則m= 。17已知m是方程x2x3=0的一個實

3、數(shù)根，則代數(shù)式（m2m）（m+1）的值為 18當方程（m+1）x2=0是一元二次方程時，m的值為 19已知一元二次方程：x2-3x-1=0的兩個根分別是x1、x2，則x12x2+x1x22= 20設(shè),是一元二次方程x2+2x-4=0的兩實根，則3+4+12-5= 21已知a、b實數(shù)且滿足（a2+b2）2（a2+b2）6=0，則a2+b2的值為 22已知m為實數(shù)，若（m2+4m）2+5（m2+4m）24=0，則m2+4m的值為 23 若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則 的值是 .24設(shè)、是方程的兩實數(shù)根，則_ _25已知x（x3）=5，則代數(shù)式2x26x5的值為 31已知m是方程的一個根,求的值

4、四、解答題26先化簡，再求值：，其中a是方程的解.27先化簡再求值：（），其中a是方程x2+4x=0的根28學(xué)校為獎勵“漢字聽寫大賽”的優(yōu)秀學(xué)生，派王老師到商店購買某種獎品，他看到如圖所示的關(guān)于該獎品的銷售信息，便用1400元買回了獎品，求王老師購買該獎品的件數(shù)購買件數(shù)銷售價格不超過30件單價40元超過30件每多買1件，購買的所有襯衫單價降低0.5元，但單價不得低于30元29如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門（1）設(shè)花圃的一邊AB長為x米，請你用含x的代數(shù)式

5、表示另一邊AD的長為 米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的長與寬30西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克另外，每天的房租等固定成本共24元該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？32某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量（t）與費用（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（1）；該產(chǎn)品的年銷售量（t）與每噸銷售價（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）（1）設(shè)產(chǎn)品的費用為y（萬元），試寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（2）若

6、生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當年銷售完，則年產(chǎn)量為多少噸時，當年可獲得7500萬元毛利潤？（毛利潤銷售額費用）參考答案1C【解析】試題分析：根據(jù)題意，將x=2代入方程，得： ，即，左邊因式分解得：（a1）（a+4）=0，a1=0，或a+4=0，解得：a=1或4，故選C考點：一元二次方程的解2A【解析】試題分析：此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.根據(jù)a與b為方程的解，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b與ab的值，且將x=b代入方程得到b2-3b的值，原式變形后將各自的值代入計算即可求出值a、b是方程x2-3x+1=0的兩根，a+b=3，ab=1，且b2-3b=-1，則原式

7、=a2+b2+b2-3b=（a+b）2-2ab+b2-3b=9-2-1=6故選A考點：一元二次方程的解3D.【解析】試題解析：當k=1時，原方程不成立，故k1，方程為一元二次方程，又此方程有兩個實數(shù)根，b2-4ac=（-）2-4×（k-1）×=1-k-（k-1）=2-2k0，解得：k1，1-k0，綜上k的取值范圍是k1故選D考點：根的判別式4C【解析】試題解析：根據(jù)題意列出方程組，解之得m且m2故選C考點：根的判別式.5【解析】解：由已知可得：a、b為方程x26x5=0的兩個根，a+b=6，ab=5=，故答案為：613【解析】試題分析：根據(jù)題意得，所以=故答案為：13考點：

8、根與系數(shù)的關(guān)系7【解析】試題分析：一元二次方程x2+mx+2m=0（m0）的兩個實根分別為x1，x2，x1+x2=m，x1x2=2m，=故答案為：考點：根與系數(shù)的關(guān)系810【解析】試題分析：，即，=10，故答案為：10考點：代數(shù)式求值；條件求值911【解析】試題分析：根據(jù)題意，解方程x2+2x9=0，解得a和b的值，然后代入求值即可解：解方程：x2+2x9=0得：ab=9，a+b=2，b=2a，把代入得：a2+2a9=0a1=，a2=，b1=，b2=，當a1=，b1=時，a2+ab=（）2+（）（）=11當a2=，b2=，a2+ab=（）2+（）（）=11故答案為11106【解析】試題分析：m

