高中數學導數及其應用 14 生活中的優(yōu)化問題舉例課時作業(yè) 新人教版選修22

1、【創(chuàng)新設計】2016-2017學年高中數學 第一章 導數及其應用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課時作業(yè) 新人教版選修2-2明目標、知重點1了解導數在解決實際問題中的作用2掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題1生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題2利用導數解決優(yōu)化問題的實質是求函數最值 3解決優(yōu)化問題的基本思路是： 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數學建模過程.情境導學生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題？這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大(小)值的有力工具，本節(jié)我們運用導數，解決一些生活中的優(yōu)化問題探

2、究點一面積、體積的最值問題思考如何利用導數解決生活中的優(yōu)化問題？答(1)函數建模，細致分析實際問題中各個量之間的關系，正確設定所求最大值或最小值的變量y與自變量x，把實際問題轉化為數學問題，即列出函數關系式y(tǒng)f(x)(2)確定定義域，一定要從問題的實際意義去考察，舍去沒有實際意義的變量的范圍(3)求最值，此處盡量使用導數法求出函數的最值(4)下結論，回扣題目，給出圓滿的答案例1學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最?。拷庠O版心的高為

3、x dm，則版心的寬為 dm，此時四周空白面積為S(x)(x4)1282x8，x>0.求導數，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是寬為8.當x(0,16)時，S(x)<0；當x(16，)時，S(x)>0.因此，x16是函數S(x)的極小值點，也是最小值點所以，當版心高為16 dm，寬為8 dm時，能使海報四周空白面積最小反思與感悟(1)在求最值時，往往建立函數關系式，若問題中給出的量較多時，一定要通過建立各個量之間的關系，通過消元法達到建立函數關系式的目的(2)在列函數關系式時，要注意實際問題中變量的取值范圍，即函數的定義域跟蹤訓練1如圖所示，某廠需要圍

4、建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為_米答案32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，設場地寬為x米，則長為米，因此新墻壁總長度L2x(x>0)，則L2.令L0，得x±16.x>0，x16.當x16時，Lmin64，此時堆料場的長為32(米)探究點二利潤最大問題例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.則瓶子半徑多大時

5、，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？解由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是yf(r)0.2×r30.8r20.8，0<r6.令f(r)0.8(r22r)0.當r2時，f(r)0.當r(0,2)時，f(r)<0；當r(2,6)時，f(r)>0.因此，當半徑r>2時，f(r)>0，它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r<2時，f(r)<0，它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低半徑為2 cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值半徑為6 cm時

6、，利潤最大反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數關系，常見的基本等量關系有：(1)利潤收入成本；(2)利潤每件產品的利潤×銷售件數跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因為x5時，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10

7、(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x4是函數f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點所以，當x4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大探究點三費用(用材)最省問題例3已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水行駛到B地，水

8、速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(8<vv0)若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v12 km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？解設每小時的燃料費為y1，比例系數為k(k>0)，則y1kv2，當v12時，y1720，720k·122，得k5.設全程燃料費為y，由題意，得yy1·，y.令y0，得v16，當v016，即v16 km/h時全程燃料費最省，ymin32 000(元)；當v0<16，即v(8，v0時，y<0，即y在(8，v0上為減函數，當vv0時，ymin(元)綜上，當v

9、016時，v16 km/h全程燃料費最省，為32 000元；當v0<16，即vv0時全程燃料費最省，為元反思與感悟本題在解題過程中容易忽視定義域，誤以為v16時取得最小值本題的關鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內跟蹤訓練3現有一批貨物由海上從A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數為0.6)，其余費用為每小時960元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/時)的函數；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？解(1)依題意得y(96

10、00.6x2)300x，且由題意知，函數的定義域為(0,35，即y300x(0<x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)因為函數的定義域為(0,35，所以函數在定義域內沒有極值點又當0<x35時，y<0，所以y300x在(0,35上單調遞減，故當x35時，函數y300x取得最小值故為了使全程運輸成本最小，輪船應以35海里/時的速度行駛1方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為()A4 B6 C4.5 D8答案A解析設底面邊長為x，高為h，則V(x)x2·h256，h，S(x)x24xhx24x·x2，S(x)2x.令

