2020版高考數(shù)學大一輪復習-第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應用講義理含解析新人教A版

1、第 3 節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應用考試要求 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.|知識百匕庫驗如收小夯實基戕知識梳理1 .平面向量數(shù)量積的有關概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和 b,記O屋a,OB=b,則/AOB=0(0。0180)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與 b,它們的夾角為 0,則a與b的數(shù)量積(或內積)ab=|a|b|cos_

2、e.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0,即 0a=0.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_6 的乘積.2 .平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a=(X1,y1),b=(X2,y2),9為向量a,b的夾角.(1)數(shù)量積：a-b=|a|b|cos0=X1X2+y1y2.(2)模：|a|=5a=yjx；+y2.八a-bX1X2+y1y2夾角：cose=|T=VX2+y；2.VX2+y2.(4)兩非零向量 a_Lb的充要條件：a,b=0?X1X2+y1y2=0.(5)|a-b|0 且a,b不共線；兩個向量a,b的夾角為鈍角？ab=|a|c|cosa

3、,c,所以向量b和c不一定相等.答案(1)X(2)V(3)V(4)X教材運化2.(必修 4P108A10 改編)設 a,b 是非零向量.ab=|a|b|是“a/b”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析設a與b的夾角為0.因為a-b=|a|-|b|cos0=|a|b|,所以 cos0=1,即a與b的夾角為0,故a/b.當a/b時，a與b的夾角為 0或 180,所以a-b=|a|-Ib|cos0=+Ia|-Ib|,所以ab=|a|Ib|是a/b”的充分而不必要條件.答案 A3.(必修 4P108A2 改編)在圓O中，長度為電的弦AB不經(jīng)過圓

4、心，則Ab而勺值為.一一一一一一一一 1 一解析設向量AOAB勺夾角為e,則AOAB=|AO|ABcos0=|AOcos0|AB=習ABII 麗=；x（02=1.答案 14.（2018全國 n 卷）已知向量 a,b滿足 Ia|=1,ab=1,則 a（2ab）=（）A.4B.3C.2D.0解析 a（2ab）=2|a|2ab=2xi2（1）=3.答案 B5.（2018 上海嘉定區(qū)調研）平面向量a與b的夾角為 45,a=（1,1）,|b|=2,則|3a+b|等于（）A.13+監(jiān) B.25C.30D.34解析依題意得a2=2,ab=y2x2xcos45=2,|3a+b|（3a+b）2=M9a2+6ab

5、+b2=18+12+4=/34.答案 D6.(2017全國 l 卷)已知向量a=(-1,2),b=(m1).若向量a+b與a垂直，則 m=解析由題意得 a+b=(m-1,3),因為 a+b與a垂直，所以(a+b)a=0,所以一(m-1)+2X3=0,解得 m=7.答案 7考點聚焦突破分類講臉以倒求法考點一平面向量數(shù)量積的運算【例 1】(1)若向量 m=(2k1,k)與向量 n=(4,1)共線，則 m-n=()A.0B.4C.-D.-衛(wèi)22(2)(2018天津卷)在如圖的平面圖形中，已知 OMI=1,ON=2,/MON：120,BM=2MACN=2 曲則 BbOMJ值為()A.-15B.-9C.

6、-6D.0-1解析(1)由題意得 2k14k=0,解得 k=-,1即 mi=一 2,一 2，一.1.17所以 mrn=-2X4+x1=.(2)連接OA在AB8,髭MXB=3A*3XU3(ONkOA3(OwOA=3(ONkOiyi,.Bo-OM=3(ON-OM-OM=3(ON-OM-OM)=3X(2X1Xcos12012)=3X(-2)=-6.答案(1)D(2)C規(guī)律方法 1.數(shù)量積公式a-b=|a|b|cose 在解題中的運用，解題過程具有一定的技巧性，需要借助向量加、減法的運算及其幾何意義進行適當變形；也可建立平面直角坐標系，借助數(shù)量積的坐標運算公式ab=X1X2+y/2求解，較為簡捷、明了

7、.2.在分析兩向量的夾角時，必須使兩個向量的起點重合，如果起點不重合，可通過“平移”實現(xiàn).兀1一,，一【訓練 1】(1)在ABC中，AB=4,BC=6,ZABC=萬，D是AC的中點，E在BC上， 且AE!BD則ALBCC?于()A.16B.12C.8D.-4(2)(2019皖南八校三模)已知|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為 45,則(a+2b)a=.解析(1)以B為原點，BABC所在直線分別為 x,y軸建立平面直角坐標系(圖略)，A(4,0),R0,0),Q0,6),D(2,3).設 R0,t),BXE=(2,3)(-4,t)=-8+3t=0,危鼠一 4,8(0,6)=16.3(2)因為