9、是關(guān)于x的方程的一個根，=6，故答案為：6考點：一元二次方程的解；條件求值11見解析【解析】試題分析：任何數(shù)的絕對值，以及算術(shù)平方根一定是非負數(shù)，已知中兩個非負數(shù)的和是0，則兩個一定同時是0；另外已知直角三角形兩邊x、y的長，具體是兩條直角邊或是一條直角邊一條斜邊，應(yīng)分類討論解：|x24|0，x24=0，y25y+6=0，x=2或2（舍去），y=2或3，當兩直角邊是2時，三角形是直角三角形，則斜邊的長為：=；當2，3均為直角邊時，斜邊為=；當2為一直角邊，3為斜邊時，則第三邊是直角，長是=122016【解析】試題分析：已知m為一元二次方程x2+2x2018=0的實數(shù)根，可得m2+2m2018=

10、0，即m2=2m+2018，所以m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n，再由m，n分別為一元二次方程x2+2x2018=0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=2，所以m2+3m+n=20182=2016考點：一元二次方程的根；根與系數(shù)的關(guān)系.138【解析】試題分析：根據(jù)題意得，所以=1+4+3=8故答案為：8考點：根與系數(shù)的關(guān)系144【解析】試題分析：因為(x2y2)(x2y21)12，所以所以所以=4或= -3，因為，所以= -3不合題意舍去，所以=4.考點：解一元二次方程.153.【解析】試題解析：由判別式大于零，得（2m+3）2-4m20，解得m-，即+=-又

11、+=-（2m+3），=m2代入上式得-3-2m=-m2解之得m1=3，m2=-1m2=-1-，故舍去m=3考點：1.根與系數(shù)的關(guān)系；2.解一元二次方程-因式分解法；3.根的判別式16-3【解析】試題分析：因為關(guān)于x的方程(m-3) -3x-4=0是一元二次方程，所以m2-7=2且m-30，解得m=-3.考點：1一元二次方程的定義;2一元二次方程的解法176；【解析】試題分析：把x=m代入已知方程，得到m2m=3，m23=m，然后代入所求的代數(shù)式進行求值即可解：m是方程x2x3=0的一個實數(shù)根，m2m3=0，m2m=3，m23=m，（m2m）（m+1）=3×（+1）=3×（1

12、+1）=6故答案是：6考點：一元二次方程的解18-1；【解析】試題分析：根據(jù)一元二次方程的定義，列方程和不等式解答解：因為原式是關(guān)于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=±1又因為m10，所以m1，于是m=1故答案為：1考點：一元二次方程的定義19-3.【解析】試題解析：根據(jù)題意得x1+x2=3，x1x2=-1，所以x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=-1×3=-3考點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.20-37.【解析】試題解析：，是一元二次方程x2+2x-4=0的兩實根，+=-2，2+2-4=0，3+22-4=0，2=4-2，3=4-22，原式=4-22+

13、4+12-5=-2（4-2）+8+12-5=12（+）-13=12×（-2）-13=-37考點：根與系數(shù)的關(guān)系213【解析】試題分析：設(shè)a2+b2=x，則原式左邊變?yōu)閤2x6=0，用因式分解法可得x的值，然后根據(jù)平方的非負性即可確定解：設(shè)a2+b2=x，則原式左邊變?yōu)閤2x6，x2x6=0解得：x=3或2a2+b20，a2+b2=3考點：換元法解一元二次方程223或8【解析】試題分析：設(shè)t=m2+4m，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t2+5t24=0，利用因式分解法求得t的值，即m2+4m的值即可解：設(shè)t=m2+4m，則由原方程得到：t2+5t24=0，整理，得（t3）（t+8）

