高數(shù)專升本教案1

1、*用2號字，公式編輯器中，尺寸定義，（標準12，下上標7，次下上標5，符號18，次符號12）*2。第一部分 函數(shù)、極限和連續(xù)一、函數(shù)的定義域、函數(shù)的特性（有界性單調(diào)性奇偶性等）有界：或如：，反三角函數(shù)說明：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，但也有特例。如 二、極限的概念與計算1、左極限：，右極限：結(jié)論:2、和結(jié)論:三、極限的運算1、無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小。例:2、(型)例:、 3、(型)例：、4、例:(含數(shù)列之和,先求和) 四、無窮小與無窮大 1、無窮小與無窮大的判別。例：何時是無窮??？何時是無窮大？是否有水平或鉛直漸近線？練習：何時是無窮?。亢螘r是無窮大？是否有水平或鉛直漸近線？2、無窮小的

2、比較：， ，五、兩個重要極限1、夾逼準則：若，2、第一類重要極限： 特點：(1)型 (2)含三角函數(shù)或反三角函數(shù)例:， ，,3、第二類重要極限：特點：(1)底數(shù): (2)指數(shù):例:求，六、函數(shù)的連續(xù)性1、定義例 討論函數(shù)在處的連續(xù)性。2、函數(shù)的間斷點(不連續(xù)點)：沒有定義、不存在、3、初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。4、有界性與最大值最小值定理5、零點定理例 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根6、介值定理練習:1、判定函數(shù)的奇偶性；2、求極限：，3、求極限：4、討論極限：；5、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若有間斷點，試指出間斷點的類型；6設的定義域為，則函數(shù)的定義域是 （ D ） (09年

3、)A B C D7下列極限存在的是 （ B ） (09年)A BC D8. 若（為常數(shù)），則 k 。9設函數(shù)在處連續(xù)，則 1 。 (09年)10（05年）11（06年）12設，則=。13.計算 (09年)14設曲線在原點與曲線相切，求(09年)15求極限. （08年）16.求極限（08年）第二部分 一元函數(shù)微分學一、導數(shù)的概念1、定義：例：例：設函數(shù)在點處可導，則（05年二）2、幾何意義：曲線在處的切線斜率是導數(shù)。3、可導與連續(xù)的關系 例：在處連續(xù)但不可導二、導數(shù)的計算1、函數(shù)的和、差、積、商求導2、復合函數(shù)的求導3、高階導數(shù)4、隱函數(shù)的導數(shù)例求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)。5、由參數(shù)方程所確定

4、的函數(shù)的導數(shù)設，則有 記法：（）三、微分的計算四、中值定理：羅爾定理 拉格朗日中值定理五、洛必達法則例： 求， ；型 例：求型例：型例：型例：求 （ ） 型六、單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點判定（列表）七、最大值與最小值1、在上的最大值和最小值(方法：比較駐點、不可導點與端點的函數(shù)值)2、在內(nèi)的最大值和最小值（駐點唯一）八、曲線的斜漸近線與垂直漸近線的斜漸近線：例：討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點。例：（1）當時，（單調(diào)性）（2）當時， （極值）練習：1、設，求，2、設，求3、設，求。4、求函數(shù)的導數(shù)。（05年二）5、設， （為實數(shù)），試問在什么范圍時, （06年二）（1）在點連續(xù)；（2）在點

5、可導.第三部分 一元函數(shù)積分學一、不定積分1、不定積分的概念：，2、基本積分公式（直接積分法）3、第一類換元法（湊微分法）例：計算下列積分：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；(6)； （7） ；（8）；（9）； (10)（11）, （12）；4、第二類換元法：（1）被積函數(shù)含，令。例：求、（2）被積函數(shù)含，令。例：求（3）被積函數(shù)含，令例：求（4）被積函數(shù)含，令 例：求5、分部積分法（1）冪函數(shù)盡量不湊微分例：求 ， ，（2）單一函數(shù)：、（3）求6、一些簡單有理函數(shù)的積分。例：求練習1、，2、，3、，4、，5、（05年二），（06年二），（08年二）二、定積分1、定積分的概念：定積分

6、的定義及其幾何意義2、變上限的定積分若，則若，則例：求3、定積分的計算（牛頓一萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法）例：求，4、無窮區(qū)間的廣義積分例：計算反常積分，5、平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積類似有：，練習：1、計算下列積分：（3）; （4）; (5); （6） ; （7）;（8）; (9); (10)設, 求.（11）（05年二）;（05年一），（06年二），（07年二）。（12）計算（08年二）2、證明：（1） = （2）設，證明： （3）證明：,3、求與軸圍成圖形的面積，并求此圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得的體積。第四部分 無窮級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)1、數(shù)項級數(shù)級數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則 例

7、 幾何級數(shù)的收斂性例：級數(shù)收斂的必要條件為. （07二 ）例：設級數(shù)和級數(shù)都發(fā)散，則級數(shù)是（ ）. （05一）發(fā)散， 條件收斂， 絕對收斂，可能發(fā)散或者可能收斂.2、比較判別法：設，是兩個正項級數(shù)，且（1）若收斂，則收斂；（2）若發(fā)散，則發(fā)散。例：判定、的收斂性。例：判別正項級數(shù)的斂散性. （06二）結(jié)論：對于級數(shù)，當時收斂；當時發(fā)散。（熟記此結(jié)論）當時，稱為調(diào)和級數(shù)。（調(diào)和級數(shù)發(fā)散）例：若級數(shù)收斂，則的取值范圍是. （06二）定理（比較審斂法的極限形式）：設，是兩個正項級數(shù)， （1）若，且收斂，則收斂。 （2）若或，且發(fā)散，則發(fā)散。結(jié)論：若，且與收斂性相同。例：級數(shù)是發(fā)散，的收斂3、比值判別

