常微分方程試題及答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1一階微分方程的通解的圖像是 2 維空間上的一族曲線 2二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是 3方程的基本解組是 4一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間 5方程的常數(shù)解是 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（ ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一個 （B）有兩個 （C）無 （D）有無數(shù)個 8連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（ ）條件 （A）必要 （B）充分 （C）

2、充分必要 （D）必要非充分 9二階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構成一個2維線性空間 （B）構成一個3維線性空間 （C）不能構成一個線性空間 （D）構成一個無限維線性空間 10方程過點(0, 0)有（ B）(A) 無數(shù)個解(B) 只有一個解 (C) 只有兩個解(D) 只有三個解三、計算題（每小題分，本題共30分） 求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計算題（每小題10分，本題共20分） 16求方程的通解 17求下列方程組的通解 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18設在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有 19在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零

3、，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴格單調函數(shù)常微分方程模擬試題參考答案 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 12 2線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3 4開 5 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6D 7C 8B 9C 10A 三、計算題（每小題分，本題共30分）11解： 為常數(shù)解 （1分） 當，時，分離變量取不定積分，得 （3分） 通積分為 （6分）注：包含在常數(shù)解中，當時就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。 13解： 方程兩端同乘以，得 （1分） 令 ，則，代入上式，得 （3分）這是一階線形微分方程，對應一階線形齊次方程的通解為 （4分）利用常數(shù)變易法

4、可得到一階線形微分方程的通解為 （5分） 因此原方程通解為 （6分） 14解： 因為，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通積分為 （4分）計算得 （6分） 15解： 原方程是克萊洛方程，通解為 （6分） 四、計算題（每小題10分，本題共20分）16解： 對應齊次方程的特征方程為， （1分）特征根為， （2分）齊次方程的通解為 （4分） 因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 （6分） 代入原方程，比較系數(shù)確定出 ， （9分） 原方程的通解為 （10分）17解： 齊次方程的特征方程為 （1分）特征根為 （2分）求得特征向量為 （3分）因此齊次方程的通解為 （4分） 令非齊次方程特解為 （5分）滿足 （6分）解得 （8分）積分，得 ， （9分）通解為 （10分） 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18證明： 設是方程任一解，滿足，該解的表達式為 （4分） 取極限 = （10分） 19證明： 設，是方程的基本解組，則對任意，