8、|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為 45,E Enrnr8-38-3所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos45=1+/.答案(1)A(2)1+J2考點二平面向量數(shù)量積的應用多維探究角度 1 平面向量的垂直【例【例21(1)(2018北京卷)設向量 a=(1,0),b=(-1,m).若a(na-b),則 f（2）（2019宜昌二模）已知ABC43,ZA=120,且 AB=3,AC=4,若用工入畫硝且扉BC,則實數(shù)入的值為（）解析(1)a=(1,0),b=(-1,n),a2=1,a-b=-1,由a(ma-b)得a(na-b)=0,即ma2-a-b=0.1.m-(-1)=

9、0,1,m=-1.(2)因為AP=入AB+AC且APLBC2所以有APBC=(入AB+AC)(AC-AR=入ABAC-入A+ACAB-AC=(入-1)AB-AC-入廟+AC=0,整理可得（入1）X3X4Xcos120-9 入+16=0,-22斛得X=15答案（1）1（2）A規(guī)律方法 1.當向量a,b是非坐標形式時，要把a,b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算2.數(shù)量積白運算a-b=0?ab中，是對非零向量而言的，若 a=0,雖然有ab=0,但不能說ab.角度 2 平面向量的模【例【例22】（1）已知平面向量a,B,|a|=1|=2,a，（a2）,則|2

10、a+|的值是.（2） （2019杭州調研）已知直角梯形ABC加，AD/BC/ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點，則|附 3PB的最小值為.解析（1）由a_L（a2）得a，（a2）=a2a,=0,1所以 a-3=2，22A.一1510B.C.612D.(2)建立平面直角坐標系如圖所示，則A(2,0),設 R0,y),C(0,b),則B(1,b).所以輸 3PB(2,y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|PA3PB=25+(3b4y)2(0yb),所以當 y=4b時，|PA甘 3 前取得最小值 5.答案(1)10(2)5規(guī)律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利

11、用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算；(2)幾何法，利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)的方法：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解.角度 3 平面向量的夾角【例23(1)(2019衡水中學調研)已知非零向量a,b滿足|a+b|=|ab|=乎|a|,則向量a+b與ab的夾角為.(2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是解析(1)將|a+b|=|ab|兩邊平方，

12、得a2+b2+2ab=a2+b22ab,，ab=0.將|a+b|=ga|兩邊平方，得a2+b2+2ab=ga：33b2=1a2.3設a+b與 ab的夾角為 0,所以(2a+)2=4a2=4Xl2+22+4xg=10,一八兀又ee0,%,e=.3(2) .2a3b與c的夾角為鈍角,(2a3b)-c0,即(2k3,6)(2,1)0,解得 ky3ei&+e2=13-0+1=2.同理|ei+入e2|=中+32.crn,(旅-e2)-(ei+入e2)所以 cos60=F|J3eie2|ei+入e2|3ei+(yJ3 入-i)ei。&入e23 一入 i2十122 巾+122，解得入=f.3

13、答案(i)2(2)23(3)-z33考點三平面向量與三角函數(shù)【例 3】(20i9 濰坊摸底)在ABC4角A,B,C的對邊分別為 a,b,c,向量m(cos(AB),sin(A-B),n=(cosB,-sinB),且 mn=-3.5求 sinA的值；(2)若2=4/，b=5,求角B的大小及向量BA4BC方向上白投影.3解(i)由 mn=-53得 cos(AE)cosBsin(AE)sinB=5所以 cosA=7.因為 0Ab,所以AB且B是AB5內角，則由余弦定理得(42)2=52+c2-2X5cX3,解得 c=1,c=-7 舍去,故向量麗就向上的投影為|BAcosB=ccosB=1X規(guī)律方法平

14、面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路:(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內的有界性，求得值域等【訓練 3】(2019 石家莊模擬)已知A,B,C分別為ABCW三邊a,b,c所對的角，向量m=(sinA,sinB),n=(cosBcosA),且 mn=sin2C求角C的大??；(2)若 sinA,sinGsinB 成等差數(shù)列，且 O-(AB-A(5=18,求邊 c 的長.解(1)由已知得 mrn=s

