公務員考試之數(shù)字推理部分(專家點撥)

1、第一節(jié)數(shù)字推理基礎知識我們可以把數(shù)字推理分成兩大類。第一類：數(shù)列型數(shù)字推理數(shù)列型數(shù)字推理也叫純數(shù)字型數(shù)字推理。就是給出一個不完整數(shù)列，其中該數(shù)列缺少一項或者兩項，要求我們找出這一數(shù)列的規(guī)律，然后從4 個備選答案中選出自己認為最合適、合理的一個，來填補空缺項，使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律。比如：1 ， 3， 5， 7， 9，（）A 7 B.8 C.11 D.13解析：正確答案為C。原數(shù)列是一個等差數(shù)列，公差為 2,故應選C。第二類：數(shù)圖型數(shù)字推理數(shù)圖型數(shù)字推理是既有圖形又有數(shù)字的一種推理題目，給出三個一致的圖形，圖形一般分為三角形或者是圓形，其中間分布 4 個或者 5 個數(shù)字，每一圖形中的數(shù)字之間存

2、在一定的規(guī)律，前兩個數(shù)圖是完整的，要求我們根據(jù)前兩個數(shù)圖的統(tǒng)一規(guī)律求出第三個圖形中的未知項。比如：A.11 B.15 C.17 D.20解析：正確答案為C。根據(jù)前兩個圖的規(guī)律：三個角上數(shù)字相加等于中心數(shù)字，所以 C 正確。數(shù)字推理的題型分類如下圖所示：一等差數(shù)列及其變形（一）等差數(shù)列現(xiàn)實生活中我們接觸最多的就是等差數(shù)列，比如電影座位前一行比后一行多 2 個座位，第一排20個，則每排座位數(shù)量為 20， 22， 24， 26， 28, ；再比如樹的年輪每年增加一圈，構成數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6， , ；這些數(shù)列都有一個特征，那就是相鄰兩項后項與前項差為一個常數(shù)，這樣的數(shù)列我們就稱為等

3、差數(shù)列，其中的常數(shù)稱為公差。公差可為正數(shù)、負數(shù)、小數(shù)等。比如數(shù)列： 10， 4.5， -1， -6.5， -12，此數(shù)列的公差為 -5.5。專家點撥最常見、最典型的等差數(shù)列有：自然數(shù)數(shù)列：0，1，2，3，4， 5 ，6,正奇數(shù)數(shù)列：1，3，5，7，9,正偶數(shù)數(shù)列：2，4，6，8，10,【例 1】 4， 9， 14， 19，（）。A 23B 24C 25D 26【解析】題干中數(shù)列共四項，相鄰兩項后項與前項之差均為5，是一個典型的等差數(shù)列。因此所求第 5 項與第 4 項的差也應該為 5 ，即未知項為 19+5=24， 故正確答案為B?！纠?】 35 ， 24， 13， 2， -9，（）。A -12

4、B -30C -45D -20【解析】題中所給5 項，后項與前項之差均為 -11，所以此數(shù)列是一個公差為-11 的等差數(shù)列，所以未知項為-9-11=-20，故正確答案為D。、二注意 :在考試時，像這種一眼就能觀察出結果的題目，出現(xiàn)的概率幾乎為0，出現(xiàn)較多的是等差數(shù)列的變形。（二）等差數(shù)列的變形在學習等差數(shù)列變形之前，我們這里先給出一個新定義。2， 5， 10， 22， 46， （ ）像這個題目，我們把2， 5， 10， 22 ， 46 叫做原數(shù)列，它的相鄰兩項的差構成的數(shù)列 3， 5， 12， 24 稱為 “一級差數(shù)列” ；一級差數(shù)列3 ， 5， 12， 24 相鄰兩項的差構成的數(shù)列 2， 7

5、， 12 稱為 “二級差數(shù)列 ”。如下圖所示：專家點撥等差數(shù)列的變形是后項與前項的差為一個數(shù)列【例3】 98， 86， 71， 53， 32，（）。A 4B 34C 8D 61【解析】此數(shù)列：第二項減第一項為-12，第三項減第二項為-15，第四項減第三項為-18，第五項減第四項為 -21，即一級差數(shù)列為：-12， -15， -18， -21, ，是一個新的等差數(shù)列，公差為-3。所以未知項與第五項之差應為：-21-3=-24,即未知項為32-24=8,故正確答案為C。在這道例題中一級差數(shù) 列為等差數(shù)列?！纠?】 0 ， 4 ， 18， 48， 100，（）。A 140B 160C 180D 20