11、S(x)0，解得x8，h4.2某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0)已知貸款的利率為0.048 6，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去設存款利率為x，x(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0<x<0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2(0<x&l

12、t;0.048 6)令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當0<x<0.032 4時，y>0；當0.032 4<x<0.048 6時，y<0.所以當x0.032 4時，y取得最大值，即當存款利率為0.032 4時，銀行獲得最大收益3統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數解析式可以表示為yx3x8(0<x120)已知甲、乙兩地相距100千米，當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h(x)升，依題意得h(x)

13、15;x2(0<x120)，h(x)(0<x120)令h(x)0，得x80.因為x(0,80)時，h(x)<0，h(x)是減函數；x(80,120時，h(x)>0，h(x)是增函數，所以當x80時，h(x)取得極小值h(80)11.25(升)因為h(x)在(0,120上只有一個極小值，所以它是最小值答汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升呈重點、現規(guī)律正確理解題意，建立數學模型，利用導數求解是解應用題的主要思路另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確給出函數表達式；(2)與實際問題相聯系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.一、基

14、礎過關1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8 B. C1 D8答案C解析原油溫度的瞬時變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當x1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.2設底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時底面邊長為()A. B. C. D2答案C解析設底面邊長為x，則表面積Sx2V(x>0)S(x34V)令S0，得x.3如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3答案A解析設圓柱的底面半徑為r，

15、高為h，體積為V，則4r2hl，h，Vr2hr22r3.則Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r>0，r是其唯一的極值點當r時，V取得最大值，最大值為3.4用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接成水箱，則水箱最大容積為()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3答案B解析設水箱底邊長為x cm，則水箱高h60(cm)水箱容積VV(x)x2h60x2 (cm3)(0<x<120)V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍去)或x80.可

16、判斷得x80 (cm)時，V取最大值為128 000 cm3.5某公司生產一種產品， 固定成本為20 000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x的關系是R(x)則當總利潤最大時，每年生產產品的單位數是()A150 B200 C250 D300答案D解析由題意得，總利潤P(x)令P(x)0，得x300，故選D.二、能力提升6.為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長為a米，高為b米已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比，現有制箱材料60平方米，問當a_，b_時，經沉淀后流出的水中該雜質

17、的質量分數最小(A，B孔的面積忽略不計)答案63解析設y為流出的水中雜質的質量分數，則y，其中k(k>0)為比例系數依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據題設，4b2ab2a60(a>0，b>0)得b(0<a<30)于是y.令y0，得a6或a10(舍去)本題只有一個極值點，此極值點即為最值點當a6時，b3，即當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小7把長為12 cm的細鐵絲截成兩段，各自擺成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2答案D解析設一個正三角形的邊長為x cm，則

18、另一個正三角形的邊長為(4x)cm，則這兩個正三角形的面積之和為Sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故選D.8做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_答案3解析設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則VR2L27，L，要使用料最省，只須使圓柱表面積最小，由題意，S表R22RLR22·，S(R)2R0，R3，則當R3時，S表最小9.如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：

19、cm)，能使矩形廣告面積最?。拷庠O廣告的高和寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x20，其中x>20，y>25.兩欄面積之和為2(x20)·18 000，由此得y25.廣告的面積Sxyx(25)25x.S2525.令S>0得x>140，令S<0得20<x<140.函數在(140，)上單調遞增，在(20,140)上單調遞減，S(x)的最小值為S(140)當x140時，y175.即當x140，y175時，S取得最小值24 500，故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小10某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩

20、墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數關系式；(2)當m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？解(1)設需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當0<x<64時，f(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內為減函數；當64<x<640時，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內為增函數，所以f(x)在x64處取得最小值此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小11一火車鍋爐每小時煤消耗費用與火車行駛速度的立方成正比，已知當速度為20 km/h時，每小時消耗的煤價值40元，其他費用每小時需200元，火車的最高速度為100 km/h，火車以何速度行駛才能使從甲城開往乙城的總費用最少？解設速度為x km/h，甲、乙兩城距離為a km.則總費用f(x)(kx3200)·a