第4講巧解盈虧應(yīng)用題

1、才子教育小學(xué)奧數(shù)系列第4講 巧解盈虧應(yīng)用題方法和技巧分配某種物品，分配者一定，被分配的物品數(shù)一定，兩種分配方 案的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)“盈”（余）或“虧”（不足），求分配者數(shù)和被分配 物品數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題叫盈虧問(wèn)題。常用方法：總差額+每人（或每件的差額）=人數(shù)（或件數(shù)）A級(jí)基礎(chǔ)點(diǎn)睛【例11小波從家去體育館參加比賽，先以 50米每分鐘的速度 走了 4分鐘后，發(fā)現(xiàn)這樣走下去要遲到 3分鐘；后來(lái)他改用65米每 分鐘的速度前進(jìn)，結(jié)果提前3分鐘到達(dá)。問(wèn)：小波家和體育館相距多 少米？分析與解 由每分鐘走50米要遲到3分鐘，可知體育館進(jìn)行比 賽時(shí)，小波離體育館有 50X3=150 （米）；由每分鐘走65米早到3 分鐘，可

2、知體育館進(jìn)行比賽時(shí)，他還可以走 65X 3=195 （米）。;每分鐘50米 少150米一.”每分鐘每分鐘65米 多195米比較兩種方案，每分鐘相差 65-50=15 （米），結(jié)果相差150+ 195=345 （米）。時(shí)間為345+ 15=23 （分），即出發(fā)4分鐘后距離準(zhǔn) 時(shí)比賽時(shí)間。按第一種方案一共藥性 4+23 + 3 = 30 （分）才能到達(dá) 體育館，小波家與體育館相距 50X （345+ 15+ 7） =50X （ 23+7）= 1500 米答：小波家和體育館相距1500米。做一做1動(dòng)物園為猴山的猴買(mǎi)來(lái)桃，這些桃如果每只猴分5個(gè), 還剩32個(gè)；如果其中10只小猴分4個(gè)，其余的猴分8個(gè)，

3、就恰好分 完。問(wèn)：猴山有猴多少只？共買(mǎi)來(lái)多少個(gè)桃？分析與解 根據(jù)觀察對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系的變化尋找答案的解題思路， 首先需要把條件“如果其中10只小猴分4個(gè)，其余的猴分8個(gè)，就 恰好分完”轉(zhuǎn)化成：如果每只猴都分8個(gè)就少（8 4） X 10=40個(gè)，然后按盈虧問(wèn) 題來(lái)求解。每只猴都分8個(gè)，所缺桃子數(shù)為（8-4 ） X 10=40 （個(gè)）猴子總數(shù)為（40+ 32）-（ 8-5）=24 （只）猴子總數(shù)為5X24+ 32= 152（個(gè)）答：猴山有猴24只，共買(mǎi)來(lái)152個(gè)桃。做一做2農(nóng)民種樹(shù)，其中有3人分得樹(shù)苗各4棵，其余每人分 得3棵，這樣最后余下樹(shù)苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人 分得5棵，則樹(shù)苗恰好

4、分盡。求人數(shù)和樹(shù)苗的總數(shù)各是多少？B級(jí)更上層樓【例3】 某中學(xué)買(mǎi)了一批英文打字機(jī)，分給高中三年級(jí)各班。其中兩個(gè)班各分6臺(tái)，其余各班分3臺(tái)，則多6臺(tái)；如果有一個(gè)班分 7臺(tái)，其余各班分5臺(tái)，則還差12臺(tái)。問(wèn)：學(xué)校買(mǎi)來(lái)了多少臺(tái)打字 機(jī)分給多少個(gè)高中三年級(jí)的班？分析與解 這時(shí)非平均分配的盈虧問(wèn)題，可先化成平均分配的盈 虧問(wèn)題。如果每個(gè)班分3臺(tái)，則多余6+2X ( 63)= 12 (臺(tái))；如果每 個(gè)班分5臺(tái)，則不足12- ( 7 5)=10 (臺(tái))。這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平均 分配的基本盈虧問(wèn)題。6+2X ( 6 3)+12 ( 7 5) + ( 53)= 11 (個(gè))5X 11-10= 45 (臺(tái))答：學(xué)校購(gòu)