6、0【解析】后一項減前一項得到一級差數(shù)列 4， 14， 30， 52，無規(guī)律；再用后一項減前一項得到二級差數(shù)列 10， 16， 22，此時是一個公差為6 的等差數(shù)列，故二級差數(shù)列后一項為22+6=28；一級差數(shù)列后一項為52+28=80，故未知項為100+80=180,故正確答案為C。【例5】 102， 96 ， 108， 84 ， 132， （ ）。A.36 B.64 C.70 D.72【解析】后一項減前一項得到一級差數(shù)列 -6， 12， -24， 48，此數(shù)列為公比 為-2 的等比數(shù)列，故下一項為-96。因此未知項為：132-96=36，故正確答案為A。二等比數(shù)列及其變形（一）等比數(shù)列數(shù)列中

7、相鄰兩項后項與前項的比值為常數(shù)，此數(shù)列就稱作等比數(shù)列，這個常數(shù)我們稱為公比。最典型的等比數(shù)列：1 ， 2， 4， 8， 16， 32，公比為2 ；1 ， 3， 9， 27， 81，公比為 3。專家點撥公比可為正數(shù)、負數(shù)、小數(shù)，公比不是整數(shù)的數(shù)列特征看起來就不明顯，比如： 5， -4， 3.2， -2.56， 2.048，此數(shù)列是公比為 -0.8 的等比數(shù)列【例 6】 1 ， 4 ， 16， 64，（）。A 125B 169C 196D 256【解析】從數(shù)列中可以發(fā)現(xiàn)，后一項除以前一項的比值為4，則未知項與64 的比值也應為4，即：，故正確答案為 D。注意 :考試中往往不會出現(xiàn)這種簡單的等比數(shù)列

8、，在考試中最常見的是等比數(shù)列的變形。（二）等比數(shù)列的變形在學習等比數(shù)列變形之前，我們這里給出一個新定義。2 ， 8， 64， 1024， 32768，（）像這個題目我們把2， 8， 64， 1024， 32768 叫做原數(shù)列，它的相鄰兩項的商構成的數(shù)列 4 ， 8， 16， 32 稱為 “一級商數(shù)列 ” ， “二級商數(shù)列 ”考試中不會出 現(xiàn)，故不討論。專家點撥等比數(shù)列的變式包括：相鄰兩項后項與前項的比構成一個數(shù)列、等比數(shù)列每項加（或減）一個常數(shù)、等比數(shù)列每項加（或減）一個數(shù)列的對應項1. 相鄰兩項后項與前項的比構成一個數(shù)列【例7】 3 ， 3 ， 9， 45 ， 315，（）。A 1124B

9、1768C 2835D 3095【解析】像這種數(shù)值遞增，并且數(shù)字跳躍非常大，往往會懷疑它屬于等比數(shù)列，第二項與第一項之比為 1，第三項與第二項之比為3，第四項與第三項之比為5，第五項與第四項之比為7，即 “一級商數(shù)列 ”為 1， 3 ， 5， 7, ，構成了一個公差為 2 的等差數(shù)列，那么 1， 3， 5， 7 的下一個數(shù)應為9，即未知項與第五項之比為9,即315X 9=2835故正確答案為C?！纠?】 1 ， 2 ， 8， 64 ，（）。A 1124B 1024C 512D 256【解析】首先懷疑它為等比數(shù)列，第二項與第一項之比為2，第三項與第二項之比為4，第四項與第三項之比為8 ， “一級

10、商數(shù)列 ”為 2， 4， 8, ，構成了一個公比為 2 的等比數(shù)列，因此未知項與第四項的比值應該為16，所以未知項為64X 16=1024故正確答案為B。這個例題中一級商數(shù)列為等比數(shù)列。2.等比數(shù)列每項加（或減）一個常數(shù)此類型是在考試中最容易出現(xiàn)的題型之一。從題面看，很難找出答案，在此我們只為大家介紹一些簡單的方法。關于此類題的解題思路和過程，將在后一節(jié)的經(jīng)典真題解析中為大家詳細介紹。這種題型往往在等比數(shù)列或等比數(shù)列的變式基礎上再加、減一個數(shù)，我們?nèi)稳∫还葹?4 的等比數(shù)列作為第一個數(shù)列，如下：1 ， 4， 16， 64， 256如果在第一個數(shù)列的基礎上從每一項減去3 得到第二個數(shù)列，即為：