8、法：設為正項級數(shù)，若，則 （1）當時級數(shù)收斂；（2）當或時級數(shù)發(fā)散； （3）當時，不能確定。說明：比值判別法比較適合用于一般項中含的級數(shù)。例：判斷級數(shù)的收斂性。4、交錯級數(shù)：定理（萊布尼茲判別法）：設交錯級數(shù)滿足條件（1）,即數(shù)列單調(diào)減少；（2）。則交錯級數(shù)收斂。5、一般級數(shù)絕對收斂：收斂，條件收斂：發(fā)散而收斂。例：判斷級數(shù)、的收斂性。例：對于級數(shù)，下列說法中正確的為（ ）（07二）(A）當時，發(fā)散 (B) 當時，條件收斂(C) 當時，條件收斂 (D) 當時，絕對收斂例：級數(shù) 為（ ）. （06二） 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 無法判斷例：判定、的收斂性。例：確定級數(shù)的收斂性. （07二）二、冪

9、級數(shù)：1、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間定理：若，則收斂半徑：， 例：冪級數(shù)的收斂半徑為（08二）例：確定冪級數(shù)收斂半徑及收斂域，其中為正常數(shù). （07二）例：求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂區(qū)間.（06二）2、函數(shù)展開為冪級數(shù)例：將函數(shù)展開成的冪級數(shù). （08一）例：將函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù). （07二）練習：1、判斷級數(shù)、的收斂性。 2、判別級數(shù)、的收斂性。3、求冪級數(shù)和 的收斂區(qū)間。4、將函數(shù)在點處展開成冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間（端點不考慮）。（07一）5、將函數(shù)展成的冪級數(shù)并指出收斂區(qū)間. （06二）6、把函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求出它的收斂區(qū)間. （05一）7、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出收斂半徑

10、。（06一）*4、求的和函數(shù)，并由求的值。求冪級數(shù)，的收斂區(qū)間第五部分 常微分方程一、一階微分方程1、微分方程的概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解2、可分離變量的方程：解法:()分離變量：()兩邊積分例:， （交換變量）例：在具有連續(xù)導數(shù)，且滿足，求.（07二）例：計算微分方程滿足初始條件 的特解. （06二）例：微分方程的通解y =（06一）3、一階線性方程：通解為： 也可表示為：例：求解微分方程.（07二） 例：求微分方程的通解. （05二）二、二階線性微分方程1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程：特征方程 特征根： （1）若特征方程有兩個不相等的實根通解為： （是任意常數(shù)）（2

11、）若特征方程有兩個相等的實根通解為：（是任意常數(shù)）（3）若特征方程有一對共軛虛根通解為： 例：求微分方程的通解. （08二）例：微分方程 的通解為.（06二）例：任給有理數(shù)，函數(shù)滿足，求（07一）2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：（1） 若不是特征方程的根， 若是特征方程的單根，特解為 若是特征方程的重根，特解（2）當不是特征根時，當是特征根時,.例：求下列方程的特解（1） （2） （3）例：求微分方程的通解. （08一）例：求微分方程的通解. （07二）例：求微分方程滿足的特解。（06一）例：求二階微分方程的通解. （05一）例：若函數(shù)，求. （06二）例：對于，其特解可以假設為. （07二

12、）練習：1、求微分方程的通解2、解微分方程 3、解方程 4、設為微分方程的三個解，則的通解為5、若，分別為非齊次線性方程的解，則為下列方程中（ B ）的解：（07二） (A）（B）(C) (D) 6、.已知y=f(x) 連續(xù)可導且滿足:, 求f(x)7、.已知y=f(x) 連續(xù)可導且滿足:,f (1)=1,求f (x)一階線性方程：通解為： 也可表示為：第六部分 空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量代數(shù)1、向量的概念：向量的定義向量的模單位向量向量在坐標軸上的投影向量的坐標表示法向量的方向余弦(1)與向量同方向的單位向量叫做的單位向量:(2)非零向量a平行于b的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使 b=a

13、.(3)已知,，則，(4)方向角與方向余弦方向角：與軸正向的夾角（分別記為.規(guī)定）. 設，則 方向余弦：方向角的余弦，關系式：(5)向量在坐標軸上的投影在軸上的投影:,其中性質(zhì):2、向量的線性運算：加法 減法向量的數(shù)乘3、向量的數(shù)量積(1)定義： 。數(shù)積又稱點積、內(nèi)積。(2)結(jié)論：4、二向量的向量積(1)定義： ,垂直于和所在的平面，它的正向由右手定則確定。向量積又稱叉積、外積。 (2)結(jié)論：(3)運算法則設 ，則:練習：1.已知平面過三點，求與此平面垂直的向量。2.已知，求、與的夾角3. 求以為頂點的三角形的面積。二、平面1、點法式方程:2、一般式方程：其中稱為該平面的法線向量。3、平面平行、垂直的條件：， 4、點到平面的距離三、空間直線 1、一般式方程