高等代數(shù)試題附答案

1、科目名稱：高等代數(shù)姓名：班級：考試時間：120分鐘 考試形式：閉卷一、填空題（每小題5分，共25分）1、 在中，向量關(guān)于基的坐標為 。2、 向量組的秩為 ，一個最大無關(guān)組為 .。3、 （維數(shù)公式）如果是線性空間的兩個子空間，那么 。4、 假設(shè)的特征根是 ，特征向量分別為 。5、實二次型 的秩為 二、是非題（每小題2分，共20分）1、如果線性無關(guān)，那么其中每一個向量都不是其余向量的線性組合。（ ）2、在中，定義變換,其中，是一固定的數(shù)，那么變換是線性變換。（ ）3、設(shè)是向量空間的兩個子空間，那么它們的并也是的一個子空間。（ ）4、兩個歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們有相同的維數(shù)。（ ）5、 令

2、是的任意向量，那么是到自身的線性變換。其中。（ ）6、 矩陣的特征向量的線性組合仍是的特征向量。（ ）7、 若矩陣與相似，那么與等價。（ ）8、 階實對稱矩陣有個線性無關(guān)的特征向量。（ ）9、 在中，若由所有滿足跡等于零的矩陣組成，那么是的子空間。（ ）10、齊次線性方程組的非零解向量是的屬于的特征向量。（ ）三、明證題（每小題××分，共31分）1、設(shè)是線性空間的一組基，是上的線性變換，證明：可逆當且僅當線性無關(guān)。（10）2、設(shè)是維歐氏空間的一個線性變幻，證明：如果是對稱變幻，=是單位變幻，那么是正交變換。（11）3、設(shè)是一個維歐氏空間，證明：如果都是得子空間，那么。（10

3、）四、計算題（每小題8分，共24分）1、 求矩陣的特征根與特征向量，并求滿秩矩陣使得為對角形矩陣。2、 求一個正交矩陣，使得使對角形式，其中。3、 化二次型 為平方和，并求所用的滿秩線性變換。科目名稱：高等代數(shù)姓名：班級：考試時間：120分鐘 考試形式：閉卷一、填空題（每小題5分，共25分）1、 （3,4,1）2、 秩為2，一個最大無關(guān)組為3、 維（）+維（）=維（）+維（）4、 特征根是1，1，2，特征向量分別為5、秩為 3二、是非題（每小題2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、 （否 ）6、 （否 ）7、 （是 ）8、 （是 ）9、 （是 ）10、（是 ）三、

4、明證題（每小題××分，共31分）1、證明 設(shè)可逆，則存在，且也是的線性變換，（1）若線性相關(guān)，則，(2)即也線性相關(guān)，這與假設(shè)是基矛盾，故線性無關(guān)。(5)反之，若線性無關(guān)，因是維線性空間，故它也是的一組基，(7)故對中任意向量有，即存在，使，故為到上的變換。(8)若又有，使，即，因為是基，即，從而又是一一的變換，故為可逆變換。（10）2、證：,(4) = ,(8)=, (10)=0 ,（11）3、證：（1）,(5)同理， (8)則。 （10）四、計算題（每小題8分，共24分）1、解：=，則的特征根為，, (3)，它們對應(yīng)的特征向量分別為， (6)易知線性無關(guān)，取，那么就得。(8)2、解：，則特征根為， (3)對應(yīng)它們的線性無關(guān)的特征向量分別為，