15、inAcosB+cosAsinB=sin(A+E),因為 A+B+C=兀,所以 sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC,所以 mrn=sinC,又 mrn=sin2C,一,一一一，一 1所以 sin2C=sinC所以 cosC=3兀又 0CTt,所以 C=.3(2)由已知及正弦定理得 2c=a+b.因為CK(AB-AC=CA-CB=18,所以abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)23ab所以c2=4c2-3X36,所以c2=36,所以c=6.思維升華1 .計算向量數(shù)量積的三種方法定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運用，與圖形有關

16、的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應用.2 .求向量模的常用方法利用公式|a|2=a2,將模的運算轉化為向量的數(shù)量積的運算.3 .利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧易錯防范數(shù)量積運算律要準確理解、應用，例如，a-b=a-c(aw0)不能彳#出b=c,兩邊不能約去一個向量.數(shù)量積運算不滿足結合律，(ab)-c不一定等于a(bc).I核心素養(yǎng)提升數(shù)學運算、數(shù)學建模一一平面向量與三角形的“四心”1 .數(shù)學運算是指在明晰運算的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).通過學習平面向量與三角形的“四心”，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴

17、謹求實的科學精神.2 .數(shù)學建模要求在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉化為數(shù)學問題，能夠在關聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，理解數(shù)學建模的意義.本系列通過學習平面向量與三角形的“四心”模型，能夠培養(yǎng)學生用模型的思想解決相關問題.設O為ABO在平面上一點，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則(i)。為乙ABC勺外心?OA=OB=OC=-a；.2sinA(2)。為ABC勺重心？OAFOBOC0.O為ABC勺垂心？OA-OB=OB-OC=OCOA(4)0為4ABC勺內心？aO/AFbOBbcOC=0.類型 1 平面向量與三角形的“重心”1f【例 1】已知A,B,C是平面上不共線的二點，O為坐標原點，

18、動點P滿足0e-（1入）OA3十（1入）0誹（1+2 入）OC,入 eR,則點P的軌跡一定經(jīng)過（）A.ABC勺內心 B.ABC勺垂心C.ABC勺重心 D.AB邊的中點解析取AB的中點D,則2OD=04OB1O 曰-（1入）ON（1-入）01（1+2 入）OC,3.OP=12（1-入）ODb（1+2 入）OC3=5中OC33=2（1入）1+2 入一一心而+=1,P,C,D二點共線，33.點P的軌跡一定經(jīng)過ABC勺重心.答案 C類型 2 平面向量與三角形的“內心”問題1【例 2】在4ABC中,AB=5,AO6,cosA=-5O是4ABC勺內心，若OAxO拼yOC其 5中 x,yC0,1,則動點P的

19、軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A.10-6B.%6C.43D.6233,解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動點P的軌跡是以OBOC為鄰邊的平行四邊形及其內部，其面積為BOCJ面積的 2 倍.在ABC4設內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 a=7.設ABC勺內切圓的半徑為r,則答案 B類型 3 平面向量與三角形的“垂心”問題1bcsinA=2(a+b+c)r,解得二236,11BOXaxr=2x7x2.63=7_J3故動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2SRk 小2SABOIC3即動點P的軌跡一定通過ABC勺垂心.答案 B類型 4 平面向量與三角形

20、的“外心”問題【例【例4】已知在ABC中，AB=1,BO 乖，AO2,點O為ABC勺外心，若於xAByAC,則有序實數(shù)對(x,丫)為()43A.5，543c.5,5解析取AB的中點M和AC的中點N,連接OMON則OiVLAB,0也此11OM=AWAO=2AE(xAB+yAQ=2-xAByACON=AN-Ab=；AC-(xAB+yAC=-yAC-xAB1由。MLAR彳導2-xAB-yAC-AB=0,由ONLAC彳導2-yACxAC.AB=0,又因為BC=(AC-曲2=AC2AbAB+ATS,【例【例3】已知O是平面上的一個定點,A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OAF入ABXC-

21、+,-二,入|ABcosB|AQcosCC(0,+8),則動點 P 的軌跡一定通過ABC()A.重心B.垂心C.外心D.內心解析因為隹OAvAB+|ABcosBAC|ACcosC所以BbAP=Bb入所以BCiAp所以點AB+|ABcosBAB+|ABcosB=0,AC|AC|cosCAC|AC|cosCP在BC的高線上,34D.-5,石、選擇題1.已知向量 a=(mi-1,1),b=(m2),則mi=2是“a,b”的()A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析當 m=2 時，a=(1,1),b=(2,-2),所以 a-b=(1,1)-(2,-2)=2-2=0