5、進(jìn)英文打字機(jī)45臺(tái)，分給高三年紀(jì)的11個(gè)班。小結(jié)這類(lèi)非平均分配的盈虧問(wèn)題要先化成屁分配的基本盈虧 問(wèn)題后，再求解。做一做3農(nóng)民鋤草，其中5人每人鋤4公頃，余下的人每人鋤 3公頃，這樣分配最后還余下26公頃無(wú)人鋤；如果其中3人每人鋤3 公頃，余下的人每人鋤5公頃，最后還余下3公頃。求鋤地面積和人 數(shù)各是多少？【例4】聰聰用10元錢(qián)買(mǎi)了 3支圓珠筆和7個(gè)練習(xí)本，剩下的錢(qián)若買(mǎi)一支圓珠筆就少0.14元，若買(mǎi)一個(gè)練習(xí)本還多0.8元。問(wèn):才子教育小學(xué)奧數(shù)系列一支圓珠筆的售價(jià)為多少元？分析與解 從“買(mǎi)圓珠筆少0.14元，買(mǎi)練習(xí)本多0.8元”知道， 一支圓珠筆比一個(gè)練習(xí)本貴 0.94元。如果聰聰花10 0.8

6、=9.2（元），就可以買(mǎi)3支圓珠筆和7+1=8（個(gè)） 練習(xí)本。每個(gè)練習(xí)本的價(jià)格是（10 0.8 0.94X 3） + （3+8）=0.58（元）圓珠筆的單價(jià)是0.58+0.94=1.52前）答：一支圓珠筆的售價(jià)為1.52元。做一做4小明用2元錢(qián)買(mǎi)了 5支鉛筆和8塊橡皮，余下的錢(qián)買(mǎi) 一支鉛筆就缺4分，買(mǎi)一塊橡皮就多出2分。問(wèn)：每支鉛筆的價(jià)格是 多少？【例5】 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的 3倍 多2個(gè)。每次從箱子里取出7個(gè)白球和15個(gè)紅球，經(jīng)過(guò)若干次后， 箱子里還剩下3個(gè)白球和53個(gè)紅球。問(wèn)：箱子里原有的紅球比白球 多多少個(gè)？分析與解 因?yàn)榧t球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2個(gè)，每次取15個(gè)，

7、 最后剩53個(gè)，所以，假設(shè)將白球數(shù)擴(kuò)大3倍，按紅球取法每次取15 個(gè)，最后應(yīng)剩51個(gè)白球。白球每次取7個(gè)，最后剩3個(gè)，所以假設(shè)將白球數(shù)擴(kuò)大3倍，每次取7X 3=21（個(gè)），最后應(yīng)剩3X 3=9（個(gè)）才子教育小學(xué)奧數(shù)系列每次多拿2115=6（個(gè)）,共多拿走51 9=42（個(gè)）,因此共?。?19） +（21 15）=7（次）,則紅球有 15X7+53=158（個(gè)）白球有7X7+3=52（個(gè)）紅球比白球多158 52=106（個(gè)）答：原有的紅球比白球多106個(gè)。做一做5蘋(píng)果和梨各有若干個(gè)，如果5個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨裝一袋， 則還多4個(gè)蘋(píng)果，梨恰好裝完；如果7個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)梨裝一袋，則蘋(píng) 果恰好裝完，梨還多1

8、2個(gè)。問(wèn)：蘋(píng)果和梨各有多少個(gè)？【例61同學(xué)們植樹(shù)，若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵，則還有一棵樹(shù)沒(méi)有人植；若有 5人每人植7棵，其余的人每人 植4棵，則剛好植完。問(wèn)：有多少棵樹(shù)？解 “若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵”，把它改為每人都植8棵，即以“其余的人”作為標(biāo)準(zhǔn)，則變成“每人植8棵，就還差 6X（8 5） 1 = 17（棵）”?！叭粲?人每人植7棵，其余的人每植4棵，則剛好植完”，把 它改為每人植4棵，也以“其余的人”為標(biāo)準(zhǔn)，那么變成“每人植 4 棵，則還剩（7-4） X 5=15（棵）沒(méi)人植”。這樣轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題后，就可以求出植樹(shù)的人數(shù)：(17+15) +(8 4)=8

9、(人)才子教育小學(xué)奧數(shù)系列植樹(shù)的棵數(shù)為：6X5+8X2+1=47（棵）答：有47棵樹(shù)。做一做6小明與小紅各買(mǎi)了一本數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題集，約定在相同 的時(shí)間內(nèi)做完。小明計(jì)劃頭兩周每周做 30道習(xí)題，以后每周25道； 小紅計(jì)劃頭兩周每周做35道，以后每周做30道，剩余2周留下復(fù)習(xí)。 問(wèn)：這本習(xí)題集共有多少道習(xí)題？他們準(zhǔn)備用幾周做完？C級(jí)勇奪冠軍【例7】某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班 27人，大班比小班多6人。六一兒童節(jié)分糖果25包，每包不超過(guò)60塊，不少50塊， 糖果總數(shù)個(gè)位數(shù)字是7,如果每人分19塊，那么糖果數(shù)不夠?，F(xiàn)在 大班比中班每人多分1塊，中班比小班每人多分1塊，剛好分完。問(wèn)： 這批糖果共多少塊？