11、-2， 1， 13， 61，253，如果只看第二個數(shù)列，很難找出它的規(guī)律，但第一個數(shù)列規(guī)律就很明顯。它們之間的差別就是，第二個數(shù)列是第一個等比數(shù)列減去一個常數(shù)。3.等比數(shù)列每項加（或減）一個數(shù)列的對應項此類型也是在考試中最容易出現(xiàn)的題型之一。從題面看，很難找出答案，在此我們只為大家介紹一些簡單的方法。關于此類題的解題思路和過程，將在后面的解題方法單元中為大家詳細介紹。這種題型往往在等比數(shù)列或等比數(shù)列的變式基礎上再加、減一個數(shù)，我們?nèi)稳∫还葹?4 的等比數(shù)列： 1， 4， 16， 64， 256再取一等差數(shù)列： 1， 2， 3， 4， 5兩數(shù)列對應項做差得到： 0， 2， 13， 60， 25

12、1只看后面這個數(shù)列，很難找出它的規(guī)律。實際后面這個數(shù)列，就是由前面的數(shù)列變形而來。三冪數(shù)列及其變形冪數(shù)列包含平方數(shù)列和立方數(shù)列及其變形。（一）平方數(shù)列及其變形平方數(shù)列，即數(shù)列中的項都是完全平方數(shù)。首先來看平方數(shù)列中最典型的數(shù)列：1 、 4、9 、 16、25 、 36。此數(shù)列是12 、 22、32 、 42、52 、 62，它是由正整數(shù)數(shù)列1 、 2、3、 4、5 、 6，每一項的平方構成的數(shù)列。專家點撥平方數(shù)列的變形，即數(shù)列中的項都是完全平方數(shù)略加變化，平方數(shù)列的變形包括：平方數(shù)列加（或減）一個常數(shù)、平方數(shù)列與另外一個數(shù)列對應項進行運算、搖擺型1 . 平方數(shù)列加（或減）一個常數(shù)假設原平方數(shù)列

13、為1， 4， 9， 16， 25減去的數(shù)為： 3則原平方數(shù)列變?yōu)?2， 1， 6， 13， 22，這個數(shù)列就是平方數(shù)列的變形。2 .平方數(shù)列與另外一個數(shù)列對應項進行運算假設原平方數(shù)列為：1，9，25， 49，81減去的對應數(shù)列為：1，2，3， 4， 5則原平方數(shù)列變?yōu)椋?，7，22， 45，76 ；這個數(shù)列也是平方數(shù)列的變形。3 .搖擺型比如： 2， 3 ， 10， 15， 26，（）通過仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列可以變形為 12+1， 22-1， 32+1， 42-1， 52+1，后面的常數(shù)加 1 減 1 依次循環(huán)，平方數(shù)的底數(shù)依次增加 1，從而形成整個 數(shù)列在平方的基礎上左右搖擺，故未知項為

14、： 62-1=35。（二）立方數(shù)列及其變形立方數(shù)列，即數(shù)列中的項由數(shù)的立方構成，常見的有1 、 8、27 、 64、125、 216，此數(shù)列是13 、 23、33 、 43、53、 63，它是由正整數(shù)數(shù)列1， 2， 3， 4， 5， 6每一項的立方構成的數(shù)列。專家點撥立方數(shù)列的變形，即數(shù)列中的項都是立方數(shù)略加變化，常見變形有：立方數(shù)列加（或減）一個常數(shù)、立方數(shù)列與另外一個數(shù)列對應項進行運 算、搖擺型1 . 立方數(shù)列加（或減）一個常數(shù)假設原立方數(shù)列為1， 8， 27， 64， 125， 216減去的數(shù)為： 3則原平方數(shù)列變?yōu)?2， 5， 24， 61， 122， 213，這個數(shù)列就是上面立方數(shù)列

15、的變形。2 .立方數(shù)列與另外一個數(shù)列對應項進行運算假設原立方數(shù)列為：1，8，27， 64， 125，216減去的對應數(shù)列為：1，2，3， 4， 5， 6則原立方數(shù)列變?yōu)椋?，6，24， 60， 120，210這個數(shù)列也是立方數(shù)列的變形。3 .搖擺型【例9】 0 ， 9 ， 26， 65， 124，（）。A.165 B.193 C.217 D.239【解析】（ 1）數(shù)列相減，得到一級差數(shù)列為：9， 17， 39 ， 59，無規(guī)律；（ 2）觀察數(shù)字，與平方和立方數(shù)比較接近；（ 3）考慮平方數(shù)列無規(guī)律；（ 4）考慮立方數(shù)列，（ 5）下一項：四因果數(shù)列11 / 19因果數(shù)列，顧名思義，即數(shù)列各項有某種

