高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)案例練習(xí) 北師大版選修12

1、【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例練習(xí) 北師大版選修1-21回歸分析題目擊破一、基本概念函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法例1下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_(1)正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；(2)水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系；(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系分析兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系和帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系解析(1)是函數(shù)關(guān)系；(2)不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系；(3)既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定

2、時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系；(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系答案(2)(4)點(diǎn)評(píng)該例主要考查對(duì)變量相關(guān)關(guān)系概念的掌握二、線性回歸方程設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫作回歸直線例2假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)回歸方程yabx；(2)估計(jì)使用年限10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？分析因?yàn)閥對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，所以可以用線性相關(guān)的方法解決問(wèn)題解(1)制表i

3、12345合計(jì)xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x49162536904，5，x90，xiyi112.3于是有b1.23，ab51.2340.08.回歸方程為y1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時(shí)，y1.23100.0812.38(萬(wàn)元)，即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用約是12.38萬(wàn)元點(diǎn)評(píng)已知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)三、非線性回歸問(wèn)題分析非線性回歸問(wèn)題的具體做法是：(1)若問(wèn)題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)可以將解釋變量進(jìn)行變換(換元)，將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問(wèn)題化為線

4、性回歸分析問(wèn)題來(lái)解決(2)若問(wèn)題中沒(méi)有給出經(jīng)驗(yàn)公式，需要我們畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，通過(guò)與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖像作比較，選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題來(lái)解決下面舉例說(shuō)明非線性回歸分析問(wèn)題的解法例3某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位：萬(wàn)元)與人均產(chǎn)值y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)：人均資本x/萬(wàn)元345.56.578910.511.514人均產(chǎn)值y/萬(wàn)元4.124.678.6811.0113.0414.4317.5025.4626.6645.20(1)設(shè)y與x之間具有近似關(guān)

5、系yaxb (a，b為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)a和b的值；(2)估計(jì)企業(yè)人均資本為16萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)值(精確到0.01)解(1)在yaxb的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得lg ylg ablg x，設(shè)lg yz，lg aA，lg xX，則zAbX.相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示.人均資本x/萬(wàn)元345.56.57人均產(chǎn)出y/萬(wàn)元4.124.678.6811.0113.04Xlg x0.477 120.602 060.740 360.812 910.845 1zlg y0.614 90.669 320.938 521.041 791.115 28人均資本x/萬(wàn)元8910.511.514人均產(chǎn)出y/萬(wàn)元14.431

6、7.525.4626.6645.2Xlg x0.903 090.954 241.021 191.060 71.146 13zlg y1.159 271.243 041.405 861.425 861.655 14由公式(1)可得由lg a0.215 5，得a0.608 8，即a，b的估計(jì)值分別為0.608 8和1.567 7.(2)由(1)知y0.608 8x1.567 7.樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖所示當(dāng)x16時(shí)，y0.608 8161.567 747.01(萬(wàn)元)，故當(dāng)企業(yè)人均資本為16萬(wàn)元時(shí)，人均產(chǎn)值約為47.01萬(wàn)元.2巧解非線性回歸問(wèn)題如果題目所給樣本點(diǎn)的分布不呈帶狀分布，即兩個(gè)變

7、量不呈線性關(guān)系，那么，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這時(shí)我們可以把散點(diǎn)圖和已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點(diǎn)擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的問(wèn)題來(lái)解決，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想一、案例分析例一個(gè)昆蟲(chóng)的某項(xiàng)指標(biāo)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/2345678某項(xiàng)指標(biāo)y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801試建立某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果分析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，再由圖設(shè)出相應(yīng)的回

8、歸模型解畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線yBx2A的周?chē)頧x2，則變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在ybXa(bB，aA)的周?chē)梢阎獢?shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項(xiàng)指標(biāo)y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801計(jì)算得到線性回歸方程為y0.199 94X4.999 03.用x2替換X，得某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸方程y0.199 94x24.999 03.計(jì)算得r0.999 997，幾乎為1，說(shuō)明回歸模型的擬合效果非常好點(diǎn)評(píng)本題是非線性回歸分析問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該先畫(huà)出散點(diǎn)圖，把它與我們

9、所學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像相對(duì)照，選擇一種跟這些樣本點(diǎn)擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得以解決二、知識(shí)拓展常見(jiàn)的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)冪型函數(shù)yaxm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對(duì)yaxm兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)g ylg amlg x，令ulg y，vlg x，則原式可變?yōu)閡mvlg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)(2)指數(shù)型函數(shù)ycax(a，c0，且a1)解決方案：對(duì)ycax兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)g ylg cxlg a，令ulg y，則原式可變?yōu)閡xlg alg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)與冪函數(shù)不同

10、的是x保持不變，用y的對(duì)數(shù)lg y代替了y.(3)反比例函數(shù)y(k0)解決方案：令u，則yku，該式表示y，u的線性函數(shù)(4)二次函數(shù)yax2c解決方案：令ux2，則原函數(shù)可變?yōu)閥auc，該式表示y，u的線性函數(shù)(5)對(duì)數(shù)型函數(shù)yclogax解決方案：令xau，則原函數(shù)可變?yōu)閥cu，該式表示y，u的線性函數(shù).3判斷兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系本章的重點(diǎn)是用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)分類(lèi)變量作出明確的判斷，下面通過(guò)典例剖析如何判斷兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系例某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革合

11、計(jì)工作積極544094工作一般326395合計(jì)86103189對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？分析首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數(shù)值，再利用公式求出2的值，最后根據(jù)2值分析結(jié)果解由題目中表的數(shù)據(jù)可知：210.759.因?yàn)?0.7596.635，所以有99%的把握說(shuō)員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關(guān)，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的點(diǎn)評(píng)在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂；在判斷兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系的可靠性時(shí)一般利用隨機(jī)變量來(lái)確定；把計(jì)算出的2的值與臨界值作比較，確定出“A與B有關(guān)系”的把握.4獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用在日

12、常生活中，經(jīng)常會(huì)面臨一些需要推斷的問(wèn)題在對(duì)這些問(wèn)題作出推斷時(shí)，我們不能僅憑主觀臆斷作出結(jié)論，需要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想做出合理的推斷所謂獨(dú)立性檢驗(yàn)，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算2的值，比較與臨界值的大小關(guān)系來(lái)判定事件A與B是否有關(guān)的問(wèn)題其基本步驟如下：(1)考察需抽樣調(diào)查的背景問(wèn)題，確定所涉及的變量是否為二值分類(lèi)變量；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表；(3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2，并查表分析當(dāng)2很大時(shí)，就認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系；否則就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示兩個(gè)變量有關(guān)系下面舉例說(shuō)明獨(dú)立性檢驗(yàn)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎但吸煙的有162人根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關(guān)系？解根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計(jì)吸煙43162205不吸煙13121134總計(jì)56283339由列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出：有吸煙者中，有