10、解 據(jù)題設(shè)1 250=50X 25W糖果總數(shù)w 60X25=1 500。因小班人 數(shù)最少，中班有27人，所以總?cè)藬?shù)不超過(guò)27X 3+6=87（人）。因（1 250 -6） +87>14,所以每人至少分得15塊，又因每人19塊分不夠， 所以每人至多分18塊。注意到總數(shù)個(gè)位數(shù)是7,而7-6=1是奇數(shù)， 所以只能是17塊或15塊。但15的倍數(shù)的個(gè)位數(shù)應(yīng)是0或5,不是1, 所以只能每人分17塊。再估計(jì)總數(shù)：17X 74=1 258> 1 250 6,它的個(gè)位數(shù)不是1,現(xiàn)在用1 258適當(dāng)加上17的倍數(shù)，使個(gè)位數(shù)為1,且W 1 500,經(jīng)驗(yàn)算， 只有1 258+17X 9=1 411,因此糖

11、果總數(shù)是1 411+6=1 417怏）。做一做7甲、乙、丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書(shū)。已知甲班有1有人捐6冊(cè)，有2人各捐7冊(cè)其余人各捐11冊(cè)；乙班有1人捐6 冊(cè)；3人各捐8冊(cè)，其余人各捐10冊(cè)；丙班有2人各捐4冊(cè)，6人各 捐7冊(cè)，其余人各捐9冊(cè)。已知甲班捐書(shū)總數(shù)比乙班多 28冊(cè)，乙班 比丙班多101冊(cè)。各班捐書(shū)總數(shù)在400550之間。問(wèn)：每班名有多少 人？巧練習(xí)一一溫故知新（四）A級(jí)基礎(chǔ)點(diǎn)睛1 .小羽從家去學(xué)校，若每分鐘走80米，則能在上課前6分鐘到 校；若每分鐘走50米，就要遲到3分鐘。問(wèn)：小羽的家到學(xué)校的路 有多遠(yuǎn)？2 .貨運(yùn)列車(chē)運(yùn)載糧食，若每節(jié)車(chē)皮裝 90噸，則還余60噸運(yùn)不 走；若每節(jié)車(chē)

12、皮裝110噸，則可空下兩節(jié)車(chē)皮。問(wèn)：有多少節(jié)車(chē)皮？ 待運(yùn)的糧食有多少?lài)崳? . 一支部隊(duì)有若干個(gè)連隊(duì)，如果再調(diào)進(jìn)一個(gè)連隊(duì)，則現(xiàn)存的糧食可吃6天；如果調(diào)出一個(gè)連隊(duì)，則現(xiàn)存的糧食可吃 10天。假設(shè)每個(gè)連隊(duì)每天吃的糧食一樣多，那么這支部隊(duì)有多少個(gè)連隊(duì)？若現(xiàn)存的糧食只給一個(gè)連隊(duì)吃，問(wèn)：可吃多少天？4 . 一群小豬分吃飼料，若每頭吃 8千克，則還缺432千克；若 每頭改吃6千克，則仍缺234千克。問(wèn)：有多少頭小豬？有多少千克 飼料？B級(jí)更上層樓6 .有一些蘋(píng)果和梨，蘋(píng)果的數(shù)量是梨的 4倍少2個(gè)。如果每次 吃掉5個(gè)蘋(píng)果和2個(gè)梨，那么當(dāng)梨吃完時(shí)還剩下 40個(gè)蘋(píng)果。問(wèn)：原 有多少個(gè)蘋(píng)果？7 .用一根繩子測(cè)井臺(tái)

13、離水面的高度。把繩子對(duì)折后垂到井臺(tái)水 面，繩子超過(guò)井臺(tái)9米；把繩子三折后垂到井臺(tái)水面，繩子超過(guò)井臺(tái) 2米。求繩長(zhǎng)和井臺(tái)離水面的高度。8 .小明花19元買(mǎi)了 10本練習(xí)本和10支鉛筆。他還有余錢(qián)，如 果要再買(mǎi)1支鉛筆，就多0.30元；如果要再買(mǎi)一本練習(xí)本，就少0.20 元。問(wèn)：小明原有多少錢(qián)？9 .有若干盒卡片，每盒中的卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一 些小朋友，如果只分一盒，每人分8張還缺少5張。現(xiàn)在把所有卡片 都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問(wèn)：有多少位小朋友？10 .有兩筐蘋(píng)果，如果從第一筐拿出9個(gè)放到第二筐里，則兩筐 的蘋(píng)果數(shù)就一樣多；如果從第二筐拿出 12個(gè)放到第一筐里，則第一