16、因果關系，一般是后項由前項或者前幾項經(jīng)過某種計算或者某個遞推公式得來的，常稱為前因后果數(shù)列。它有 和、差、積、商及其變形等幾種情況。對于因果數(shù)列，我們可以用列算式法解決（在后一節(jié)的解題方法中我們將重點介紹這一方法）。例如：給定遞推公式如下：,只要給定了前兩項1, 2,按照遞推關系式故正確答案為C。，此數(shù)列是一個振蕩數(shù)列；即可依次寫出數(shù)列為： 1， 2， 3， 5， 8， 13， , ，在公務員考試 中其實就是讓我們根據(jù)所給數(shù)列要能找出遞推公式，從而確定未知項。專家點撥我們將因果數(shù)列主要分為四類：和差因果數(shù)列積商因果數(shù)列平方因果數(shù)列立方因果數(shù)列（一）和差因果數(shù)列1 . 后項的值與前幾項的和或差有

17、關 前面相鄰兩項相加為后一項比如數(shù)列： 1， 3， 4， 7， 11， 18。該數(shù)列從第三項起，相鄰的3項滿足后項為其前兩項的和，即4=1+3， 7=3+4， 11=4+7， 18=7+11。其實這里只要給定遞推公式為，前兩項為 1， 3，就能確定整個數(shù)列為1，3， 4， 7， 11， 18, 。 前面相鄰兩項相減為后一項比如數(shù)列： 35， 27， 8， 19， -11，（）。該數(shù)列是這樣形成的：35-27=8，27-8=19， 8-19=-11 即第一項減第二項等于第三項，第二項減第三項等于第四項，依此類推，相鄰兩項之差等于后一項，未知項等于其前兩項之差，即19+11=30。其實這里只要能確

18、定遞推公式，前兩項為35， 27，就能確定整個數(shù)列為35， 27， 8， 19， -11， 30， , 。所以解決因果數(shù)列就是要確定遞推關系式。 前面相鄰三項之和等于下一項比如數(shù)列： 0， 1， 1， 2， 4， 7， 13， 24。該數(shù)列有如下規(guī)律：0+1+1=2，1+1+2=4， 2+4+7=13， 4+7+13=24，即相鄰三項之和等于下一項的值。 前面所有項的和為后一項比如數(shù)列： 1， 3， 4， 8， 16， 32，（）推出下一項。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)： 1+3=4， 1+3+4=8， 1+3+4+8=16， 1+3+4+8+16=32，即從第三項起，下一項是前面 所有項的和。則未知項為

19、1+3+4+8+16+32=64。2 .和差因果數(shù)列的變形 遞推關系式基礎上，再加減一個常數(shù)比如給出一個數(shù)列： 15， 7， -6， -11， -3，（）A.8 B.7 C.6 D.5前兩項分別為 15， 7 ，選定遞推關系式為-3, 6,與原數(shù)列吻合，所以C為正確答案。 遞推關系式基礎上，再加減一個數(shù)列的對應項數(shù)列： 1， 4， 2， 2， -1， -5，（）A.-13 B.1 C.7 D.-5前兩項分別為 1， 4，選定遞推關系式為-5， -13, ，與原數(shù)列一致，故選A。（二）積商因果數(shù)列1 . 后項的值與前幾項的積或商有關 相鄰兩項的積或商為下一項比如數(shù)列：2, 3, 6, 18, 1

20、08, 1944。這一個數(shù)歹U, 2X3=6 3X6=18 6 X 18=108 18 X 108=1944要解決這類問題關鍵還是要找出這個因果數(shù)列的遞推 公式，比如這個數(shù)列中遞推公式就為。 相鄰三項的積或者商為下一項比如數(shù)列：1, 2, 3, 6, 36, 648。這個數(shù)列，從第四項起，1X2X3=6 2X 3X 6=365 x 6X 36=648B一項為前三項的乘積。相應的遞推公式為2 .積商因果的變形 遞推關系式上加減一個常數(shù)，例如：取前兩項為2， 4，遞推公式為：，可以計。得到數(shù)列如下： 1， 4， 2， 2， -1，得到整個數(shù)列為： 15， 7， - 6， -11，算出數(shù)列為2， 4

21、， 7， 27， 188。 基本積商因果數(shù)列的基礎上每項減去一個常數(shù)。例如：取原數(shù)列為： 1， 2， 2， 4， 8， 32每一項加上一個常數(shù)3得： 4， 5， 5，7， 11， 35。 基本積商因果數(shù)列與一個新的數(shù)列對應項相加。例如：取原數(shù)列為： 1， 2， 2， 4， 8， 32，取另外一個等差數(shù)列：1 ， 2， 3， 4，5， 6，兩數(shù)列對應項相減得：0， 0， -1， 0， 3， 22。（三）平方因果數(shù)列后項的值與前 N 項的平方有關平方因果數(shù)列主要考查后項是前項平方或與前項平方有關。例如： 2， 4，16， 256，這是一個典型的平方因果數(shù)列，后一項的值是前一項值的平方，遞推公式為平