14、=0，解得t=3或t=8故答案是： 3或8考點：換元法解一元二次方程232020【解析】試題分析：將x=1代入方程得：a+b+5=0，則a+b=5，則2015ab=2015（a+b）=2015（5）=2020.考點：整體思想求解.242015【解析】試題分析：將代入方程可得：=2015，根據(jù)韋達定理可得：=1，則原式=（）+2015=2015+2015=2015（+）=2015.考點：（1）、韋達定理；（2）、整體思想求解.255【解析】試題分析：把所求代數(shù)式整理出已知條件的形式，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解解：x（x3）=5，2x26x5=2x（x3）5=2×55=5故答案為：5考

15、點：一元二次方程的解26原式=, 由，得 ， 又 原式=【解析】試題分析：先把分式化簡后，再解方程確定a的值，最后代入求值即可.試題解析：原式=由，得 ， 又 原式= 考點：分式的化簡求值；一元二次方程的解法.27【解析】試題分析：先將原代數(shù)式化簡，根據(jù)分式的分母不能為0找出a的取值范圍，再由a是方程x2+4x=0的根找出a的值，將a的值代入化簡后的代數(shù)式即可得出結(jié)論解：原式=×，=（）×，=×，=a（a+2）（a2）0，a0且a±2a是方程x2+4x=x（x+4）=0的根，a=0（舍去），或a=4當a=4時，原式=考點：分式的化簡求值；解一元二次方程-

16、因式分解法28王老師購買該獎品的件數(shù)為40件【解析】試題分析：根據(jù)題意首先表示出每件商品的價格，進而得出購買商品的總錢數(shù)，進而得出等式求出答案試題解析：30×40=12001400，獎品數(shù)超過了30件，設(shè)總數(shù)為x件，則每件商品的價格為：40（x30）×0.5元，根據(jù)題意可得：x40（x30）×0.5=1400，解得：x1=40，x2=70，x=70時，40（7030）×0.5=2030，x=70不合題意舍去，答：王老師購買該獎品的件數(shù)為40件考點：一元二次方程的應(yīng)用29（1）（243x）；（2）花圃的長為9米，寬為5米【解析】試題分析：（1）用繩子的總長

17、減去三個AB的長，然后加上兩個門的長即可表示出AD的長；（2）由在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小門，故長邊為223x+2，令面積為45，解得x解：（1）設(shè)寬AB為x，則長AD=BC=223x+2=（243x）米；（2）由題意可得：（223x+2）x=45，解得：x1=3；x2=5，當AB=3時，BC=1514，不符合題意舍去，當AB=5時，BC=9，滿足題意 答：花圃的長為9米，寬為5米考點：一元二次方程的應(yīng)用300.3元【解析】試題分析：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元那么每千克的利潤為：（32x）元，由于這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克所以降價x元，則每天售出

18、數(shù)量為：（200+）千克本題的等量關(guān)系為：每千克的利潤×每天售出數(shù)量固定成本=200解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元根據(jù)題意，得（32）x（200+）24=200方程可化為：50x225x+3=0，解這個方程，得x1=0.2，x2=0.3因為為了促銷故x=0.2不符合題意，舍去，x=0.3答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.3元考點：一元二次方程的應(yīng)用312【解析】試題分析：先根據(jù)m是一元二次方程的根，可得含m的式子，然后化簡代數(shù)式，再整體代入在求值試題解析：m是的一個根 =m+m+4=-（m-m ）+4=2考點：1一元二次方程的解，2代數(shù)式的化簡求值32（1）y=10t；（2）500噸【解析】試題分析：（1）設(shè)產(chǎn)品的費用y（萬元）與年產(chǎn)量（t）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kt（k0），將已知點坐標（1000，10000）代入解析式，求出k值，即可寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）由圖象求出該產(chǎn)品的年銷售量（t）與每噸銷售價（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)毛利潤銷售額費用，建立一元二次方程求解即可試題解析：（1）設(shè)產(chǎn)品的費用y（萬元）與年產(chǎn)量（t）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kt（k0），將已知點坐標（1000，10000）代入解析式得：10000=1000k，解得：k=10，即y與t的函數(shù)關(guān)系式是y=10t；（2）由圖象可知該產(chǎn)品的年銷售量（t）與每噸銷售價（萬元