22、,所以 aXb,充分性成立;當ab時，ab=(im-1,1)(m2)=m(mi-1)2=0,解得 m=2 或 vm=1,必要性不成立.所以“m=2”是“ab”的充分不必要條件.答案 A2.（2019北京通州區(qū)二模）已知非零向量 a,b的夾角為 60,且|b|=1,|2ab|=1,則|a|=()1_AQB.1C.2所以位AB=AC2+AE2-BC2把代入、得1-2x+y=0,解得4+x8y=0,43x=5,y=5.故實數(shù)對（x,y）為答案 AI分層限時巾煉分層訓練基礎鞏固題組（建議用時：40 分鐘）D.2o即 4|a|-2|a|=0,又|a|w。,1解得|a|=2-答案 A3.（2019 石家莊

23、二模）若兩個非零向量 a,b 滿足|a+b|=|ab|=2|b|,則向量 a+b 與 a的夾角為（）兀27157171A.-B.-C.-T-D.3366解析設|b|=1,則|a+b|=|ab|=2.由 Ia+b|=|ab|,得 ab=0,故以 a、b 為鄰邊的平行四邊形是矩形，且|a|=，5,設向量 a+b 與 a 的夾角為 6,則 cos-（a+b）=b=舊=3、|a|-|a+b|a|-|a+b|a+b|2一兀又 OW04X2X；=4,1XB-配=4X2X-=-4,前Bb=2X2X2=12,BEAF一一一一又入，所以 BE 入 BQAF=入 ABoUAo1D.解析在等腰梯形 ABC 砰，AB

24、=4,BG=CD=2,可得心元=60：,所以=60,BO=120,，LT貝UAE=AB+BE=AB+入BCDEAF-AD=入ABAD所以AE-DF=（AB+入的（xAB-AD22丁=入AB-AB-AD+入AB-BC-入AD-BC=0,即 2 入27 入+2=0,解得入=孑（舍去）或產3.4448答案 B5.（2017浙江卷）如圖，已知平面四邊形ABCDABLBCAB=BC=AD=2,CD=3,ACWBD交于點O.記II=OA-OB12=OB-OCI3=OC-OD則（）A.Iiv12V13C.I3VI1I2D.I2I1I3解析如圖所示，四邊形ABC屋正方形，F(xiàn)為正方形的對角線的交點，易得AGAF

25、,而/AFB=90,AOBW/CON鈍角，/AOD/BOC/銳角，根據(jù)題意，I1i2=OAOB-OB-OC=OB-（OA-OC=OB-CA=|O用CAcos/AOB。，.III3,作AGLBD于G又AB=ADOBcBG=GD：OD而OAAF=FCI3.I3I1I2.答案 C二、填空題6.（2019杭州二模）在ABC中，三個頂點的坐標分別為A（3,t）,B（t,1）,C-3,B.11v13v121),若ABB以B為直角頂點的直角三角形，則 t=.解析由已知，得BA鼠0,則(3t,t+1)(3-t,0)=0,(3t)(3t)=0,解得 t=3 或 t=3,當 t=3 時，點B與點C重合，舍去.故

26、t=3.答案 37 .若非零向量 a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則 a,b夾角 0 的余弦值為.解析|a|=|a+2b|,兩邊平方得，|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos0.又|a|=3|b|,所以 0=4|b|2+12|b|2cos0,得 cos8=；.3J1答案38 .(2019佛山二模)在 RtAABO,/B=90,BC=2,AB=1,D為BC的中點，E在斜邊AC上，若AE=2 氏則DE-AC=.解析如圖，以B為坐標原點，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則R0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=

27、(-1,2).tiA因為D為BC的中點，所以以 0,1),因為AE=2 日所以E1,4,3311所以DE=33，33所以 DEAC=11(1,2)=1+2=!33333-1答案 W3三、解答題9.在平面直角坐標系xOy中，點收一 1,2),B(2,3),C(-2,-1).求以線段ABAC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長;(2)設實數(shù)t滿足(AB-toC)-OC=0,求t的值.解由題設知AB=(3,5),AC=(-1,1),則AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以 IAB+的=2 幣 0,|AB-AC=42.故所求的兩條對角線的長分別為 42,210.(2)由題設知：OC=(2,1

28、),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-toC)-OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,從而 5t=-11,所以 t=.510 .在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量 a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),兀aksin。，t)(0e4,且tsine 取最大值 4 時，求OAOC解(1)由題設知AB=(n-8,t),ABa,8-n+2t=0.又m|OA=AB,-5X64=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.當 t=8 時，n=24;當 t=8 時，n=-8,.OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)由題設知AC=(ksine-8,t),.ACWa共線，t=-2ksine+16,tsin9=(2ksin8+16)sin9=2k(sin84)2+32.kk，