22、方因果數(shù)列的變形：上面數(shù)列的遞推公式略加變形果數(shù)列為： 2， 6， 38，（四）立方因果數(shù)列1 . 后項的值與前一項的立方有關立方因果數(shù)列主要考查后項是前項立方或與前項立方有關。例如： 2， 8，512， 8 ，這是一個典型的立方因果數(shù)列，后一項的值是前一項值的立方，遞推公式為2 .立方數(shù)列的變形取首項為 -1，遞推公式為五多重數(shù)列所謂多重數(shù)列指給出的數(shù)列是由兩個或兩個以上的數(shù)列構成。專家點撥我們將多重數(shù)列分為四類：隔項數(shù)列、分數(shù)數(shù)列、小數(shù)數(shù)列、分組數(shù)列（一）隔項數(shù)列隔項數(shù)列指由兩個數(shù)列或三個數(shù)列，每個數(shù)列依次取一項交叉排列到一起構成的新數(shù)列?！纠?8】 4， 27， 16， 25， 36，

23、23， 64， 21， ( )。A. 81 B. 100 C. 121 D. 19【解析】通過觀察，該數(shù)列項數(shù)很大，為隔項數(shù)列，奇數(shù)項的規(guī)律為故未知項為【例 9】 1 ， 3 ， 3， 6 ， 7， 12， 15， ( )。，故正確答案為B。，則可計算得數(shù)列為：-1 ， 0， 1， 2， 9， 730。，首項為2。，取首項為2，則新的平方型因A 17B 27C 30D 24【解析】通過觀察，該數(shù)列為隔項數(shù)列，奇數(shù)項中一級差的規(guī)律為以 2 為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項的規(guī)律為以 2 為公比的等比數(shù)列，故未知項為，故正確答案為D。注意 :隔項數(shù)列特點：隔項數(shù)列一般項數(shù)比較多，已知項一般大于等于 6 項

24、。(二)分數(shù)數(shù)列分數(shù)數(shù)列指數(shù)列中的項大多為分數(shù)，最常見的是在數(shù)列中分子是一個數(shù) 列，分數(shù)的分母是另外一個數(shù)列?！纠?0】，（ ）。【解析】將該數(shù)列整理為標準形式：，用博大考神數(shù)字推理觀察法觀察數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)：分子都為2 ；分母分別是3 、 4、5 、 6、 7，是一個遞增的自然數(shù)列。所以，未知項的分子應該是2，分母是8，即：未知項為。故選擇A 答案?！纠?11】A.B.C.，（）。D. -3，其中分子為以 3 為公差的等差數(shù)列，分【解析】原數(shù)列是遞增的，將數(shù)列變?yōu)槟笧橐?3 為公差的等差數(shù)列，因此未知項為，故正確答案為C。、二注意 :分數(shù)數(shù)列經(jīng)常和小數(shù)混合出題，如：（三）小數(shù)數(shù)列，如果變成這種

25、數(shù)列，迷惑性更大。數(shù)列中的多數(shù)項都以小數(shù)的形式出現(xiàn)，整數(shù)部分為一個數(shù)列，小數(shù)部分為一個數(shù)列。比如數(shù)列：1.4， 3.9， 5.16， 7.25， 9.36，整數(shù)部分： 1， 3， 5， 7， 9 為等差數(shù)列；小數(shù)部分： 0.4， 0.9，0.16， 0.25， 0.36，只考慮數(shù)字4， 9， 16， 25， 36 正好是一個簡單的平方數(shù)列。【例 12】 6.7， 8.11， 9.13， 10.17，（）A.12.19 B.13.15 C.14.16 D.15.13【解析】此數(shù)列為小數(shù)數(shù)列，把整數(shù)部分和小數(shù)部分分開考慮。整數(shù)部分是： 6， 8， 9， 10，是連續(xù)的合數(shù)，所以整數(shù)部分下一項是12，小數(shù)部分是：7， 11， 13， 17，是連續(xù)的質(zhì)數(shù)，所以小數(shù)部分下一項是19，所以原數(shù)列的未知項是12.19。故正確答案為A。（四）分組數(shù)列一個數(shù)列間隔相同項進行分組后，每一組呈現(xiàn)的規(guī)律一致，那么這個數(shù)列被稱作分組數(shù)列。比如： 2，4 ， 3，5，6 ，（）兩項作為一組，可以得到每組之差為 2 ，所以未知項為 8?！?/p>