14、 筐蘋(píng)果數(shù)是第二筐的2倍。求每筐原來(lái)各有多少個(gè)蘋(píng)果。11 .王彩帶錢(qián)若干，到上海路菜場(chǎng)去買(mǎi)魚(yú)，若買(mǎi)鯉魚(yú) 30條，差 4元；若買(mǎi)魚(yú)魚(yú)40條，則多20元。兩種魚(yú)每條的價(jià)格相差2元1角, 問(wèn)：兩種魚(yú)的單價(jià)是多少元？12 .五年級(jí)有甲、乙、丙三個(gè)班，甲班比乙班多 4名女生，乙班 比丙班多1名女生，如果將甲班的第一組同學(xué)調(diào)入乙班， 同時(shí)將乙班 的第一組同學(xué)調(diào)入丙班，將丙班的第一組同學(xué)調(diào)入甲班，則三個(gè)班的 女生人數(shù)恰好相同。已知丙班第一組有2名女生，那么甲班第一組有 多少名女生？13 . 2 001個(gè)球平均分給若干個(gè)人，恰好分完。若有一人不參加 分球，則每人可以多分2個(gè)球，而且球還有剩余；若每人多分3個(gè)球

15、,則球的個(gè)數(shù)不夠。問(wèn)：原來(lái)每人平均分多少個(gè)球？14 .媽媽給紅紅一些錢(qián)去買(mǎi)賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡， 甲種卡每張0.50元，丙種卡每張1.20元。用這些錢(qián)買(mǎi)甲種卡要比買(mǎi) 乙種卡多買(mǎi)8張，買(mǎi)乙種卡要比買(mǎi)丙種卡多買(mǎi)6張。媽媽給了紅紅多 少錢(qián)？乙種卡每張多少錢(qián)？巧總結(jié)本節(jié)我的收獲是：不足之處有：神奇的省刻度尺小朋友，我們都知道生活中省電、省氣、省油的一些方法，那么 天平和刻度尺怎么省呢？ “省刻度尺”在圖論中又稱(chēng)Golomb尺, 它已在X射線(xiàn)、晶體學(xué)、雷達(dá)脈沖、導(dǎo)彈控制、通信網(wǎng)絡(luò)、射電天 文學(xué)等領(lǐng)域派上用場(chǎng)。早在二百多年前，數(shù)學(xué)大師歐拉就曾研究過(guò)天平祛碼的最佳 (省) 設(shè)置問(wèn)題，他給出了下面的

16、結(jié)論：若只允許祛碼放在天平的一端，則有 20 ( 1), 21, 22,，2克/ /少兒數(shù)學(xué)重祛碼，可以稱(chēng)出12k+1 1之間任何整數(shù)克重的物品；若允許祛碼放在天平的兩端，則有30 ( 1), 31, 32,，3r克重祛碼，可以稱(chēng)出Qk 11 O1之間任何整數(shù)克重的物品。2實(shí)際上，這個(gè)結(jié)論與“二進(jìn)制”和“三進(jìn)制”的表示有關(guān)。一百多年前，英國(guó)數(shù)學(xué)游戲家杜德尼(1857 013 1930)又在思考如何節(jié)省刻度尺呢？他發(fā)現(xiàn)，一根13cm長(zhǎng)的尺子，只需用六個(gè)刻度0, 1, 4,5, 11,即可量出113任何整數(shù)厘米長(zhǎng)白物品。我們用 mn表示m 量至U n,貝U有 1 (0-1), 2 (1113), 3 (1-4), 4 (0-4) 5, (0 - 5), 6 (511), 7 (411) , 8 (513), 9 (413) , 10 (1 11), 11 (011), 12 (1 13), 13 (1 - 13)。同時(shí)，杜德尼經(jīng)過(guò)不斷探索發(fā)現(xiàn)，22cm長(zhǎng)的尺子僅需六個(gè)刻度 (兩種方案)即可完成上面的度量(以下簡(jiǎn)稱(chēng)完整度量)。這兩種刻 度分別為：(1) 1, 2, 3, 8, 13, 18 (cm); (2) 1, 4, 5, 12, 14, 20(cm)。日本的藤村幸三郎在杜德尼研究的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)：一根23cm長(zhǎng)的尺子，僅需在1, 4